研究解法拓展應(yīng)用

摘要：通過對(duì)將軍飲馬模型解法的探究和拓展應(yīng)用，在建立模型、完善模型、打破模型、再建新模型的過程中，讓學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提升學(xué)生的應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

關(guān)鍵詞：探究解法；拓展應(yīng)用；創(chuàng)新意識(shí)

近幾年中考和高中自主招生數(shù)學(xué)試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在某圖形上運(yùn)動(dòng)，求線段和的最小值問題。動(dòng)點(diǎn)在直線上，兩定點(diǎn)在直線同旁的兩線段和的最小值問題，是我們熟悉的模型，也是初中幾何中求線段和的最小值常見數(shù)學(xué)模型即將軍飲馬模型。

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡由直線變?yōu)閽佄锞€或雙曲線時(shí)，如何求兩線段和的最小值呢？能否從將軍飲馬模型解決方法中得到啟發(fā)，能使問題得到解決呢？下面舉例說明將軍飲馬模型解法的探究過程和其解法的拓展應(yīng)用。

探究解法

一、 動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線（將軍飲馬模型）

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，3），B（5，2），在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，并求最小值。

評(píng)注：方法一是對(duì)稱轉(zhuǎn)化，通過作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的最短距離問題，利用兩點(diǎn)之間距離最短將問題解決，本題也可以作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。

方法二是恒等變形轉(zhuǎn)化，將線段長(zhǎng)用兩點(diǎn)間的距離公式表示，利用代數(shù)恒等變形（相當(dāng)于配方）得到新的兩點(diǎn)間距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知，其實(shí)質(zhì)是作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，從而把直線同側(cè)兩線段之和轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩線段之和，再利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決。本題也可將（x-5）2+（0-2）2變形為（x-5）2+[0-（-2）]2。

拓展應(yīng)用

二、 動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線

分析：要求△KFN周長(zhǎng)的最小值，F(xiàn)N的長(zhǎng)為定值，需要求KN+KF的最小值。對(duì)比將軍飲馬模型，定點(diǎn)F，N都在拋物線一側(cè)，不同的是動(dòng)點(diǎn)軌跡是拋物線，能否像將軍飲馬模型一樣作對(duì)稱點(diǎn)呢？

顯然不能，能否像方法二那樣，利用恒等變形轉(zhuǎn)化，在拋物線的另一側(cè)找一點(diǎn)M，使得KM=KF或KM=KN呢？如果可以，當(dāng)N、K、M或F、K、M共線時(shí)，KN+KM或KF+KM最小，KN+KF的最小值問題就解決了。

評(píng)注：這里的點(diǎn)F和直線y=114很特殊，高中學(xué)完圓錐曲線之后，就知道這個(gè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上，這條直線是拋物線的準(zhǔn)線，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等。這里兩定點(diǎn)中有一個(gè)焦點(diǎn)，如果已知的兩個(gè)定點(diǎn)中沒有一個(gè)是焦點(diǎn)，問題就不能這樣轉(zhuǎn)化了。

本題的恒等變形就是配方，配成關(guān)于x-1的代數(shù)式，這里1是拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后變形為x2-2x+4-114，利用數(shù)形結(jié)合的思想從而將線段KF轉(zhuǎn)化為拋物線異側(cè)垂線段KM，然后利用垂線段最短解決本題。

三、 動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線

例3（黃石市中考題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），N（0，32），P為反比例函數(shù)y=-1x（x<0）的圖像上一動(dòng)點(diǎn)，PM∥x軸交直線AB于M，求PM+PN的最小值。

評(píng)注：高中學(xué)完圓錐曲線后知道，這里點(diǎn)K是雙曲線的焦點(diǎn)，在雙曲線的對(duì)稱軸上，直線AB是雙曲線的準(zhǔn)線。過P作PH⊥AB，垂足為H，PKPH=2叫作雙曲線的離心率，本題PM=2PH因此PM=PK。

幾點(diǎn)啟示

1. 本文通過探究將軍飲馬問題的解決方法，并將方法應(yīng)用于動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線和雙曲線，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想?？梢钥闯黾词贡容^復(fù)雜的問題，所用的知識(shí)也是簡(jiǎn)單而基礎(chǔ)的問題，因此教學(xué)中教給學(xué)生解題方法時(shí)，要與學(xué)生探究所給問題與基本問題的聯(lián)系，使學(xué)生能夠說出為什么這么想，用到哪些知識(shí)等，提高學(xué)生解題能力。

2. 構(gòu)建解題模型，并在不同的情景中應(yīng)用模型解題，有利于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和批判性，也培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介：

李繼丹，湖北省仙桃市，西流河鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)。