實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的諧波式解析解*

，，，

(1西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710049； 2西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710049)

0 引言

彈性箔片氣體軸承支承的高速永磁同步電機(jī)主要應(yīng)用于燃料電池空氣壓縮機(jī)、微型燃?xì)廨啓C(jī)等各種透平機(jī)械中，與傳統(tǒng)電機(jī)相比較，具有一些顯著的優(yōu)勢，是電機(jī)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。同時(shí)在節(jié)能減排的大環(huán)境下，永磁電機(jī)以效率高、性能好、輕型化等特點(diǎn)，發(fā)揮著重要的作用，具有廣闊的應(yīng)用前景。電磁場分析是電機(jī)研究中的基礎(chǔ)和重點(diǎn)內(nèi)容，對其計(jì)算和分析的結(jié)果是設(shè)計(jì)、優(yōu)化電機(jī)的關(guān)鍵，影響著電機(jī)振動和噪聲、電磁損耗等特性計(jì)算和分析的準(zhǔn)確程度，還直接影響著電機(jī)的控制性能。

氣隙磁場的計(jì)算可以將永磁體磁場和電樞反應(yīng)磁場疊加[1]。在求解永磁電機(jī)電樞反應(yīng)磁場方面，1993年Zhu等[2]在將定子槽內(nèi)的載流導(dǎo)體等效為電流片的基礎(chǔ)上，在極坐標(biāo)下求解拉普拉斯方程，獲得了無刷永磁直流電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的解析解。無刷永磁電機(jī)定子繞組厚度的作用不能忽視，尤其是當(dāng)繞組厚度與極距之比增加時(shí)，因此用無限薄電流片等效繞組的話并不合適，Atallah等[3]于1998年基于分布電流模型，獲得了考慮定子繞組厚度時(shí)極坐標(biāo)下無槽永磁無刷電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的二維解析解。2012年Rahideh等[4]建立了計(jì)算內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子無槽永磁無刷電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的二維解析模型，該模型適用于交流、直流以及任何相數(shù)的電機(jī)。在求解的過程中，將整個(gè)電機(jī)的求解場域劃分成為了八個(gè)子區(qū)域，求解相應(yīng)的控制偏微分方程，得到各個(gè)子區(qū)域電樞反應(yīng)磁場分布的通解，根據(jù)邊界條件求出通解中的各個(gè)整數(shù)系數(shù)，進(jìn)而得到各個(gè)子區(qū)域的電樞反應(yīng)磁場分布。林福等[5]從單個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場入手，進(jìn)而根據(jù)磁場分布矢量圖推導(dǎo)出單相繞組產(chǎn)生的磁場，通過合成各相繞組產(chǎn)生的磁場得到分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁同步單元電機(jī)無槽時(shí)電樞反應(yīng)磁場分布的解析表達(dá)式，基于保角變換方法推導(dǎo)出復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)之后，將無槽時(shí)的電樞反應(yīng)磁場與復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)相乘，考慮電機(jī)定子開槽對電樞反應(yīng)磁場的影響。Bellara等[6]在2009年利用子區(qū)域法求解了表貼式永磁同步電機(jī)考慮齒槽效應(yīng)時(shí)的電樞反應(yīng)磁場，模型同時(shí)考慮了轉(zhuǎn)子心軸導(dǎo)磁和不導(dǎo)磁的情形，且適用于繞組為疊繞和非疊繞的布線方式，但是文獻(xiàn)并沒有給出明確的解析形式。Wu等[7]建立了考慮齒尖影響的疊繞和非疊繞繞組表貼式永磁電機(jī)電樞反應(yīng)靜態(tài)磁場的子區(qū)域解析模型。

對永磁電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場、電磁損耗等特性進(jìn)行定性分析時(shí)，明確氣隙磁場的諧波成分是關(guān)鍵?，F(xiàn)有的很多永磁體氣隙磁場的解析解都可以清楚地表示出各次諧波磁場成分[8,9]，從這方面來說，目前為止，大多數(shù)電樞反應(yīng)磁場解析解形式卻不太簡潔，在分析電機(jī)相關(guān)特性時(shí)不夠方便。對于高速或超高速永磁電機(jī)，由于常規(guī)的疊片轉(zhuǎn)子難以承受高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，需要采用實(shí)心轉(zhuǎn)子，即永磁體采用實(shí)心圓柱式或內(nèi)裝導(dǎo)磁或不導(dǎo)磁心軸的圓環(huán)形。本文針對這三種結(jié)構(gòu)類型的分布繞組永磁同步電機(jī)，從氣隙中單根線電流所產(chǎn)生的磁場入手，推導(dǎo)三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場，目的在于獲得以各次諧波成分表達(dá)的形式簡單且在后續(xù)電機(jī)特性的研究中使用方便的電樞反應(yīng)磁場解析表達(dá)式。

1 實(shí)心圓柱式和內(nèi)裝不導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)

實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1所示。首先推導(dǎo)實(shí)心圓柱式和內(nèi)裝不導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的解析表達(dá)式。

圖1 實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

1.1 氣隙中單根線電流產(chǎn)生的磁場

在極坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型，下角標(biāo)r，θ和z分別表示變量的徑向、周向和軸向分量。為了分析方便，作如下假設(shè)

(1)定子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大；

(2)永磁材料的磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率相等；

(3)忽略端部效應(yīng)。

如圖2所示，導(dǎo)線位于r=a，θ=0°處。P為氣隙中的一點(diǎn)，α和ρ表示以線電流所在位置作為原點(diǎn)時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，則氣隙內(nèi)的向量磁位Az為[10]

(1)

式中，μ0—真空磁導(dǎo)率。

圖2 單根線電流

由于保護(hù)套選用不導(dǎo)磁合金，相對磁導(dǎo)率與空氣近似，可將永磁體、保護(hù)套和不導(dǎo)磁心軸作為空氣處理。邊界條件為：r→0時(shí)，徑向磁密Br和切向磁密Bθ有界

(2)

根據(jù)邊界條件，求得Aυ和Bυ，代入式(1)，得

(3)

1.2 氣隙中載流線圈產(chǎn)生的磁場

設(shè)線圈的兩條有效邊分別為c1和c2，節(jié)距為y1，張角為2ξ(ξ=y1×90°/τ)，如圖 3 所示，將線圈的兩條有效邊產(chǎn)生的向量磁位疊加可得到線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁場，即

(4)

式中，Kyυ—υ次諧波的節(jié)距系數(shù)，Kyυ=sin(υξ)。

圖3 載流線圈

對于整距線圈，ξ=π/2，偶次諧波的節(jié)距系數(shù)Kyυ=0，式(4)改寫為

(5)

氣隙磁密則為

(6)

1.3 相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場

忽略鐵心飽和，位于定子槽內(nèi)的導(dǎo)體電流等效為位于光滑電樞表面的電流片，寬度等于槽口寬度bo，電流片分布可寫為

(7)

式中，Nc—線圈的匝數(shù)；i(t)—定子相電流的瞬時(shí)值；a—并聯(lián)支路數(shù)；β—槽口寬度對應(yīng)的角度。

由式(6)和式(7)可以得到該電流片在光滑氣隙內(nèi)產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場

(8)

式中，

(9)

若每極每相槽數(shù)為q，一個(gè)線圈組由q個(gè)線圈串聯(lián)而成。雙層繞組的一相繞組有2p(p為極對數(shù))個(gè)線圈組，單層繞組的相繞組有p個(gè)線圈組。將磁勢矢量相加，再考慮到對于雙層繞組，每相串聯(lián)匝數(shù)N=2pqNc/a，而對于單層繞組，N=pqNc/a。將單層繞組和雙層繞組綜合處理，若坐標(biāo)軸線取得與線圈組的軸線相重合，可得相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁密幅值為

(10)

(11)

式中，Kwυ—υ次諧波的繞組系數(shù)；Kdυ—υ次諧波的繞組分布系數(shù)；Kpυ—υ次諧波的短距系數(shù)；α—槽距角、電角度；y1—節(jié)距；τ—極距。

于是，單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密可以寫成

(12)

各次諧波的正負(fù)取決于繞組系數(shù)Kwυ的正負(fù)。由式(12)可知單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

1.4 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場

定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流，取A相繞組的軸線作為空間坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以順著相序的方向作為θ的正方向，同時(shí)選擇A相電流為零的瞬間作為時(shí)間的零點(diǎn)，則各相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場可寫為

(13)

其中，

(14)

式中，Im—定子相電流的幅值。

將三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場相加，并根據(jù)積化和差的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分解，得到三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的υ次合成磁場為

(15)

(16)

其中，

(17)

由此可知當(dāng)定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流時(shí)，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉(zhuǎn)磁密波，轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當(dāng)諧波次數(shù)υ= 6k+ 1 (k= 1，2，3，… ) 時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)正向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波；當(dāng)υ= 6k-1 (k= 1，2，3，… )時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波。

2 內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)

對于內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)，假設(shè)心軸的磁導(dǎo)率為無窮大，邊界條件(1)變?yōu)?/p>

Bθ|r=Rr=0

(18)

式中，Rr—導(dǎo)磁心軸的外半徑。

用同樣的方法推導(dǎo)出相繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁場，形式同式(12)，其中

(19)

進(jìn)而推導(dǎo)出三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的υ次合成磁場，形式同式(14)和式(15)，其中

(20)

3 有限元仿真驗(yàn)證

選用兩臺實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，分析其電樞反應(yīng)磁場。電機(jī)1為實(shí)心圓柱式永磁同步電機(jī)，電機(jī)2為內(nèi)裝導(dǎo)磁心軸的環(huán)形永磁同步電機(jī)，電機(jī)模型參數(shù)如表1所示，兩臺樣機(jī)均采用雙層短距繞組結(jié)構(gòu)。在電磁場分析軟件Ansoft Maxwell中建立電機(jī)定子鐵心以及繞組的有限元模型并進(jìn)行氣隙磁場的仿真計(jì)算，將結(jié)果與本文解析模型計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對比。A相電流達(dá)到最大時(shí)，該相繞組的勵(lì)磁磁場如圖4和圖6所示，可以看出，距離定子內(nèi)徑相對較遠(yuǎn)處，定子槽口對氣隙磁密的影響非常微弱，解析解和有限元解吻合地非常好?？拷ㄗ觾?nèi)徑處，定子槽口對氣隙磁密的影響非常大，解析解和有限元解基本上仍然能夠很好地吻合。需要注意的是，在解析計(jì)算的過程中，磁場諧波的階次數(shù)取了有限值，這可能會造成解析解和有限元解的差異。

表1 電機(jī)模型參數(shù)

圖4 A相繞組勵(lì)磁磁場(電機(jī)1)

圖5 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(電機(jī)1)

A相電流為零的瞬間，三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場如圖5和圖7所示。由圖5和圖7可以得出與圖4和圖6相似的結(jié)論，解析法計(jì)算的結(jié)果與有限元法計(jì)算的結(jié)果能夠很好地吻合。

圖6 A相繞組勵(lì)磁磁場(電機(jī)2)

圖7 三相繞組在氣隙中產(chǎn)生的合成磁場(電機(jī)2)

4 解析模型在電磁轉(zhuǎn)矩分析中的應(yīng)用

本文推導(dǎo)出的實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場諧波式解析模型形式簡潔，便于分析同類電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩等相關(guān)特性。對于這三類實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)，轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)時(shí)，永磁體產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場可表示為

(21)

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，作用于電機(jī)轉(zhuǎn)子單位面積上的切向電磁力為

(22)

這些結(jié)構(gòu)類型的永磁電機(jī)的有效氣隙長度較大，由定子開槽產(chǎn)生的低階力波幅值小，因此可忽略定子開槽的影響。考慮到對于永磁體磁場和電樞反應(yīng)磁場，其自身的徑向和切向磁場相互作用不產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，因此電磁轉(zhuǎn)矩為

(23)

其中，

(24)

式中，la—電機(jī)的有效軸向長度；Bδr—負(fù)載徑向氣隙磁密；Bδθ—負(fù)載切向氣隙磁密；Baδr—電樞反應(yīng)徑向氣隙磁密；Baδθ—電樞反應(yīng)切向氣隙磁密；φ—電樞反應(yīng)磁場與永磁體磁場的夾角。

(25)

υ=1時(shí)，Cυ=-1，由式(25)可得到

(26)

即電磁轉(zhuǎn)矩為恒定值，不產(chǎn)生波動。

5 結(jié)語

從氣隙中單根線電流所產(chǎn)生的磁場入手，推導(dǎo)了三類實(shí)心轉(zhuǎn)子分布繞組永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場的解析模型，結(jié)果表明

(1)單相繞組所產(chǎn)生的氣隙磁密只含基波和3，5，7，…等奇數(shù)次諧波。

(2)當(dāng)定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流時(shí)，三相繞組的基波合成氣隙磁密為一正向旋轉(zhuǎn)磁密波，轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速ns，諧波合成氣隙磁密不存在次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分，只含有5，7，11，…等奇數(shù)次諧波。當(dāng)諧波次數(shù)υ=6k+1 (k=1，2，3，… )時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)正向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波；當(dāng)υ=6k-1 (k=1，2，3，…)時(shí)，諧波合成磁密是一個(gè)反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為ns/υ的旋轉(zhuǎn)磁密波。

(3)本文電樞反應(yīng)磁場解析模型適用于任意極槽配合以及任意繞組層數(shù)的同類實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，形式簡潔，方便于電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場、電磁損耗等電機(jī)特性的分析。

另外，本文將建立的電樞反應(yīng)磁場解析模型應(yīng)用于實(shí)心轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的分析，結(jié)果表明電磁轉(zhuǎn)矩為恒定值，不產(chǎn)生波動。