一種改進(jìn)的獨(dú)立分量分析跳頻網(wǎng)臺(tái)分選方法

楊蕓丞, 孫雪麗, 鐘兆根, 劉 軍

(1. 海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái) 264001; 2.66135部隊(duì)，北京 100144)

0 引 言

現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)中，跳頻通信由于其低截獲概率、組網(wǎng)方式靈活、信道衰減緩慢等優(yōu)點(diǎn)，在軍事通信、指揮、控制和情報(bào)系統(tǒng)均得到了廣泛應(yīng)用[1]。然而對(duì)于信號(hào)監(jiān)聽(tīng)一方而言，如何在不具備一切先驗(yàn)條件的情況下，從混合信號(hào)中將多個(gè)跳頻網(wǎng)臺(tái)的信號(hào)分選出來(lái)，仍然是跳頻通信偵察中具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題[2]。

傳統(tǒng)的跳頻網(wǎng)臺(tái)分選方法多依據(jù)所截獲跳頻信號(hào)的紋理特征進(jìn)行分選[3]。文獻(xiàn)[4]引用模式識(shí)別的方法，搭建了稀疏貝葉斯模型進(jìn)行分選，文獻(xiàn)[5～10]等通過(guò)對(duì)跳頻信號(hào)的跳周期、跳時(shí)、來(lái)波方位、功率等參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)聚類分選；文獻(xiàn)[11]通過(guò)跳頻信號(hào)駐留時(shí)間和起跳時(shí)間，建立分選的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分選；文獻(xiàn)[12]基于功率放大瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程實(shí)現(xiàn)跳頻網(wǎng)臺(tái)分選。但在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，跳頻信號(hào)的先驗(yàn)條件往往未知，且上述方法耗時(shí)較長(zhǎng)，導(dǎo)致了這些方法的局限性，不能實(shí)時(shí)有效的達(dá)到戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)略目的。文獻(xiàn)[13～15]將獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)引入跳頻網(wǎng)臺(tái)分選中，在未知跳頻信號(hào)參數(shù)特征的情況下，實(shí)現(xiàn)了跳頻信號(hào)網(wǎng)臺(tái)的盲分選。但以往的獨(dú)立分量分析方法未考慮跳頻信號(hào)瞬時(shí)變化快、時(shí)頻分析復(fù)雜等特點(diǎn)，選用的非線性函數(shù)不利于硬件實(shí)現(xiàn)，這就導(dǎo)致了上述算法魯棒性能低，收斂速度慢，運(yùn)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。

針對(duì)上述方法存在的不足以及跳頻信號(hào)的特點(diǎn)，本文在快速獨(dú)立分量算法[16]的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于跳頻信號(hào)分選的改進(jìn)的快速獨(dú)立分量分析算法。該算法首先對(duì)傳統(tǒng)的非線性多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，建立一個(gè)基于負(fù)熵最大化的目標(biāo)函數(shù)；其次將固定點(diǎn)算法的牛頓迭代[17]由二階收斂轉(zhuǎn)換為五階收斂；最后以負(fù)熵最大[18]作為一個(gè)搜尋方向，順序地提取了獨(dú)立源，完成了對(duì)混疊跳頻信號(hào)的分離。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法在不同信噪比、不同野值數(shù)目的適應(yīng)情況，并與快速獨(dú)立分量分析算法在相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)(Performance Index，PI)、輸出信噪比指數(shù)、迭代次數(shù)、運(yùn)算時(shí)間等參數(shù)做出性能比較[19～20]。

1 快速I(mǎi)CA算法

獨(dú)立分量分析模型包括含噪線性模型和無(wú)噪線性模型[21]，本文主要使用含噪聲線性模型。觀測(cè)信號(hào)為含噪聲的源信號(hào)的瞬時(shí)線性組合，則待處理的觀測(cè)信號(hào)可表示為：

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

其中s(t)為n維統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立的源信號(hào)矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，x(t)為m(n≤m)維的觀測(cè)信號(hào)矢量，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，n(t)為m維的噪聲矢量，A為m×n維隨機(jī)矩陣。ICA的目的就是尋找一個(gè)解混矩陣W，使得：

y(t)=Wx(t)=WAs(t)

(2)

式(2)中，y(t)是s(t)的估計(jì)矢量，當(dāng)解混矩陣W是A的逆矩陣時(shí)，即WA=I，在未加噪聲的前提下，由觀測(cè)信號(hào)x(t)恢復(fù)成統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)s(t)。

在對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分解前，通常都需要進(jìn)行一些預(yù)處理，包括中心化和白化兩部分內(nèi)容。白化后觀測(cè)向量記作z(t)，白化使原來(lái)所求的解混合矩陣A退化成一個(gè)正交陣，這種預(yù)處理方法使自由度從N2降為N×(N-1)/2，且算法收斂性更好。

對(duì)白化后的信號(hào)的分離，其目標(biāo)函數(shù)采用一個(gè)經(jīng)典的近似公式：

J(y)={E[G(y)]-E[G(yGauss)]}2

(3)

其中，E[·]為均值運(yùn)算；G(·)為非線性函數(shù)，可取三個(gè)經(jīng)典的非線性函數(shù)，分別為：

G2(y)=-exp(-y2/2)

(5)

a通常取1。

為找到一個(gè)獨(dú)立分量或者投影追蹤的方向[22]，采用定點(diǎn)迭代的方法，在WTz的方差約束為1的條件下，令WTz具有最大的非高斯性，負(fù)熵最大化目標(biāo)函數(shù)如下:

J(y)={E[G(WTz)]-E[G(yGauss)]}2

(7)

根據(jù)Kuhn-Tucker條件，E{g(WTz)}的最優(yōu)值能在滿足下式的點(diǎn)上獲得：

E{zg(WTz)}+βW=0

(8)

g1(y)=tanh(a1y)

(9)

g2(y)=yexp(-y2/2)

(10)

g3(y)=y3

(11)

利用牛頓迭代法解方程。用F表示式(8)等式左邊的的函數(shù)，可得F的雅可比矩陣JF(W)如下：

JF(W)=E{zzTg′(WTz)}+βI

(12)

由于數(shù)據(jù)被白化，E{zzTg′(WTz)}≈E{zzT}·E{g′(WTz)}=E{g′(WTz)}I。因而雅可比矩陣變成了對(duì)角陣，得到下面的近似牛頓迭代公式：

(13)

其中，W*是W的新值，β=E{WTg(WTz)}，歸一化能提高解的穩(wěn)定性。簡(jiǎn)化后得到FastICA算法的迭代公式：

(14)

2 改進(jìn)算法原理

2.1 非線性函數(shù)的改進(jìn)

為獲得E{g(WTz)}的最優(yōu)值，采用自適應(yīng)算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)滿足(8)式的條件。將式(8)兩端同乘WT，由于WTW=1，整理可得：

E{WTzg(WTz)}+β=0

(15)

由式(17)可以看出，WTzg(WTz)決定了算法的魯棒性強(qiáng)弱，非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g變化越慢，算法魯棒性能越穩(wěn)定。

對(duì)選取非線性函數(shù)的考量，一是要考慮所選函數(shù)的硬件實(shí)現(xiàn)難度，二是要考慮所選函數(shù)對(duì)算法魯棒性影響。前文提到的式(9)、(10)、(11)三個(gè)非線性函數(shù)，其中式(9)、(10)均為指數(shù)類函數(shù)，硬件實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。而式(11)魯棒性極差，一般不選用該函數(shù)。針對(duì)算法硬件實(shí)現(xiàn)難度和魯棒性兩方面考量，本文提出了一種新的非線性函數(shù)Tukey函數(shù)作為算法的目標(biāo)函數(shù)。

Tukey函數(shù)具體表達(dá)式如下：

(16)

圖1 四種非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖

由圖1可以看出，非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g1(y)、g3(y)增長(zhǎng)十分迅速，當(dāng)存在較大的野值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值很難收斂。而g2(y)、g(y)增大到極大值點(diǎn)后又逐漸減小到零，當(dāng)存在較大的野值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值趨向于零，這就很大程度上降低了野值對(duì)算法的影響，穩(wěn)定了算法的魯棒性。由于跳頻信號(hào)頻率跳變較快，對(duì)算法的魯棒性能要求較高；為達(dá)到實(shí)時(shí)有效的網(wǎng)臺(tái)分選，對(duì)硬件運(yùn)算的實(shí)時(shí)性也提出了較高要求。通過(guò)上述的理論分析，考量函數(shù)的硬件實(shí)現(xiàn)難度以及魯棒性能，應(yīng)用獨(dú)立分量分析的方法實(shí)現(xiàn)混疊跳頻信號(hào)的網(wǎng)臺(tái)分選，本文所提出的Tukey函數(shù)與傳統(tǒng)的非線性函數(shù)相比，有明顯的優(yōu)勢(shì)。

2.2 牛頓迭代法的改進(jìn)

傳統(tǒng)的固定點(diǎn)算法，是按照牛頓迭代公式所推導(dǎo)，得到快速獨(dú)立分量分析的關(guān)鍵步驟式(14)，牛頓迭代公式如下：

為了提高算法的收斂速度，減少算法的運(yùn)算時(shí)間，對(duì)快速獨(dú)立分量分析算法的迭代公式就要作出改進(jìn)，也就是要增加牛頓迭代公式的階數(shù)。文獻(xiàn)[17]給出了三種不同的三階修正牛頓收斂公式：

通過(guò)泰勒公式推導(dǎo)展開(kāi)，利用式(18) 、(19) 、(20)分別得到三種五階收斂的牛頓迭代公式：

(21)

(22)

(23)

(24)

3 算法流程

按照上文改進(jìn)的快速獨(dú)立分量分析算法原理，具體的算法流程如下：

步驟一：對(duì)觀測(cè)信號(hào)x進(jìn)行中心化，使它的均值為0；再對(duì)中心化的數(shù)據(jù)白化處理得到z(t)。

步驟二：隨機(jī)選擇一個(gè)具有單位范數(shù)的初始權(quán)矢量Wp。

步驟三：設(shè)迭代次數(shù)p初始值為1，設(shè)需要估計(jì)的分量個(gè)數(shù)為n。

步驟四：將Wp代入式(26)，取G(y)=

步驟六：若Wp收斂，加上均值得到源信號(hào)；Wp不收斂，返回步驟四。

步驟七：令p=p+1，如果p≤n，返回步驟三，進(jìn)行下一個(gè)獨(dú)立分量的估計(jì)。

通過(guò)上述實(shí)現(xiàn)步驟，可以根據(jù)觀測(cè)信號(hào)估計(jì)出源信號(hào)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)一：本文算法的有效性驗(yàn)證

針對(duì)本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法，對(duì)混疊跳頻信號(hào)進(jìn)行網(wǎng)臺(tái)分選實(shí)驗(yàn)。一般來(lái)說(shuō)，分離過(guò)程中，采樣點(diǎn)越少，信號(hào)恢復(fù)的程度越差；源信號(hào)的差異性越小，分離越難實(shí)現(xiàn)。本文中信號(hào)源由三組不同頻率集的同步正交跳頻網(wǎng)臺(tái)產(chǎn)生，有效降低了異步非正交跳頻網(wǎng)臺(tái)的差異性。三組跳頻信號(hào)跳頻速率同為250 hop/s，采樣率同為10 kHz，抽取前320個(gè)點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)樣本。本文中的仿真跳頻系統(tǒng)可視作FH/8FSK調(diào)制跳頻系統(tǒng)。

三組歸一化跳頻頻率集分別為：

fk1=[0.10,0.45,0.30,0.05,0.20,0.40,0.25,0.15](kHz)

(25)

fk2=[0.32,0.12,0.21,0.36,0.14,0.23,0.17,0.42](kHz)

(26)

fk3=[0.22,0.33,0.44,0.18,0.06,0.31,0.41,0.08](kHz)

(27)

為仿真3個(gè)不同位置接收機(jī)的觀測(cè)信號(hào)，本文中隨機(jī)混合矩陣設(shè)置為：

(28)

仿真后，得到圖2所示的源信號(hào)圖，圖3所示的觀測(cè)信號(hào)圖。圖例中，F(xiàn)astICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)分別代表基于非線性函數(shù)G1(y)、G2(y)、G3(y)的快速獨(dú)立分量分析算法。

圖2 跳頻信號(hào)源信號(hào)

圖3 觀測(cè)信號(hào)

分別根據(jù)本文算法及以式(4) 、(5)、(6)作為非線性函數(shù)的快速獨(dú)立分量分析算法對(duì)圖三中的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理。

上述方法分別實(shí)現(xiàn)了對(duì)跳頻混疊信號(hào)的分選。對(duì)上述方法進(jìn)行比較，一方面，本文算法分離的信號(hào)與源信號(hào)相比，恢復(fù)程度要好；另一方面，上述算法均存在采用獨(dú)立分量分析方法的兩種問(wèn)題：一是分離信號(hào)的次序較源信號(hào)發(fā)生了變化；二是分離信號(hào)的幅度和相位發(fā)生了不同程度的變化。但這兩種問(wèn)題并不影響對(duì)跳頻信號(hào)網(wǎng)臺(tái)的分選以及主要參數(shù)的識(shí)別。實(shí)際的跳頻信號(hào)比本文仿真實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的跳頻信號(hào)仍要復(fù)雜，對(duì)信號(hào)的恢復(fù)程度會(huì)有更高的要求，本文算法有效的提高了跳頻源信號(hào)的恢復(fù)程度。

實(shí)驗(yàn)二：本文算法對(duì)不同信噪比的源信號(hào)的適應(yīng)情況分析

通過(guò)實(shí)驗(yàn)一，我們可以將不同算法分離出的信號(hào)波形與源信號(hào)作對(duì)比，但這只能定性的分析不同算法分選性能的優(yōu)劣[23]。為了定量的檢驗(yàn)各獨(dú)立分量分析的性能，本文引入相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)三個(gè)指標(biāo)作對(duì)照分析。

相關(guān)系數(shù)定義[16]如下：

(29)

其中，|ρij|越接近1時(shí)， 兩曲線越線性相關(guān)；|ρij|越接近零時(shí)，兩曲線越線性無(wú)關(guān)。本文中，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，通過(guò)比較各算法在不同信噪比條件下分離后的解混信號(hào)與源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，驗(yàn)證算法的優(yōu)劣程度，相關(guān)系數(shù)取三組信號(hào)相關(guān)系數(shù)中絕對(duì)值的最小值。

圖5給出了各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)相關(guān)系數(shù)比較圖。通過(guò)圖5可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下明顯優(yōu)于FastICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)，且曲線更加平滑。

性能指標(biāo)PI值[20]定義如下：

式(30)中：混合分離矩陣C=WHBA=(cij)n×n。W是白化后的分離矩陣，B是白化信號(hào)，A是隨機(jī)混合矩陣。PI值越小，盲源分離的效果越好。本文中，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，通過(guò)比較各算法在不同信噪比條件下分離后的解混信號(hào)與源信號(hào)的性能指標(biāo)PI值，驗(yàn)證算法的優(yōu)劣程度。

圖6給出了各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)性能指標(biāo)PI值比較圖。通過(guò)圖6可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下PI值較低，故改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析算法。

圖4 不同算法分離的跳頻網(wǎng)臺(tái)分選圖比較

圖5 各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)相關(guān)系數(shù)曲線

圖6 各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)PI值曲線

信噪比指數(shù)定義[16]如下：

其中var代表對(duì)向量進(jìn)行方差計(jì)算，si為源信號(hào)矢量，sj為分離信號(hào)矢量。該參數(shù)越大，證明盲源分離效果越好，源信號(hào)與分離信號(hào)越接近。

圖7 各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)輸出信噪比指數(shù)曲線

圖7給出了各算法不同信噪比下源信號(hào)與分離信號(hào)輸出信噪比指數(shù)比較圖。通過(guò)圖7可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下輸出信噪比指數(shù)高于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析算法。

綜合相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)三個(gè)指標(biāo)作對(duì)照分析，本文算法均優(yōu)于FastICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)。究其原因是，跳頻信號(hào)頻率變換迅速，需要很好的穩(wěn)定性，本文采用的Tukey 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)g(·)超過(guò)閾值之后其輸出值逐漸減小，直到零為止，且一階導(dǎo)數(shù)變換速度較慢，從而算法性能穩(wěn)定；另一方面，牛頓迭代速度由二階變?yōu)槲咫A，算法迭代次數(shù)會(huì)明顯減少，這很大程度上加快了收斂速度。

實(shí)驗(yàn)三：本文算法的魯棒性分析

圖8給出了各算法野值數(shù)目與性能指標(biāo)PI值關(guān)系曲線圖，PI值計(jì)算公式如式(30)。通過(guò)比較各算法在不同野值數(shù)目的情況下，分離后的解混信號(hào)與源信號(hào)的性能指標(biāo)PI值，驗(yàn)證各算法的魯棒性能，圖中記錄的數(shù)值均為1000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)后的平均值。實(shí)驗(yàn)中，選用的野值由 [0,3] 之間均勻分布的隨機(jī)變量產(chǎn)生。

圖8 各算法野值數(shù)目與性能指標(biāo)PI值的關(guān)系曲線圖Fig.8 The number of outliers and PI value of the relationship between the graph

通過(guò)圖8可以看出，一方面，在不同野值數(shù)目的條件下，本文算法均取得了最好的性能指標(biāo)；另一方面,本文算法的性能指標(biāo)的變換量也是最小的，這就進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法相比于其他算法有更好的魯棒性能。不得不提到的是，在實(shí)驗(yàn)中，基于FastICA-G2(y)的快速獨(dú)立分量分析算法也具備良好的魯棒性能，但是FastICA-G2(y)為指數(shù)類函數(shù)，硬件實(shí)現(xiàn)較為困難，也影響了算法的運(yùn)算速度、增加了網(wǎng)臺(tái)分選的分選時(shí)間，這一點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)四中得以體現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)四：本文算法的計(jì)算復(fù)雜度分析

各算法迭代次數(shù)與分選時(shí)間的比較見(jiàn)表1。表中各數(shù)據(jù)均為1000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值。

表1 各算法迭代次數(shù)與分選時(shí)間對(duì)照

分析四種算法的計(jì)算復(fù)雜度，將一次乘法或一次加法的計(jì)算復(fù)雜度記為1，四種算法在一次迭代時(shí)計(jì)算復(fù)雜度分別記作p1，p2，p3，p4，且p2>p1>p3>p4，源信號(hào)矢量的維數(shù)為n，L為采樣數(shù)目，k為迭代次數(shù)。在白化過(guò)程中，四種算法的計(jì)算復(fù)雜度均為4n2L；在固定點(diǎn)算法時(shí)，基于非線性函數(shù)G1(y)、G2(y)、G3(y)的快速獨(dú)立分量分析算法的計(jì)算復(fù)雜度主要集中于式(14)，分別為3nLkp1,3nLkp2,3nLkp3?；诒疚乃惴ǖ挠?jì)算復(fù)雜度主要集中于式(24)，計(jì)算復(fù)雜度為3nL(k+2)p4。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文以跳頻網(wǎng)臺(tái)分選為研究對(duì)象，在推導(dǎo)傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析方法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了目標(biāo)函數(shù)的非線性函數(shù)，增加了固定點(diǎn)算法牛頓迭代的次數(shù)，提出了一種改進(jìn)獨(dú)立分量分析算法的跳頻網(wǎng)臺(tái)分選方法。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的性能。由本文的仿真實(shí)驗(yàn)分析得出：在不同信噪比條件下，本文算法的相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)均優(yōu)于傳統(tǒng)的獨(dú)立分量分析算法；本文算法魯棒性能得到提高、收斂速度加快、運(yùn)算時(shí)間減少60%以上。相較于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析方法，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法更適用于對(duì)混疊跳頻信號(hào)進(jìn)行網(wǎng)臺(tái)分選。本文算法可以在正定或者過(guò)定的條件下完成跳頻網(wǎng)臺(tái)的盲分選，今后的工作中，將結(jié)合ICA降維的方法，實(shí)現(xiàn)在欠定條件下的跳頻網(wǎng)臺(tái)盲分選。