三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換仿真

樊戰(zhàn)亭

（咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

三相交流電動(dòng)機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造容易、維修工作量小等多種優(yōu)點(diǎn)，逐漸取代部分直流電動(dòng)機(jī)在生產(chǎn)生活中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。三相交流電動(dòng)機(jī)具有非線性、強(qiáng)耦合、多變量的性質(zhì)，要求獲得高動(dòng)態(tài)調(diào)速性能，就要對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行矢量控制等高精度控制，進(jìn)行三相交流電動(dòng)機(jī)坐標(biāo)變換是進(jìn)行交流電機(jī)控制重要組成部分之一[2-5]。本文主要討論三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換的原理、公式，并用Simulink軟件進(jìn)行仿真，比較詳細(xì)地給出仿真參數(shù)的設(shè)定、仿真結(jié)果的分析，能夠?yàn)槿嘟涣麟姍C(jī)的坐標(biāo)變換的理解和應(yīng)用提供較好的參考。

1 三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換理論依據(jù)

三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換的目的是為了實(shí)現(xiàn)高性能的控制，針對(duì)三相定子勵(lì)磁繞組進(jìn)行坐標(biāo)變換，借鑒直流電動(dòng)機(jī)的控制方法。直流電動(dòng)機(jī)因勵(lì)磁繞組和電樞繞組相互垂直，對(duì)兩者分別進(jìn)行控制，容易實(shí)現(xiàn)對(duì)直流電動(dòng)機(jī)高精度的控制。如果將三相交流電動(dòng)機(jī)三個(gè)互差120°的三相繞組等效變換成類似直流電動(dòng)機(jī)的勵(lì)磁繞組與電樞繞組相互垂直的兩相繞組模型，三相交流電機(jī)的分析和控制就會(huì)大大簡(jiǎn)化。

在三相交流電機(jī)靜止三相繞組，通以三相對(duì)稱的正弦交流電流時(shí)，所產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)是旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，并以同步轉(zhuǎn)速（交流電的角頻率）旋轉(zhuǎn)。兩個(gè)相位相差90°的繞組，通以幅值相同相位相差90°的正弦交流電流時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)[6]。因此，三相繞組可以用相互正交兩相對(duì)稱繞組等效，并且必須保證兩種不同坐標(biāo)下繞組所產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)相等。

2 三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換

把靜止的三相交流電機(jī)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)的兩相坐標(biāo)系，先要把三相靜止繞組變換到兩相靜止繞組，再把兩相靜止繞組變換到兩相旋轉(zhuǎn)正交繞組。

2.1 靜止三相-靜止兩相變換

靜止三相到靜止兩相磁動(dòng)勢(shì)的變換如圖1所示。把靜止三相繞組A、B、C變換到兩相對(duì)稱繞組α、β，兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，并使A軸和α軸重合。設(shè)三相及兩相繞組每相有效匝數(shù)分別為N3、N2，iA、iB、iC分別靜止ABC繞組中的交流電流，幅值相同、圓頻率均為 ω1、相位相差120°。 iα、iβ為 α、β 軸中的電流，磁動(dòng)勢(shì)為有效匝數(shù)與電流的乘積，以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向。

按照磁動(dòng)勢(shì)相等的等效原則，三相合成磁動(dòng)勢(shì)與兩相合成磁動(dòng)勢(shì)相等，把A、B、C軸的磁動(dòng)勢(shì)分別分解到α、β軸有[7]

圖1 靜止三相和靜止兩相磁動(dòng)勢(shì)變換圖

因?yàn)殪o止坐標(biāo)變換由三相變換為兩相取N3/N2=2/3[7]，可得

2.2 靜止兩相-旋轉(zhuǎn)兩相變換

靜止兩相到旋轉(zhuǎn)兩相的變換如圖2所示。把靜止兩相對(duì)稱繞組α、β磁動(dòng)勢(shì)分解到兩相旋轉(zhuǎn)繞組d、q軸，繞組每相有效匝數(shù)均為N2。靜止兩相交流電流為 iα、iβ，旋轉(zhuǎn)兩相電流id、iq產(chǎn)生同樣以角速度ω1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì)F，其中交流正弦電流iα、iβ的圓頻率為 ω1。d、q軸為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，α軸與d軸的夾角φ為變量，夾角的導(dǎo)數(shù)為ω1，與電流iα、iβ的圓頻率相同。

圖2 靜止兩相和旋轉(zhuǎn)兩相磁動(dòng)勢(shì)變換圖

按照磁動(dòng)勢(shì)相等的等效原則，并把匝數(shù)N2消去由圖2可得

3 三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換建模

三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換的建模采用Simulink軟件，Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包[8-9]。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，只要通過直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)，容易對(duì)仿真參數(shù)的設(shè)定和修改，能夠?qū)崿F(xiàn)輸入、輸出和中間變量的可視化。

三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換的建模主要通過公式（3）-（6）共四個(gè)公式來完成，其仿真模型如圖3所示。圖3中A、B、C為靜止三相通入的交流電流，通過公式（3）（4）轉(zhuǎn)變?yōu)殪o止兩相α、β，再利用公式（5）（6）轉(zhuǎn)換為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)d、q軸。α軸與d軸的旋轉(zhuǎn)角度φ為

其中φ0為α軸與d軸的初始夾角，ω1與靜止三相交流電流的圓頻率及轉(zhuǎn)向相關(guān)，t為仿真時(shí)間。進(jìn)行仿真時(shí)，隨著仿真時(shí)間增加φ不斷變化就相當(dāng)d、q軸在不斷旋轉(zhuǎn)。

整個(gè)坐標(biāo)變換三相靜止坐標(biāo)輸入三相電流圖形能夠通過示波器ABC觀察，兩相靜止、兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系電流的輸出分別通過示波器α-β、d-q查看。整個(gè)坐標(biāo)變換仿真模型比較簡(jiǎn)單、直觀、方便實(shí)現(xiàn)、易于觀察結(jié)果。

圖3 三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換仿真模型圖

4 三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換仿真

三相交流電機(jī)靜止三相繞組通以三相對(duì)稱交流電流，產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)是以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì)。仿真參數(shù)的設(shè)定要根據(jù)上述原理來進(jìn)行，主要包括三相坐標(biāo)電流、兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)速度及方向、α軸與d軸的初始夾角等3部分參數(shù)設(shè)定。三相坐標(biāo)電流必須設(shè)定為幅值相同、頻率相同及初始相位角相差120°的對(duì)稱交流電；兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)角度ω1絕對(duì)值必須與三相坐標(biāo)電流的頻率相同，其正負(fù)由三相坐標(biāo)電流初始相位由大變小的順序方向確定；最后設(shè)定α軸與d軸的初始夾角。參數(shù)設(shè)定正確最終輸出兩相旋轉(zhuǎn)電流（磁動(dòng)勢(shì)）為直流，否則輸出電流不為旋轉(zhuǎn)直流電流。

合成磁動(dòng)勢(shì)旋轉(zhuǎn)方向是參數(shù)設(shè)定的重要問題，其方向由ABC靜止三相通入對(duì)稱三相交流電流的相位來確定，旋轉(zhuǎn)方向是由三相交流電初始相位較大的相向相位較小的相進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。如果設(shè)定iA=10sin(100πt)A 、iB=10sin(100πt-2π/3)A 和iC=10sin(100πt-4π/3)A 時(shí)，合成磁動(dòng)勢(shì)的旋轉(zhuǎn)方向由A-B-C-A為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（正轉(zhuǎn)），圖3中的omega1應(yīng)取100π（100*pi），與輸入交流電流的圓頻率相同。如果把iB、iC電流值進(jìn)行互換，合成磁動(dòng)勢(shì)的旋轉(zhuǎn)方向就變?yōu)锳-C-B-A為順時(shí)針（反轉(zhuǎn)），則omega1要取值為-100π，絕對(duì)值與電流圓頻率相同，由于反轉(zhuǎn)取負(fù)值。

以正轉(zhuǎn)為例進(jìn)行仿真，iA、iB和iC取值同上述正轉(zhuǎn)方向，omega1為旋轉(zhuǎn)角速度100 π（50*2*pi），d軸與α軸起始角度φ0為零，取仿真時(shí)間設(shè)為0.06秒，仿真結(jié)果分別如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 靜止三相輸入電流圖

圖5 靜止兩相輸出電流圖

圖6起始角度為0時(shí)旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流圖

圖4 表示三相靜止坐標(biāo)系的交流電流（磁動(dòng)勢(shì)），3個(gè)正弦波分別表示iA、iB和iC3個(gè)靜止坐標(biāo)系通入三相對(duì)稱交流電（磁動(dòng)勢(shì)），方向?yàn)锳-B-C-A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。圖5為靜止兩相輸出電流（磁動(dòng)勢(shì)），表示把三相靜止坐標(biāo)系經(jīng)變換后成為兩相靜止坐標(biāo)系的電流（磁動(dòng)勢(shì)），其峰值為10 A，α軸上交流電流與iA相同，α軸電流相位超前β軸電流90°，合成電流（磁動(dòng)勢(shì)）方向?yàn)棣?β-α也為逆時(shí)針，其圓頻率與三相靜止電流的圓頻率均為100π，其幅值、頻率及合成磁動(dòng)勢(shì)方向不變。圖6表示靜止兩相交流電流（磁動(dòng)勢(shì)）經(jīng)變換后成為旋轉(zhuǎn)直流電流（磁動(dòng)勢(shì)），其中d軸輸出電流為0，q軸輸出電流為-10 A，并以100π/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)速度與靜止三相、靜止兩相的圓頻率相同。

如果把α軸和d軸起始位置角度變?yōu)棣?3，則靜止兩相輸出電流不變，旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流如圖7所示。圖7表示旋轉(zhuǎn)兩相輸出直流電流（磁動(dòng)勢(shì)）圖，其中d軸輸出電流為-8.66 A，q軸輸出電流為-5A，以100 π/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)速度與靜止三相、靜止兩相的圓頻率相同，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

圖7 起始角度為π/3時(shí)旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流圖

對(duì)比圖6、圖7直流電流輸出，由于兩者均表示旋轉(zhuǎn)磁通勢(shì)，并且旋轉(zhuǎn)速度相同。分析在t趨近0+時(shí)情況，t趨近0+時(shí)，圖6表示α軸和d軸重合，d軸電流為0，q軸為-10 A，合成電流（乘以匝數(shù)為磁動(dòng)勢(shì)）為10 A方向與q軸（β軸）負(fù)方向重合。因?yàn)槿嘟涣鬏斎氩蛔?，兩相旋轉(zhuǎn)直流輸出不變，直流合成磁動(dòng)勢(shì)（合成電流）不變。圖7表示把合成電流（β軸為-10 A）分解到與α軸夾角起始角度為π/3時(shí)的d、q軸上，會(huì)得到id=-8.66 A，iq=-5 A，與圖7輸出電流結(jié)果一致。如果取其他起始角度同樣把β軸上的-10 A電流分解到與α軸相應(yīng)夾角d、q軸就可得到相應(yīng)的結(jié)果。當(dāng)α軸與d軸夾角不同時(shí)，相同三相靜止坐標(biāo)通入三相對(duì)稱交流電時(shí)，經(jīng)過靜止三相交流變換靜止兩相交流再到旋轉(zhuǎn)兩相直流，旋轉(zhuǎn)兩相d、q軸上直流電流（磁動(dòng)勢(shì)）是不同的，但是合成電流（磁動(dòng)勢(shì)）是相同的。在交流電機(jī)中d、q軸上不同直流會(huì)產(chǎn)生不同的輸出轉(zhuǎn)矩，在不同轉(zhuǎn)矩負(fù)載時(shí)，保證電機(jī)在不同轉(zhuǎn)速下平穩(wěn)的運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)對(duì)交流電機(jī)比較高精度的控制。

5 結(jié)論

按照三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換磁動(dòng)勢(shì)不變的原則，推導(dǎo)出三相靜止轉(zhuǎn)換兩相靜止、兩相靜止轉(zhuǎn)換兩相旋轉(zhuǎn)的電流關(guān)系。應(yīng)用Simulink對(duì)兩種變換進(jìn)行建模，給出仿真參數(shù)的設(shè)定方法，分析了不同輸入仿真結(jié)果。比較直觀地證明ABC三相對(duì)稱繞組通入三相對(duì)稱交流電能夠轉(zhuǎn)換為α、β兩相對(duì)稱坐標(biāo)軸通入兩相對(duì)稱交流電，最后變換成為在d、q軸通入直流電所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。能夠較深入地說明三相交流電機(jī)坐標(biāo)變換的原理、建模和結(jié)果，為交流電機(jī)矢量控制等高精度控制方法的應(yīng)用打下較好的基礎(chǔ)。