鋼管空間桁架結構自由扭轉的有限元分析與驗證

許慶 ，宗蘭 ，張文福 ，宋旭旭 ，李洋

（1.安徽建筑大學土木工程學院，安徽 合肥 230601；2.南京工程學院建筑工程學院，江蘇 南京 211167；3.東北石油大學土木建筑工程學院，黑龍江 大慶 163318）

0 引言

與實腹式鋼結構相比，鋼管空間桁架結構具有自重輕、用料少、跨度大以及受力合理等特點，在實際工程中廣泛地應用于橋梁、大型體育場館屋蓋及大跨度建筑物屋蓋等結構。由于鋼管空間桁架結構是一種離散的桿系結構以及其格構式的結構形式，鋼管空間桁架的穩(wěn)定性與實腹式結構相比較為復雜。

本文將運用有限元方法分別與趙思遠博士、郭彥林教授和竇超教授的相關鋼管空間桁架扭轉理論公式進行比對和驗證，為這些理論在今后的實際工程中的應用提供適用情形的劃分以及更高的可信度。

1 有限元分析模型的建立

采用通用有限元軟件ANSYS分析矩形截面鋼管空間桁架截面和等腰三角形截面鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度。鋼管空間桁架結構按懸臂梁進行建模，一端截面上節(jié)點分別固結于底部支座，另一端在桁架截面外施加單位扭矩。在ANSYS有限元模型中，弦桿和腹桿均采用可模擬桁架的LINK8單元，該單元可承受軸向拉壓但不能承受彎矩；在鋼管空間桁架一端截面上方建立一節(jié)點，分別連接該節(jié)點與截面上的所有節(jié)點，形成單元并將單元賦予MPC184-剛性梁單元屬性，使該節(jié)點與鋼管空間桁架達到固結效果，并且MPC184單元無需材料剛度數(shù)據，再在該節(jié)點上施加垂直于截面的單位彎矩，故可達到對鋼管空間桁架施加單位扭矩的目的。

相關ANSYS模型幾何參數(shù)如下：鋼材彈性模量為Ec=210 GPa，泊松比μ=0.3，桁架節(jié)間距Lc分別取1.0 m和3.0m，弦桿的尺寸為Dc×tc=200 mm×10mm，斜腹桿和直腹桿的尺寸Dd×td=200mm×5mm，等腰三角形截面和矩形截面邊長b×a分別取1 m×1 m和1m×2 m，空間桁架有10個節(jié)間段。矩形截面鋼管空間桁架和等腰三角形截面鋼管空間桁架在外扭矩作用下，其相應的結構變形如圖1所示。

圖1 鋼管空間桁架結構扭轉變形

為了進一步驗證相關自由扭轉理論的普遍性與適用性，假定上弦桿截面面積Ac1和上弦平面斜腹桿截面面積Ad1一定，令下弦桿截面面積為Ac2和下弦平面斜腹桿截面面積Ad2，使Ac1/Ac2的比值分別取1.0和2.0以及Ad1/Ad2的比值分別取1.0和2.0。通過ANSYS有限元模型提取扭轉角φ，將φ帶入式（1）：

通過式（1），可得到矩形截面鋼管空間桁架截面和等腰三角形截面鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度FEM值。

2 FEM值與理論公式的驗證

在郭彥林教授、竇超教授書中將鋼管空間桁架按斜腹桿偏移構成不同分為兩類：①Warren桁架，斜腹桿相互傾斜，如圖2（a）所示；②Pratt桁架，其斜腹桿的傾斜方向一致，如圖2（b）所示。對于矩形截面Warren空間桁架結構，其應用也相對廣泛，除了滿足斜腹桿的布置采用斜向交替布置的形式和截面上布置垂直于弦桿的直腹桿外，對于矩形截面Warren空間桁架截面上還應布置增強結構穩(wěn)定的分隔腹桿，以防止其在扭轉過程中截面形狀發(fā)生畸變變形，如圖2（c）所示。本文將FEM值與這三種空間桁架結構的理論值分別進行比對與分析。

圖2 鋼管空間桁架結構

空間桁架結構在受到扭轉作用時，對單榀平面結構而言發(fā)生剪切變形。

對Warren空間桁架結構，根據結構力學可知，由于其斜腹桿相互傾斜，故所有的直腹桿為零桿，此時只需考慮斜腹桿和弦桿的軸向變形。趙思遠博士根據單榀平面結構的斜腹桿和弦桿的軸向變形和胡克定律，推導出單榀平面桁架的剪切剛度為：

式（2）中：Ad為斜腹桿面積；Ac為弦桿面積；θ為斜腹桿與弦桿的夾角。

當空間桁架結構受到扭轉時，其截面的平衡方程為：

式（3）中：GItφ 表示截面的自由扭矩；EIwφm表示截面的約束扭矩。

當不考慮截面的約束扭矩時，可將式（3）改寫為：

以三角形截面空間桁架為例，推導其截面的自由扭轉剛度 GIt（圖 3）。

圖3 三角形截面空間桁架結構的自由扭轉剛度

如圖3所示，C點為截面的剪心，可得到三角形截面的受力平衡方程為：

式（5）中：Vi為三角形截面空間桁架結構的各榀桁架受到的剪力；ri為各榀桁架到截面剪心的距離。

再根據截面剪切角，推導得到三角形截面空間桁架的自由扭轉剛度為：

由于矩形的形心和剪心是重合的，矩形寬和高到剪心的距離分別為0.5 h和0.5 b，故可以得到矩形截面空間桁架截面的自由扭轉剛度為：

式（7）中：Kv1為側面平面桁架的剪切剛度；Kv2為弦平面桁架的剪切剛度。

將式（2）代入式（7）中，得到矩形截面 Warren空間桁架結構截面的自由扭轉剛度為：

式（8）中：式中 θ1和 θ2如圖 2（a）所示。

由于等腰三角形的剪心和形心都在底邊的中線上，但兩者不重合，如圖4所示。

圖4 等腰三角形截面剪心位置

趙思遠博士推導出兩者的距離y0為：

將式（9）和式（2）代入式（6）中，得到等腰三角形截面Warren空間桁架截面的自由扭轉剛度為：

對于Pratt桁架，其斜腹桿的傾斜方向一致，需要考慮桁架結構的所有桿件的軸向變形。郭彥林教授、竇超教授同樣也是根據單榀平面結構的斜腹桿和弦桿的軸向變形和胡克定律，推導出單榀平面桁架的剪切剛度為：

式（11）中：At為直腹桿面積；Li為直腹桿長度。

郭彥林教授、竇超教授根據截面的平衡條件和相應的幾何關系，得到三角形截面Pratt空間桁架截面的自由扭轉剛度為：

式（12）中：M為扭矩；A為三角形截面面積；Li為各邊長長度。

將式（11）代入式（12），可得等腰倒三角形截面Pratt空間桁架截面的自由扭轉剛度為：

矩形截面Warren鋼管空間桁架結構、倒三角形截面Warren鋼管空間桁架結構和倒三角形截面Pratt鋼管空間桁架結構的自由扭轉剛度的理論值與對應的FEM值計算結果見表1。

從表1中可以直觀地看出，對于倒三角形截面Warren鋼管空間桁架結構和倒三角形截面Pratt鋼管空間桁架結構截面的自由扭轉剛度的理論值與對應的FEM值之間的誤差非常小，從而驗證了趙思遠博士和郭彥林教授、竇超教授關于倒三角形截面的鋼管空間桁架結構的截面自由扭轉剛度理論的正確性以及建立的模型的可行性。但對于矩形截面Warren鋼管空間桁架結構，在一些鋼管空間桁架尺寸中，截面的自由扭轉剛度的理論值與對應的FEM值之間的誤差是非常大的，因此在利用趙思遠博士關于矩形截面Warren鋼管空間桁架理論分析截面的自由扭轉剛度時，需要注意其截面的高寬比以及節(jié)間段的尺寸。

3 空間桁架結構的相關參數(shù)的分析

上述分析都是假定上下平面桁架弦桿和斜腹桿的面積比值都為1的情況下的對比，為了使趙思遠博士的理論值更為貼近實際工程，將改變上下平面桁架結構弦桿和斜腹桿的面積比值，來進一步驗證其理論的正確性。當改變上下平面桁架弦桿面積不相等時，假定每個單榀平面桁架結構的弦桿變形是一致的；當改變上下平面桁架斜腹桿面積不相等時，只需將其對應的單榀平面桁架結構的剪切剛度對應的斜腹桿面積進行修改即可。當上下平面桁架弦桿和斜腹桿的面積比值發(fā)生變化時，矩形截面Warren鋼管空間桁架和倒三角形截面Warren鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度的理論值與對應的FEM值計算結果詳見表2，3，對應的誤差與零誤差線相見圖 5，6。

從表2和圖5可以看出，在一定尺寸矩形截面Warren鋼管空間桁架結構中，當改變上下平面桁架弦桿的面積比值時，可以減少鋼材的用量，從而降低成本；當改變上下平面桁架斜腹桿的面積比值時，發(fā)現(xiàn)誤差增大。這可以充分說明，在矩形截面Warren鋼管空間桁架結構受扭過程中斜腹桿能有效地提高該截面的抗扭性能。從表3和圖6中可以看出，當改變倒三角形截面Warren鋼管空間桁架的上下弦桿的面積比值時，誤差增大；當改變倒三角形截面Warren鋼管空間桁架的上平面和側面的斜腹桿的面積比值時，與矩形截面相比誤差減少近一半，這可以說明在都可使用矩形和倒三角形截面鋼管空間桁架中，三角形截面的鋼管空間桁架應更優(yōu)于矩形截面的，其穩(wěn)定性可以得到更好的保證。

對于矩形截面為b=1 m，h=2 m的Warren鋼管空間桁架，進一步研究其節(jié)間距離對其有何影響，分別取Lc=1～5 m的范圍，相應的自由扭轉剛度的理論值與對應的FEM值計算結果詳見表4。

表1 鋼管空間桁架結構理論值與FEM值 107N·m2

表2 矩形截面Warren鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度理論與FEM值對比 107N·m2

表3 倒三角形截面Warren鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度理論與FEM值對比 107N·m2

表4 節(jié)間距變化的自由扭轉剛度理論與FEM值對比 107N·m2

圖5 矩形截面Warren桁架截面的自由扭轉剛度零誤差線

圖6 倒三角形截面Warren桁架截面的自由扭轉剛度零誤差線

表2和表4進一步說明，矩形截面形式對其自由扭轉剛度有一定影響，隨著節(jié)間距長度的逐漸增加，理論解與FEM值的誤差變化有明顯的變化。故在實際工程中可以把節(jié)間距離與截面邊長的比值控制在一定范圍內，使其受力合理，到達工程質量的要求。

4 結論

（1）從有限元軟件ANSYS模擬的結果與相關理論的對比中能夠看出，本文建立的有限元模型對矩形截面和倒三角形鋼管空間桁架截面的自由扭轉剛度的分析具有較好的精度，可以充分說明本文建立的有限元模型是正確的。

（2）實際工程中，若都可選用矩形和三角形截面的鋼管空間桁架時，應優(yōu)先選擇倒三角形截面Warren鋼管空間桁架，其次選擇矩形截面Warren鋼管空間桁架，最后選擇倒三角形截面Pratt鋼管空間桁架。Warren鋼管空間桁架，具有較高的穩(wěn)定性，故可用在截面扭轉較大的結構中，同時在扭轉作用時，直腹桿可視為零桿。

（3）在矩形和倒三角形截面Warren鋼管空間桁架設計時，可通過改變上下弦桿的面積比，來降低鋼材的用量，進而減輕結構自重，以及通過調整上下平面斜腹桿的面積比，來提高截面的自由扭轉剛度。

（4）對于矩形截面Warren鋼管空間桁架而言，要充分考慮矩形截面的高寬比對其截面的自由扭轉剛度的影響，當矩形截面的高寬比不能改變時，要進一步改變節(jié)間距離，來使其滿足設計要求。

（5）對于倒三角形截面Pratt鋼管空間桁架結構的設計，建議上下弦桿面積相等和各斜腹桿面積相等。