一道奧數(shù)題的解法分析及其本質(zhì)探究

徐瑞陽

【摘 要】初中奧數(shù)學(xué)習(xí)有助于幫助我們?cè)黾訉?duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思考能力。對(duì)我們自身的分析解決能力也是一種鍛煉。因此在中學(xué)階段，作為學(xué)生，我們要對(duì)奧數(shù)學(xué)習(xí)引起足夠的重視，為將來的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、大學(xué)的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。本文主要根據(jù)一道奧數(shù)題來分析討論其解答方案和本質(zhì)研究。

【關(guān)鍵詞】奧數(shù)；解法分析；本質(zhì)研究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1671-8437（2018）10-0076-01

在奧數(shù)的所有題型中，幾何題型是最常見的題型。幾何題型的解題技巧和思維培養(yǎng)對(duì)我們初中生來說都非常重要。本文以平時(shí)經(jīng)常做的一道例題為例，分析解題技巧和解題思路。

原題：點(diǎn)D、E分別為BC、AC上的一點(diǎn)，AD與BE交于F點(diǎn)，已知BD/DC=0.5，CE/EA=2/3，求AF/FD的值。

本題是奧數(shù)題型中的求比值問題，是奧數(shù)比賽中的真實(shí)試題。這道題全面的考核了我們平面幾何的相關(guān)內(nèi)容，通過不同的解題方法都可以得到正確的答案。

解法一：我們應(yīng)該想到在這道題中可能用到的理論知識(shí)，如三角形內(nèi)角和邊長的比值存在一定關(guān)系，或者三角形面積和邊長有一定聯(lián)系。在已知條件中，兩條線段的比值不具有特殊意義，因此運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化成面積或者角度進(jìn)行分析，就會(huì)得到解題思路。我們需要先連接CF兩點(diǎn)，設(shè)三角形BFD面積為1，三角形CEF面積為4a，因此可以得到：

因?yàn)?，BD/DC=0.5，CE/EA=2/3，所以，三角形CDF的面積=2，三角形AEF的面積=6a，三角形ABF的面積為5a；所以，三角形ABF的面積/三角形BCF的面積=5a/3=2/3所以，a=9/10；所以AF/FD=5a/1=9/2。

分析研究：此方法是根據(jù)三角形面積的比值方式求出未知數(shù)a，假設(shè)方法在幾何圖形計(jì)算中應(yīng)用最為廣泛，也是最簡便的解題方法。在解題過程中，要正確的選擇可用的三角形，要和已知條件相關(guān)，才能夠一步步推理出正確答案。

解法二：如果不用假設(shè)面積的方法，可以利用三角形面積比值，根據(jù)線段AF相關(guān)的三角形來分析對(duì)應(yīng)的面積比值。但是在對(duì)三角形進(jìn)行分析時(shí)，可以連接相應(yīng)的輔助線，可以構(gòu)造出更多的相關(guān)三角形。這樣可以排除假設(shè)過程中對(duì)假設(shè)對(duì)象的不理解。我們平時(shí)在解決幾何圖形問題中，往往會(huì)很難理解假設(shè)成一個(gè)數(shù)值的方法。因此，直接用三角形比值能夠更加直觀清晰。

連接DE線段，構(gòu)造出三角形DEF，因?yàn)椋珹F/FD=三角形ABF面積/三角形BDF面積=三角形AEF面積/三角形DEF面積，所以，（三角形ABF面積+三角形AEF面積）/（三角形BDF面積+三角形DEF面積）=三角形ABE面積/三角形BDE面積。又因?yàn)?，BC/BD=三角形BCE面積/三角形BCE面積=3，AE/CE=三角形ABE面積/三角形BCE面積=3/2，所以，AF/FD=三角形BCE面積/三角形BDE面積×三角形ABE面積/三角形BCE面積=三角形ABE面積/三角形BDE面積=9/2。

分析研究：此解題方法主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)理論知識(shí)是三角形面積之比等于同高不同底的比，因此，簡化了AF/FD值的計(jì)算。

解法三：利用平行關(guān)系能夠清晰的找到比例對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在幾何圖形中找到BE的平行線，過D做BE的平行線交于AC于點(diǎn)P，此時(shí)，DP平行BE，所以，BC/BD=EC/EP=3，DF/AF=EP/AE，所以，BC/BD×DF/AF=EC/EP×EP/AE，因此，3×DF/AF=EC/AE=2/3，所以，AF/FD=9/2。

分析研究：平行線知識(shí)在奧數(shù)解題中也非常常見，我們應(yīng)該抓住解題中的關(guān)鍵點(diǎn)，利用所學(xué)的理論知識(shí)，解答出正確答案。這道題的這種解法是用線段之比換算成構(gòu)造線的線段之比，這樣將已知的值轉(zhuǎn)化成未知的值，可以簡化題目要求。

解法四：利用垂足的知識(shí)點(diǎn)也能夠解答此題，可以過D/A/C點(diǎn)分別做BE的垂線，交BE于G/H/I點(diǎn)，因?yàn)椋珼G垂直BE，AH垂直BE，所以，AF/FD=DG/AH，CE/AE=CI/AH=2/3，BD/BC=DG/CI=1/3，所以，AF/FD=DG/AH=（3CI/2）/（1CI/3）=9/2。

分析研究：已知的線段之比轉(zhuǎn)化為三角形的高的比，所以需要借助三角形的高度作為輔助線，這樣更容易找到解題的突破口，因此，在這道題的解題中，對(duì)這種方法進(jìn)行應(yīng)用更加簡便、快捷。

綜上所述，我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)的理論知識(shí)非常多，將其更好的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題過程中是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。奧數(shù)是初中數(shù)學(xué)的拔高課程，它能夠在初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上提升我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和邏輯推理能力，因此數(shù)學(xué)的理論知識(shí)也是奧數(shù)解題的關(guān)鍵。