例談解析幾何中最值范圍問題的處理

林木垚

【摘 要】解析幾何中的最值參數(shù)問題是高考中的?？純?nèi)容，綜合性較強，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力。在運算過程中要注意思維的嚴密性，同時還要注意函數(shù)與方程的化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。本文提出了圓錐曲線中的最值范圍問題可分為兩大類：一是求直線與圓錐曲線中的幾何元素的最值范圍以及與之相關(guān)的問題；二是涉及距離、面積、向量等的最值范圍以及與之相關(guān)的一些問題。

【關(guān)鍵詞】目標函數(shù)；距離；面積；參數(shù)；最值范圍；幾何元素

【中圖分類號】G633.65 【文獻標識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0062-03

在每年的高考中，解析幾何是高考命題的熱點和難點。解析幾何綜合問題命題趨向是老師、學(xué)生所關(guān)注的點。解析幾何中常涉及到定點、定值、對稱、最值范圍、存在性等問題。本文主要針對最值范圍的解題策略進行討論。從我們近5年的全國課標Ⅰ卷理科來看，2013年解析幾何解答題中涉及到長度的最值，2014年解析幾何解答題題中涉及到三角形面積的最值，2016年解析幾何解答題題中涉及到四邊形面積的范圍，2017年解析幾何選擇題中涉及到距離的最值問題。因此，最值范圍問題在上述幾個問題中顯的尤為突出。解析幾何中的最值范圍問題主要有兩大類型，一是求直線與圓錐曲線中的幾何元素的最值范圍以及與之相關(guān)的問題；二是涉及距離、面積、向量的最值范圍以及與之相關(guān)的一些問題。涉及到幾何元素的最值問題大多是采用幾何法，利用相關(guān)的曲線的性質(zhì)及平面幾何知識求出最值或范圍。涉及到距離、面積、向量等最值范圍主要是采用代數(shù)法，通過圖形我們無法觀察出在什么樣位置會取到最值；只能去求出距離、面積、向量這些問題的“目標函數(shù)”，然后再去求“目標函數(shù)”的最值，這就涉及到求函數(shù)值域常用的一些方法，比如求導(dǎo)法、函數(shù)單調(diào)性、不等式法等。本文主要針對第二類涉及到距離、面積、向量等最值范圍問題介紹其處理策略，以供大家分享。

類型一：距離的最值范圍

例1：【2017全國1理科】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于C、D兩點，

則|AB|+|DE|的最小值為

A.16 B.14 C.12 D.10

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直線l1：y=k（x-1）

聯(lián)立方程得

k12x2-2k12x-4x+k12=0

∴x1+x2=- =

同理直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=

由拋物線的定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p

= + +4

= + + 8≥2 +8=16

當(dāng)且僅當(dāng)k1=-k2=1或k1=-k2=-1時，“=”成立。

點評：此題涉及到拋物線的定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式、韋達定理是通法，需要重點掌握。考查到最值問題，首先要先求出 “目標函數(shù)”，然后再去求目標函數(shù)的最值，注意目標函數(shù)自變量的選擇，再求最值過程中應(yīng)用到基本不等式求最值得方法。

另外此題還可以選用直線的傾斜角α為“目標函數(shù)”的自變量，利用弦長公式去求解，

類型二：面積的最值范圍

例2：【2014全國1理科】已知點A（0，2），橢圓E： + =1（a>b>0）的離心率為 ；F是E橢圓的右焦點，直線AF的斜率為 ，O為坐標原點

（I）求E的方程；

（II）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P、Q兩點。當(dāng)△OPQ的面積最大時，求的直線l方程.

解析：（I）略，E的方程為

（II）易知l⊥x軸時，不滿足條件，因此設(shè)直線l ：y=kx-2 P（x1，y1）、Q（x2，y2）

聯(lián)立方程 得（1+4k2）x2-16kx+12=0

∴ x1+x2= x1x2=

∴△=256k2-48（1+k2）>0 ∴k> 或k<-

又∵點O到直線lPQ ：kx-y-2=0的距離d=

所以ΔOPQ的面積

設(shè)t= （k> 或k<- ），則 t<0

∴

∵ ≥ 當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，k=± 時取等號，且滿足Δ>0。

所以，當(dāng)ΔOPQ的面積最大時，l的方程為y=x-2或y=- x-2。

點評：本題涉及到直線與橢圓相交，通過求三角形邊長（弦長）、三角形的高（點到直線距離），從而求出三角形面積的“目標函數(shù)”，是一個以k自變量的函數(shù)f（x）利用一元二次方程根的判別式確定自變量k的范圍。然后令t= 進行換元，再利用均值不等式法求出函數(shù)的最值。

例3：【2015山東理科】平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2為圓心以3為半徑的圓與以F1為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上，

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓，P為橢圓C上任意點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點，射線PO 交橢圓E于點Q。

（i）求的值：（ii）求ΔOPQ面積的最大值。

解：（Ⅰ）略 橢圓C的標準方程為 +y2=1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的方程為 + =1 ，

（i）設(shè)P（x0，y0），=λ，由題意知Q（-λx0，-λy0）因為+y02=1，又+ =1，即，所以λ=2，即=2。

（ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2 ，y2）

將y=kx+m代入橢圓E的方程，

可得（1+ 4k2）x2+8kmx+4m2-16=0

由Δ>0，可得m2<4+16k2…………①

則有x1+x2=- ，x1x2=

所以|x1-x2|=

因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為（0，m）

所以Δ0AB的面積

S= |m||x1-x2|=

=

= 2

令t=，將y=kx+m 代入橢圓C的方程可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0

由Δ≥0，可得m2≤1+4k2…………②

由①②可知0

因此S= = ，故S≤2

當(dāng)且僅當(dāng)t=1， 即m2=1+k2 時取得最大值2

由（i）知，ΔOPQ 面積為3S ，所以ΔOPQ 面積的最大值為 6 。

點評：本題意在考查學(xué)生理解力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識解決問題能力和較強的運算求解能力。利用第二步第一小題的結(jié)論把求ΔOPQ 面積轉(zhuǎn)化為求ΔOPQ 面積，簡化計算。再求ΔOPQ 出面積的表達式時，表達式里面涉及到兩個參數(shù)M，k，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵。令t=，求出“目標函數(shù)”，再利用二次函數(shù)求其最值；求解最值過程如何求出新變量t的范圍至關(guān)重要。

類型三：與向量有關(guān)的最值范圍

例5：【2015高全國1理科】已知M（x0，y0）是雙曲線C：-y2=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C上的兩個焦點，若 <0， 則y0的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解：由題可知 F1（- ，0）、F2（ ，0）

- y2=1

∴ =（-- x0，-y0 ）（- x0，-y0 ）

= x02+y02-3=3y02-1<0

∴-

點評：本題考查利用向量數(shù)量積的坐標形式將表示為關(guān)于點M坐標的函數(shù)，利用點M在雙曲線上，消去x0，根據(jù)題意化為關(guān)于的不等式，即可解出y0的范圍，將的“目標函數(shù)”表示為y0的函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法。若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法。若題目的條件和結(jié)構(gòu)能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起“目標函數(shù)”，再求這個“目標函數(shù)”的最值，這就是代數(shù)法。在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍。解析幾何中的最值參數(shù)問題是高考中的?？純?nèi)容，綜合性較強。需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力，在運算過程中要注意思維的嚴密性，同時還要注意函數(shù)與方程的化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。