《宣明歷》的日食推步方法

王鵬云，滕艷輝

（1.咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽712000；2.西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，陜西 西安 710127）

《宣明歷》由唐代徐昂制訂，頒行于唐穆宗長(zhǎng)慶二年（822）。在唐代行用長(zhǎng)達(dá)71年，景福元年（892）被《崇玄歷》取代。[1]2319《宣明歷》對(duì)日本和朝鮮的影響很大?！缎鳉v》在日本貞觀四年（862）取代《大衍歷》行用至貞享元年（1684），共計(jì)823年。高麗建國即用《宣明歷》，直到忠宣王（1309—1313）改用元《授時(shí)歷》，而交會(huì)術(shù)仍因循《宣明歷》行用至1392年，亦約400年。[2]《宣明歷》對(duì)之前歷法最大的改進(jìn)表現(xiàn)在日食計(jì)算上面，它首創(chuàng)日食“三差”算法，是中國傳統(tǒng)歷法視差理論中極其重要的內(nèi)容。已經(jīng)有學(xué)者對(duì)《宣明歷》的部分術(shù)文給出過解讀，亦有學(xué)者對(duì)其定朔和歷書推步做過詳細(xì)討論。[2-5]本文將著重對(duì)其日食算法和推算過程給出詳細(xì)的解讀。

1 交食計(jì)算的有關(guān)常數(shù)

目前，關(guān)于《宣明歷》推算的原文在中國、日本和朝鮮都有所保存?！缎绿茣分性敿?xì)記載了《宣明歷》推算所用的天文常數(shù)和《宣明歷》所改進(jìn)的地方，而與《大衍歷》相同或相似的推算術(shù)文并沒有記載?！陡啕愂贰吠暾涊d了《宣明歷》的氣朔、發(fā)斂、日躔、月離、晷漏和交會(huì)幾部分的推算術(shù)文，但沒有記載五星部分的推算術(shù)文。[6]日本寬永二十一年（1645）開版印刷的《宣明歷》一至七卷是為了計(jì)算方便而改進(jìn)的版本。這里面將《宣明歷》的某些算法直接計(jì)算出數(shù)據(jù)編制成表格，將某些不參與直接計(jì)算的算法刪除。[7]本文關(guān)于《宣明歷》的推算原文，參考了這三個(gè)版本。

《宣明歷》有關(guān)日食計(jì)算的常數(shù)大部分在其“步交會(huì)術(shù)”部分中給出，但也有些常數(shù)因?yàn)樵谇懊嫱扑闫渌鼩v日和天象的時(shí)候已經(jīng)給出，步交會(huì)部分就沒有重復(fù)給出?？傮w上，使用《宣明歷》進(jìn)行一次完整的日食推算，需要用到推算氣朔、日躔、月離和晷漏幾部分的常數(shù)和推算術(shù)文。下面我們列出與交食計(jì)算有關(guān)的天文常數(shù)。

宣明統(tǒng)法A=8 400，表示1日的日分?jǐn)?shù)；章歲T=3 068 055，是回歸年的日分?jǐn)?shù)；是回歸年的日數(shù)；通余=T-360A=44 055。章月U=248 057，表示朔望月的日分?jǐn)?shù)；是朔望月日數(shù)；章閏=T-12U=91 371，表示248 057個(gè)回歸年共有3 068 055個(gè)朔望月,其中包含91 371個(gè)閏月。歷周G=231 458.19是近點(diǎn)月的日分?jǐn)?shù)；歷周日g=是近點(diǎn)月的日數(shù)；平行V=m13.368 75是月亮平均速度，單位是度每日。終率J=228 582.651 2是交點(diǎn)月的日分?jǐn)?shù)；j=是交點(diǎn)月的日數(shù)；陽歷食限L1=2 640，陰歷食限L2=6 060，相應(yīng)的陽歷定法176，陰歷定法404；交率m0=202和交數(shù)n0=2 573是與交食周期有關(guān)的常數(shù)。

2 日食食甚時(shí)刻的推算

2.1 定朔時(shí)刻計(jì)算法①本文的算法如果不是根據(jù)《宣明歷》交會(huì)部分而是根據(jù)其它部分得到的，一般情況下我們僅提供計(jì)算公式和說明，這些部分的研究已經(jīng)非常詳細(xì)，讀者可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

食甚時(shí)刻是在定朔上加入某些修正得到，因此，先要計(jì)算定朔時(shí)刻。定朔的計(jì)算會(huì)涉及歷法的步氣朔、步日躔和步月離部分，計(jì)算量比較大。《宣明歷》經(jīng)朔時(shí)刻算法使用了“捷法”，它先求冬至?xí)r刻，其術(shù)文稱：

推天正中氣：置從上元至所求積年，滿旬周去之；不盡，以通余乘之，盈旬周去之，滿統(tǒng)法為大余，不滿為小余。其大余起甲子，[算]外，即所求年天正冬至日及余秒也。[6]6-7

根據(jù)術(shù)文，可得其計(jì)算公式是

實(shí)際上，經(jīng)過公式變換，可得更為簡(jiǎn)單的公式

其次求冬至所在月的平朔時(shí)刻?！缎鳉v》“求天正經(jīng)朔”術(shù)文有：“以章月去所求積年，余以章閏乘之，盈章月又去之，不盈者為閏余，以減天正冬至小余：其小余不足，退大余一，加宣明統(tǒng)法；大余不足，加紀(jì)法。不盈者（余），大余起甲子，算外，則所求年天正合經(jīng)朔日及余秒也?！盵6]8據(jù)術(shù)文，可得公式

其中R2稱為閏余。而如果想得到冬至后第m個(gè)朔，需要在天正經(jīng)朔上累加朔望月，這樣，我們將式（3）經(jīng)過變換，得到冬至后第m個(gè)朔的計(jì)算方法是

定朔時(shí)刻是經(jīng)朔時(shí)刻加日月改正項(xiàng)后得到。在步日躔術(shù)中，《宣明歷》給出太陽修正的計(jì)算法。首先在“求每日先后定數(shù)”中，使用與《大衍歷》一樣的二次內(nèi)插法將日躔表插值成為每一天的太陽運(yùn)動(dòng)速度、太陽中心差與黃經(jīng)數(shù)值；然后在“推二十四氣定日”中，求得每一氣的定氣時(shí)刻，并求得所求經(jīng)朔到它前面最近定氣時(shí)刻的時(shí)間，歷法稱“推四象經(jīng)日與定氣相距”；最后，在“求朔弦望經(jīng)日入氣朓朒定數(shù)”中給出太陽修正數(shù)值的算法。[8]根據(jù)文獻(xiàn)[5]和[8]，設(shè)入定氣日及余為rs，太陽修正值為

實(shí)際上，《宣明歷》指出“推日月行度及軌滿交蝕并依定氣，若注歷即依常氣”，也就是只有推算日月運(yùn)動(dòng)特別是日月交食等復(fù)雜天象時(shí)，才使用定氣，而單是推算歷日，則不用定氣。

在步月離術(shù)部分，《宣明歷》給出月亮修正計(jì)算法，歷法稱為“求朔弦望經(jīng)日入歷朓朒定數(shù)”。其基本計(jì)算法如式（6）。

這個(gè)算法結(jié)構(gòu)與一般算法相同，但其中的ym和φm不是月離表中直接給出的數(shù)據(jù)，而是根據(jù)月離表每一天的月離數(shù)據(jù)計(jì)算出的任意時(shí)刻的月離數(shù)值。這是一個(gè)極其精細(xì)的算法，有些研究將其稱為傳統(tǒng)歷法中最復(fù)雜的算法。[9]式中的εm是入歷日余，而入歷日rm則在“推天正經(jīng)朔入歷”中給出，公式如下

在“求朔弦望定日及余秒”中，《宣明歷》給出定朔算法，與《大衍歷》完全一致。[10]

2.2 時(shí)差及食甚時(shí)刻計(jì)算法

《宣明歷》計(jì)算了合朔時(shí)刻月亮的黃經(jīng)與黃緯，然后根據(jù)前限和后限判斷月亮是否入食限，但此時(shí)并沒有加入視差對(duì)月亮經(jīng)緯度的影響，因此，還不能最終判定是否一定有日食發(fā)生?！缎鳉v》在給出某次合朔時(shí)是否有日食之前，就直接計(jì)算每次合朔時(shí)日月的最近距離時(shí)刻，即食甚時(shí)刻。同時(shí)，歷法給出食甚時(shí)刻視差的修正算法，稱為時(shí)差算法，《宣明歷》“求食定余”算法稱：

凡日蝕，以定朔日出入辰刻距午正刻數(shù)，約百四十七，為時(shí)差。視定朔小余如半法已下，以減半法，為初率；已上，減去半法，余為末率。以乘時(shí)差，如刻法而一，初率以減，末率倍之，以加定朔小余，為蝕定余。[1]2321

設(shè)Trm表示定朔時(shí)刻，ε表示其不足一日的日分?jǐn)?shù)，即定朔小余，“日出入辰刻距午正刻數(shù)”就是一日白晝部分的一半的刻數(shù)，記為d。初、末率就是定朔小余與正午時(shí)刻的時(shí)間差，即ω=|ε-0.5A|，147=8 400×7/400則定朔到食甚的修正可由下面公式計(jì)算得到

其中λ的取值與定朔在午前與午后不同，午前取4/7，午后取8/7。Δh在午前一定為負(fù)，午后一定為正，這樣，食甚時(shí)刻計(jì)算公式就是

食甚時(shí)刻不足一日的部分即蝕定余。

3 有無交食及日食食分的推算

合朔時(shí)，只有月亮距離交點(diǎn)在一定范圍內(nèi)，才有可能發(fā)生日食，這個(gè)范圍就是日食的食限。歷法中，食限的數(shù)值是事先給出的，但月亮到交點(diǎn)的距離是需要計(jì)算的。《崇天歷》首先計(jì)算這個(gè)距離，然后據(jù)此判斷是否入食限，當(dāng)入食限時(shí)才計(jì)算食分。

3.1 入交定日算法

《宣明歷》首先在“求天正經(jīng)朔入交”中給出入交汎日求法。術(shù)文稱：

置通積分，以天正閏余減之，盈中率及余秒去之，不盈者滿宣明統(tǒng)法為日，不滿為余秒，命日算外，則所求年天正經(jīng)朔加時(shí)入交汎日及秒也。[6]102

如果要求冬至后第 個(gè)經(jīng)朔的加時(shí)入交泛日，只需累加朔望月常數(shù)，并減去交點(diǎn)月即可。②“求次朔入交”的原術(shù)文疑有脫字，當(dāng)補(bǔ)充為“因天正所入加[時(shí)入交汎日及秒，以]交朔日及余秒[加之]，求望，以交望日及余秒加之，滿終日及分秒皆去之……”這樣，距離上元n年的入交泛日rpj計(jì)算公式為[11]

③本文的計(jì)算結(jié)果中，如無特別說明，時(shí)間的單位為日，距離的單位為度。

其中Nnt-rsm表示成日分?jǐn)?shù)就是通積分。④關(guān)于“通積分”定義是在步月離術(shù)部分“推天正經(jīng)朔入歷”算法里面。

入交常日rcj就是入交泛日加入太陽改正項(xiàng)，其算法稱：“置其朔、望秒，以其日入氣朓朒定數(shù)朓減朒加入交泛日余，滿若不足，進(jìn)退其日，即入交常日及余秒也?！盵6]105

入交定日就是在入交常日上再加入與月亮改正有關(guān)的項(xiàng)，算法術(shù)文稱：

置其日入歷朓朒定數(shù)，以交率乘之，如交數(shù)而一，所得，以朓減朒加入交常余數(shù)，除如前，即入交定日及余秒也。[6]105

由于從上次合朔到本次合朔，日月的位置發(fā)生了變化，而黃白交點(diǎn)的位置也向西退行了一段距離，要考慮到交點(diǎn)的退行，從而設(shè)計(jì)了入交定日算法。[11]其計(jì)算公式為

3.2 月亮黃緯及入食限算法

某次合朔，月亮必須距離交點(diǎn)一定范圍才有可能發(fā)生日食，這個(gè)范圍的最大值就是日食的不偏食限。《宣明歷》給出合朔時(shí)月亮的兩種距離。一種就是月亮沿著白道到交點(diǎn)的距離，就是上文討論的入交定日。一種是月亮到黃道的距離，即月亮的黃緯?！缎鳉v》的推算方法與《大衍歷》基本一致。[12]

《宣明歷》先要判斷月亮在黃道的南北，稱為“求月行入陰陽歷”，術(shù)文有：

其朔望入交定日及余秒，如中日及余秒已下者為入陽歷，已上者去中日及余秒，令為月入陰歷。[6]105-106

就是月亮的入交定日不足交中日，月亮在黃道南，在降交點(diǎn)到升交點(diǎn)之間，稱為月在陽歷；大于交中日，月亮在黃道北，在升交點(diǎn)到降交點(diǎn)之間，稱為月在陰歷?！缎鳉v》此處沒有明確說明月亮在四象中的確定方法。實(shí)際上，根據(jù)其推算過程不難推斷，月亮在交點(diǎn)前為老象，月亮運(yùn)行至交點(diǎn)后就是小象?！缎鳉v》又將每一象分成六爻，一共二十四爻，每一爻目是十五度。隨后，《宣明歷》給出一張?jiān)铝猎诿恳回衬康脑铝痢凹訙p率”、“陰陽積”和“月去黃道度”的表格（見表1）。表格中小陽指“小象陽歷”，“月去黃道度”就是每一爻的初始時(shí)刻月亮黃緯的度數(shù)。而“陰陽積”則是這時(shí)的度分?jǐn)?shù)，是度數(shù)乘以120得到，“加減率”則是相鄰兩爻的差值。

表1 《宣明歷》交食陰陽歷表

《宣明歷》給出月行在白道上的任意度數(shù)時(shí)，它的黃緯的計(jì)算方法。其術(shù)文有：

求四象六爻每度加減分及月去黃道定數(shù)：以其爻加減率與后爻加減率相減，為前差，又以后爻率與次后爻率相減，為后差。二差相減為中差。置所在爻并后爻加減率，半中差以加，而半之，十五而一，為爻末率。因?yàn)楹筘吵趼?，每以本爻初末率相減，為爻差，十五而一為度差，半之，以加減初率：小象減之，老象加之。為定初率，每以度差累加減之：小象以差減，老象以差加，各得每度加減定分，迺修積其分，滿百二十為度，各為每度月去黃道數(shù)及分。其四象初數(shù)無初率，上爻無末率，皆倍本爻加減率，十五而一，所得各以初末率減之，皆（牙）得其率。余依術(shù)算各得所求。[6]107-109

《宣明歷》根據(jù)陰陽歷表每一爻的數(shù)值，通過插值算法，求出每一度的數(shù)值。這種做法與它求每日太陽運(yùn)動(dòng)的方法相同，都是普通的二次內(nèi)插算法。事實(shí)上，在實(shí)際判斷有無交食時(shí)，《宣明歷》并沒有使用月亮的黃緯。因?yàn)闅v法已經(jīng)有更好的日食三差理論，可以通過視差修正后的入交分來判斷。這段術(shù)文，包括后面的“求朔望夜半月行入陰陽歷變數(shù)”、“求朔望夜半月行入四象度數(shù)”以及“求朔望夜半月行入六爻度數(shù)”的術(shù)文推算，都沒有真正使用在具體歷法日食的計(jì)算上。①后面這幾段術(shù)文是根據(jù)月亮的實(shí)際運(yùn)行速度，求合朔日夜半月亮在四象六爻中的位置，因《宣明歷》月亮運(yùn)動(dòng)的算法極其復(fù)雜，這里的算法也相對(duì)復(fù)雜很多，關(guān)于這幾個(gè)算法的原理與解讀，至今還沒有定論，一般認(rèn)為這幾個(gè)算法存在問題，后世歷法也不再采用。詳情可參考文獻(xiàn)[5]?，F(xiàn)存日本寬永二十一年的《宣明歷》歷法就沒有記載這幾個(gè)算法。關(guān)于這些算法，已有相關(guān)研究，我們這里不多敘述。[12]

《宣明歷》判斷月亮是否入食限還是采用入交定日作為參考值進(jìn)行判斷。在“求入食限”中有：

其入交定日及余秒如前限已上，后限已下者入蝕限；望入蝕限，則月蝕。朔入蝕限則日蝕也，月在陰歷則入蝕限。如后準(zhǔn)已下為交后。前準(zhǔn)已上者，以減中日及余秒，余為交前。限滿全者皆退之，從余，為去交前后分。此蝕限術(shù)奉其常率，若在蝕分術(shù)之中當(dāng)可求。其置交前后定分十一乘之，如七千三百三除之，為去交定也。在蝕分術(shù)之中當(dāng)可求其定也。度數(shù)不盡也統(tǒng)法乘之，復(fù)除為余。[6]113-114

根據(jù)入交定日，如果月亮在陰歷，并且入交定日大于前準(zhǔn)或小于后準(zhǔn)，則會(huì)發(fā)生日食；如果月亮在陽歷則不會(huì)發(fā)生日食。這個(gè)判斷日食的方法就是“內(nèi)外道法”，即，只有當(dāng)月亮在黃道北時(shí)，才有可能發(fā)生日食，黃道南不食。將入交定日轉(zhuǎn)化為距離最近的交點(diǎn)的日分?jǐn)?shù)，稱為去交前后分?！缎鳉v》此處的食限，前準(zhǔn)和后準(zhǔn)，也不是日食的必偏食限，應(yīng)該是或偏食限，即使在這個(gè)食限之內(nèi)也可能不會(huì)有日食發(fā)生。這里，歷法又給出將去交分換算為度的方法。因13.368 75/8 400×7 303=11.662 9，可知術(shù)文中11和7 303的意義了。

3.3 食差算法

《宣明歷》在求得日食食甚時(shí)刻后，給出視差對(duì)日食入交定日的修正算法，一般文獻(xiàn)統(tǒng)稱為日食三差算法。《宣明歷》稱“凡日蝕，有氣差，有刻差，有加差”。①一般文獻(xiàn)對(duì)“加差”研究較少，稱日食三差為“氣差、刻差和時(shí)差”，其實(shí)怎樣稱謂并不重要。其求氣差術(shù)文稱：

二至之初，氣差二千三百五十。②陳美東認(rèn)為一個(gè)象限應(yīng)為91日，并將術(shù)文2 350校為2 366，而通過后面的討論和日本寬永二十一年歷書可知，《宣明歷》一個(gè)象限取90日，此處不用校改。距二至前后，每日損二十六，至二分而空。以日出沒辰刻距午正刻數(shù)，約其朔日氣差，以乘食甚距午正刻數(shù)。所得以減氣差，為定數(shù)。春分后，陰歷加之，陽歷減之；秋分后，陰歷減之，陽歷加之。[1]2321-2322

歷法首先根據(jù)合朔時(shí)距離二至點(diǎn)日數(shù)，給出氣差數(shù)的公式，設(shè)到二至點(diǎn)距離為x，則氣差就是2 350-26x，x取整數(shù)日數(shù)。而日本寬永二十一年的歷法里沒有記載這個(gè)算法，記載了一張表格，直接按照二十四氣給出每一天的“損益率”和“氣差積”。從其中的數(shù)值可以看到，表格正是根據(jù)這個(gè)算法做了一點(diǎn)調(diào)整得到。因每天氣差損益26，按二十四氣算分至間一共90個(gè)整數(shù)日，算來共損益2 340分，其余10分，寬永《宣明歷》則分?jǐn)傇谶@90日中，每隔九日，氣差積在原來基礎(chǔ)上加1分。“食甚距午正刻數(shù)”與前面時(shí)差算法中的“初末率”相近，是食甚到正午的時(shí)間，我們也記為ω，氣差計(jì)算公式為[13]

其后歷法給出關(guān)于氣差的符號(hào)，符號(hào)與春秋分前后和月亮在黃道南北都有關(guān)。式（13）可以看到，刻差定數(shù)最大值出現(xiàn)在二至日正午時(shí)刻，最大值2 350日分，合6.7小時(shí)，這是很大的數(shù)值。刻差定數(shù)最小值為0，出現(xiàn)在二分日或是某天的日出日落時(shí)刻。

關(guān)于刻差，術(shù)文稱：

二至初日，無刻差。自后每日益差分二、小分十。起立春至立夏、起立秋至立冬，皆以九十四分有半為刻差。自后日損差分二、小分十，至二至之初損盡。以朔日刻差乘食甚距午正刻數(shù)，為刻差定數(shù)。冬至后食甚在午正前，夏至后食甚在午正后，陰歷以減，陽歷以加；冬至后食甚在午正后，夏至后食甚在午正前，陰歷以加，陽歷以減。[1]2322

根據(jù)術(shù)文，設(shè)x是合朔時(shí)到二至點(diǎn)距離，每日損益分二，小分十，就是2.1分，《宣明歷》刻法84，為每刻日分?jǐn)?shù)，則經(jīng)變換后，其氣差定數(shù)計(jì)算公式為[13]

關(guān)于加差，術(shù)文稱：

又立冬初日后，每氣增差十七。至冬至初日，得五十一。自后，每氣損十七，終于大寒，損盡。若蝕甚在午正后，則每刻累益其差，陰歷以減，陽歷以加。[1]2322

加差是對(duì)視差的微小修正，僅在冬至前后各三個(gè)氣內(nèi)使用，并且只在午后使用。每一氣不再區(qū)分日數(shù)，氣內(nèi)的加差相等，其計(jì)算公式為

其中i表示距離冬至氣的氣數(shù)，冬至取0，立冬取3。加差的最大值出現(xiàn)在冬至最后一日或小寒初日，大約1100日分，④冬至初日日出時(shí)刻要比末日大，按冬至平均日出時(shí)間大約為一日的7/24，計(jì)算可得。相比氣、刻差定數(shù)要小很多。加差除了小雪、大雪、冬至、小寒和大寒氣外的所有時(shí)刻都是0。

《宣明歷》專門給出文字說明氣、刻、加差的符號(hào)取法，我們將其統(tǒng)一列于表2中。有關(guān)氣刻差符號(hào)的具體內(nèi)容，可參考文獻(xiàn)[9]第436頁。

表2 《宣明歷》氣、刻、加差符號(hào)取法

《宣明歷》的“三差算法”都是根據(jù)合朔的不同時(shí)間給出分段的函數(shù)表達(dá)式，沒能形成統(tǒng)一的以黃經(jīng)和時(shí)角為自變量的函數(shù)，但相比較其前面《皇極歷》等歷法根據(jù)月亮在內(nèi)道和外道而設(shè)計(jì)的需要經(jīng)過多重選擇才能判斷有無日食的方案要先進(jìn)很多。

3.4 食分算法

在求食分之前，《宣明歷》又再次判斷有無交食，術(shù)文稱：

應(yīng)加減差，同名相從，異名相銷，各為蝕差。以加減去交分，為定分。月在陰歷，不足減，反減蝕差，交前減之，余為陽歷交后定分；交后減之，余為陽歷交前定分：皆不蝕。陽歷不足減，亦反減蝕差。交前減之，余為陰歷交后定分；交后減之，余為陰歷交前定分：皆蝕。[1]2322

此處是將去交前后分經(jīng)過視差修正得到去交前后定分，據(jù)此判斷有無日食。設(shè)去交分和去交定分分別為P'和P，則有

上式中，如果月在陽歷P＞0，或者月在陰歷P＜0，都表明，經(jīng)過視差修正的視月亮都位于黃道南，不會(huì)發(fā)生日食。如果月在陰歷P＞0，或者月在陽歷P＜0，都表明，經(jīng)過視差修正的視月亮都位于黃道北，可能會(huì)發(fā)生日食。只有陰歷交前后定分才有可能有日食，據(jù)此，給出食分算法，術(shù)文有：

凡去交定分，如陽歷蝕限已下，為陽歷蝕。以陽歷定法約，為蝕分。已上者，以陽歷蝕限減之，余為陰歷蝕。以陰歷定法約之，以減十五，余為蝕分。[1]2322

食分M是交前后定分P的函數(shù)，根據(jù)P與陽歷食限的大小表示為兩種形式

事實(shí)上，L1、L2是必偏食限，交前后分只有在此限之下才有日食，即如果式（17）中P-L1＞15L2，則所求食分就會(huì)小于0，這時(shí)說明月亮是落在必偏食限以外的。《宣明歷》日食食分算法的詳細(xì)解讀和分析可參考文獻(xiàn)[14]。

4 日食食延算法及其它算法

4.1 日食起訖算法

日食的初虧和復(fù)滿時(shí)刻是在日食食甚時(shí)刻上減去和加上一個(gè)時(shí)間差得到，《宣明歷》稱之為“日食用刻”，術(shù)文有：

置所求食之分十八乘之，十五而一，所得為汎用刻率，不盡者以刻法乘之（十五除之）為分。[6]120

《宣明歷》認(rèn)為日全食時(shí)自初虧到復(fù)末平均時(shí)間是18刻，那么時(shí)間與食分如果是線性變化的，則有某次日食初虧到復(fù)末時(shí)間（日食用刻）為18 M/15，單位是刻，要轉(zhuǎn)化為日分需要乘以刻法84。如果考慮到當(dāng)時(shí)月亮的不均勻變化，則要加入月亮改正，術(shù)文稱：

求虧初復(fù)末：置日月食汎用刻率，副之，以其日入歷損益率乘之，如宣明統(tǒng)法而一，所得應(yīng)朒者依其損益，應(yīng)朓者損加益減其副，為定用刻數(shù)，半之，以減食甚辰刻為虧初，以加食甚辰刻為復(fù)末。[6]122

于是，《宣明歷》定用刻數(shù)就是

式（18）計(jì)算結(jié)果單位是刻。歷法認(rèn)為初虧到食甚與食甚到復(fù)末的時(shí)間相同，則可以得到虧初復(fù)滿的計(jì)算公式是

式（19）計(jì)算結(jié)果單位是日。在《宣明歷》之前，如《大衍歷》日食的起訖算法中的定用刻（分）都是使用表格，而《宣明歷》使用了公式，算法的傾向更為明顯。

4.2 日食帶食出入分?jǐn)?shù)算法

如果日食食甚在日出前而復(fù)滿在日出后，我們雖能見到日食，但不能見到日食的最大食分，此時(shí)的日出就是帶食日出；同理，日落時(shí)已經(jīng)初虧但還沒有到食甚，此日落就是帶食日入。《宣明歷》給了帶食出入分?jǐn)?shù)的算法。其術(shù)文稱：

凡日月帶蝕出沒，各以定法通蝕分，半定用刻約之，以乘見刻①或以見刻減定用刻。又，此處為王應(yīng)偉所加，曲安京對(duì)此也有所說明，詳情可參考文獻(xiàn)[4]第470頁和文獻(xiàn)[9]第491頁。多于半定用刻，出為進(jìn)，沒為退；少于半定用刻，出為退，沒為進(jìn)：各如定法而一，為見蝕之大分。朔晝、望夜皆為見刻。[6]123-124

k即“見刻”，表示自初虧至日出或日落的時(shí)間刻數(shù)。

4.3 日食的起訖方位

《宣明歷》還給出每次日食過程中被食的大概方位，稱“求日食所起”，其術(shù)文稱：

月在陰歷，初起西北，甚于正北，復(fù)于東北；月在陽歷，初起西南，甚于正南，復(fù)于東南。食十二分已上者，初起正西，復(fù)于正東。此術(shù)據(jù)古經(jīng)所載，以究大體，求其密驗(yàn)，審黃道斜正、月行所向，起虧復(fù)滿當(dāng)可見矣。[6]119-120

月亮自西向東運(yùn)動(dòng)，在黃道北，月亮自北邊遮擋日面，月影運(yùn)動(dòng)就是自西北經(jīng)正北到東北；月亮在黃道南，月影運(yùn)動(dòng)就是自西南經(jīng)正南到東南。如果是大食分日食（食分大于十二分），由于月亮距離交點(diǎn)很近，月影自正西向正東運(yùn)動(dòng)。但《宣明歷》又說，這個(gè)方法是古代記載方法，具體的太陽方位還要看具體黃道、月亮和食甚的情況。

5 結(jié)論

《宣明歷》在日食計(jì)算方面起到了承前啟后的作用，其日食視差方面的修正方案被后世歷法所采用，并在其基礎(chǔ)上發(fā)展成獨(dú)特的數(shù)值算法系統(tǒng)。其日食推算方法具有明顯的算法化傾向。其推算中使用的數(shù)值或是變量，有些是《宣明歷》給出的天文常數(shù)，如朔望月、回歸年、交點(diǎn)月和陰陽歷食限等，有些則是歷法推算中間的一些結(jié)果，如每日的白晝時(shí)間、定朔時(shí)刻、合朔時(shí)刻的月亮運(yùn)行速度等。這樣，完整地計(jì)算一次日食，推算者只需給出要推算的時(shí)間即可。

《宣明歷》的日食推算理論基本成熟，其算法大部分使用二次插值公式進(jìn)行構(gòu)造，但也有少數(shù)算法很復(fù)雜，目前還存在爭(zhēng)議?！缎鳉v》繼承了前面歷法的很多算法理論，尤其是《大衍歷》的一些推算方法和推算術(shù)語?！缎鳉v》自己創(chuàng)立的一些算法與前面歷法的算法在細(xì)節(jié)方面還沒有完美契合?！缎鳉v》保留了《大衍歷》“月行入四象六爻”的算法，但這個(gè)算法由于將一個(gè)交點(diǎn)月認(rèn)為均分成24份，導(dǎo)致實(shí)際推算的不便，并且在判斷有無日食和入食限時(shí)又沒有使用其中的結(jié)果，而是使用了其自創(chuàng)的三差算法，這個(gè)算法就沒有存在的必要了?！缎鳉v》求月亮改正時(shí)保留了《大衍歷》極其精細(xì)的算法，但其食分算法、食延算法和帶食日出算法都是根據(jù)線性插值而得到的，精度并不高，使得其高精度的精細(xì)算法可能會(huì)失去作用。此外，《宣明歷》的時(shí)差、氣差、刻差和加差算法設(shè)計(jì)仍然略顯復(fù)雜，還能看到自《皇極歷》以來分段設(shè)計(jì)算法的影子。

整體上《宣明歷》是一部成功的歷法，它保留了前歷的一些成熟的算法，加入了自己的一些創(chuàng)新。為傳統(tǒng)歷法的算法化進(jìn)程做出了貢獻(xiàn)。其后的《崇玄歷》在《宣明歷》的基礎(chǔ)上將算法化的做法發(fā)揚(yáng)光大。宋代歷法交食算法基本都是在《宣明歷》算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)而成的。