APOS理論下的對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)

王文清 韓金蕊

【內(nèi)容摘要】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生形成對數(shù)函數(shù)概念，進(jìn)而掌握其性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】APOS 對數(shù)函數(shù) 概念 性質(zhì)

杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念心理建構(gòu)是很必要的，充分運(yùn)用自身已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的意義，才能達(dá)成理解的目的。這一建構(gòu)過程分為活動(dòng)（Action）階段、程序（Process）階段、對象（Object）階段以及圖式（Scheme）階段。基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)是把數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自主探究，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題的能力。讓學(xué)生真正成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者、探索者。可見APOS理論可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個(gè)行之有效的理論指導(dǎo)。

一、APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)

“活動(dòng)”階段是學(xué)生通過具體解題來感知理論知識(shí)，感受概念知識(shí)中的由來和背景，從而加深學(xué)生對知識(shí)的理解，目的是培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和抽象概括能力。在“操作”階段，教師應(yīng)該選取典型又能支撐概念的實(shí)例。“程序”階段是學(xué)生對活動(dòng)進(jìn)行思考研究，是學(xué)生對感性認(rèn)識(shí)的組織、處理、領(lǐng)悟，是思維形成的關(guān)鍵，往往也是概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在“程序”階段，教師需要啟發(fā)學(xué)生對“活動(dòng)”階段進(jìn)行反思。教師必須提出有針對性的，符合學(xué)生實(shí)際思維特點(diǎn)的問題讓學(xué)生思考、探究；教師還要能設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的問題，使學(xué)生有一想二，有二想三，越想越聰明，并對知識(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)?！皩ο蟆彪A段是對“程序”階段的提升，抽象歸納得到事物的實(shí)質(zhì)，并能用適當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表述出其定義和符號(hào)，成為一個(gè)具體的理論對象。在“對象”階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)、提煉、并補(bǔ)充完整概念屬性。在這一過程中部分學(xué)生對概念的掌握還不能達(dá)到預(yù)期的目的，某些地方還不完全清楚，教學(xué)中需要用對“活動(dòng)”階段和“程序”階段進(jìn)行反復(fù)的實(shí)施，達(dá)到有效教學(xué)，促使學(xué)生的認(rèn)識(shí)從“對象”上升到“圖式”階段?！皥D式”階段是對概念有關(guān)的所有活動(dòng)、程序和對象以及與這個(gè)概念有關(guān)的所有知識(shí)形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)或認(rèn)知框架，其作用是判斷某些內(nèi)容是否屬于這個(gè)圖式。在“圖式”階段，教師可以利用靈活的教學(xué)方法把概念的本質(zhì)特點(diǎn)和非本質(zhì)特點(diǎn)分離。展示典型、有針對性例題，學(xué)生自我總結(jié)等多種方式豐富學(xué)生對“對象”的理解，幫助學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到“圖式”的高度。

二、APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)方法

根據(jù)本節(jié)課的教材特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況，嘗試運(yùn)用“問題探究式”教學(xué)法。采取“設(shè)問引入——類比構(gòu)建——探究反饋”的方式，力圖通過創(chuàng)設(shè)問題情境、分析問題和解決問題的一系列過程，組織學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)探究有關(guān)問題，形成以學(xué)生為主體的各種形式的探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生步步深入地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來。同時(shí)多媒體輔助教學(xué)可以充分提高課堂效率。

三、基于APOS理論的對數(shù)函數(shù)教學(xué)基本流程

活動(dòng)一：復(fù)習(xí)提問：指數(shù)函數(shù)的概念是什么？指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是什么？學(xué)生思考并回答，為了節(jié)省時(shí)間可以用課件展示指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。設(shè)計(jì)目的：對數(shù)函數(shù)的概念比較抽象，利用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)逐步遞進(jìn)，這樣引出對數(shù)函數(shù)的概念過渡自然，學(xué)生易于接受。

活動(dòng)二：引用考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡生物體的殘留物，利用對數(shù)式公式估算出土文物或遺址的年代。設(shè)計(jì)目的：根據(jù)實(shí)際問題的意義引出對數(shù)函數(shù)貼近生活，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)式與對數(shù)式的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，歸納概括其特征，類比得出對數(shù)函數(shù)的定義滲透類比思想。

活動(dòng)三：如何畫對數(shù)函數(shù)的圖象呢？學(xué)生思考并回答：用描點(diǎn)法畫圖。教師肯定同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生畫出指數(shù)函數(shù)圖像并畫出其關(guān)于直線y=x對稱的圖象，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和用描點(diǎn)法畫出的對數(shù)函數(shù)相同。教師總結(jié)：我們畫函數(shù)的圖象，既可用描點(diǎn)法，也可用圖象變換法。設(shè)計(jì)目的：通過畫圖進(jìn)一步理解對數(shù)函數(shù)的概念，為下一步研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

活動(dòng)四：引導(dǎo)學(xué)生類比研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，探究研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用圖式框架展示研究結(jié)果。強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，以及函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用。并選取適當(dāng)?shù)膶?shí)例操作加深對概念及性質(zhì)的掌握。設(shè)計(jì)目的：突破本節(jié)課的重難點(diǎn)同時(shí)注意對學(xué)生從具體到一般思想方法的滲透。

顯然，基于APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)使我們以往的教學(xué)活動(dòng)更生動(dòng)更能體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，同時(shí)也注重培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力。強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)中首先要讓數(shù)學(xué)問題具有社會(huì)現(xiàn)實(shí)背景，并要求學(xué)生開展各種各樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，對概念所具有的直觀背景和形式定義進(jìn)行必要的整合，從而達(dá)到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的。其實(shí)，教學(xué)是一個(gè)發(fā)現(xiàn)學(xué)生、發(fā)展學(xué)生、發(fā)現(xiàn)自我、發(fā)展自我的過程；是師生共度的生命歷程?，F(xiàn)實(shí)中存在“重教書，輕育人”、“重教學(xué)，輕教研”、“重傳承，輕創(chuàng)新”的現(xiàn)象，還需我們不斷地摸索、改進(jìn)、完善，畢竟教無定法。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·高中數(shù)學(xué)必修一[M]. 人民教育出版社，2017.

[2] 程華. 在操作中體驗(yàn)，從過程中感悟，在感悟中建構(gòu)——對APOS理論操作過程階段的思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2007.

[3] 羅增儒. 中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

（作者單位：移民中學(xué)）