本質回歸 讓一次“邂逅”不再陌生—探究2018年高考新課標卷理科第21題

廣東省廣州大學附屬中學(510050) 韓智明 陳經緯

題目1(2018年高考新課標卷I理科第21題)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調性.

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

分析我相信廣大考生看到此題,應該有一種似曾相識的感覺,感覺它就是不久前的一次邂逅和相識,但回憶起來又是那么的模糊,特別是對第(2)問大多數(shù)考生一動起筆時總感覺缺少一種關聯(lián),總是出現(xiàn)思維鏈條的斷裂;還有一部分考生雖然按照分析法的解題思想處理成功,但是很多同學還是不明白其中的原理.

點評筆者認為如上方法為本題的最佳解法.通過極值點找出兩根x1,x2的關系x1x2=1,再通過把要證明的不等式通過減少變量化為一元變量不等式,構造函數(shù)然后證明不等式即可.考生只有經過這種數(shù)學思維和方法的訓練,才能想到這種方法,本題充分體現(xiàn)了數(shù)學邏輯推理的核心素養(yǎng).

無獨有偶,在以往的高考試題中也出現(xiàn)類似的情況.

題目2(2011年全國高考湖南卷文科第21題)設函數(shù)

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,記過點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k,問:是否存在a,使得k=2?a.若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.

分析此題雖然和題1題干有所不同,但究其本質應該是相同的,可見高考考查考生的數(shù)學思維的思想和本質不變,具有較為穩(wěn)定的連續(xù)性.

點評題1和題2的解法相似,也是它們共同的最佳的解法,但針對不同形式但本質相似的試題,我們在教學中可以探究此類數(shù)學問題的其它的具有共性的解決方法,也就是回歸此類題目解法的本質.

本質回歸當大家看到題目1和題目2的解法以后,熟知其本質就是充分挖掘題目隱含條件,變二元變量問題為一元變量問題,我們原本模糊的感覺應該變得越來越清晰了,以往在平時的備考中眾多的“邂逅”一下子變得深刻,我們可以感受到函數(shù)與導數(shù)的制題都有一個背景和平臺,這個背景和平臺隱藏在平時的練習和教材中,它可以是教材中典型問題的變式,或是經典問題的引申,這些已經成為壓軸題命制的一個重要手段和特征,這些背景和平臺對于考生來說可能是一次偶然的遇見,或是多次沒有多少印象的邂逅,亦或從來都沒有見過.理解和掌握這些背景知識,無疑會有助于我們迅速找到解決問題的切入口.

分析第(2)問從問題的形式上,所求證的不等式存在三個變量a,x1,x2,讓人難以入手,通過分析法思想經過邏輯推理不等式成立所需要的條件,然后通過換元減少變量達到求解目的.

點評兩種解法對變量a處理的的方式稍有不同,但它們的思維起點一樣,通過邏輯推理變形化多元變量為一元變量,最終轉化為函數(shù)問題解決,思維導向明確,極大地體現(xiàn)了學生的數(shù)學運算、處理數(shù)學問題等學科核心素養(yǎng).

在近幾年的高三模擬題中,時常出現(xiàn)一類給出函數(shù)圖像上任意兩個不同點的坐標,考察過兩點的割線的斜率與圖像上某點處切線斜率之間大小關系的函數(shù)綜合問題,這類問題由于含有多個變量,顯得非常復雜,同時還常有參數(shù)在內攪局,更使問題增添許多混亂.

題目4(2014年江西師大附中高三期中考試)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+x.

(1)若f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),求a的取值范圍;

題目5(2018年黃岡中學模擬試題)已知函數(shù)f(x)=

(1)若直線x=t(t＞0)與曲線y=f(x)和曲線y=g(x)分別交于A,B兩點,且曲線y=f(x)在A處的切線與y=g(x)在B處的切線相互平行,求a的取值范圍;

(2)設h(x)=f(x)?g(x)在其定義域內有兩個不同的極值點x1,x2,且x1＞x2.已知λ＞0,若不等式恒成立,求λ的取值范圍.

分析第(2)問中從給出的不等式中含有三個變量,通過對不等式e1+λ＜x1·xλ2兩邊取對數(shù)等價轉化為1+λ＜lnx1+λlnx2,消去變量a,得到含有變量x1,x2的不等式,然后通過變形換元將二元問題化為一元問題,轉化為函數(shù)問題解決.

(2)若λ2＞1時,當t∈(1,λ2)時,φ′(t)＜0;當t∈(λ2,+∞)時,φ′(t)＞0.所以φ(t)在 (1,λ2)上單調遞減,在(λ2,+∞)上單調遞增,又φ(1)=0,所以φ(x)在(1,+∞)上不能恒小于0,不符合題意,舍去.

綜合(1),(2)得,若不等式e1+λ ＜x1·xλ2恒成立,只須λ2≤1.又λ＞0,所以0＜λ≤1.

點評題4和題5都含有三個變量,其解法是解決此類數(shù)學問題的常規(guī)策略,其思路就是通過消元、換元不斷減少變量的個數(shù),使之轉化為我們熟知的一元函數(shù),最后利用導數(shù)證明不等式,解題過程中所蘊含的解題思想都是化多元變量為一元變量的本質回歸.

初看2018年高考新課標卷理科21題,也許會有人會提出該題作為壓軸題的質疑,認為它的難度和創(chuàng)新不夠,不符合大眾對壓軸題認識的某種心理,然而筆者通過對該題的解法和命題背景分析來看,特別是在新高考改革即將實施的大背景下,越發(fā)感覺廣大的數(shù)學專家、教育專家及測評與評價專家通過對新課標十年的論證和摸索已經形成了自己的命題風格:平和—表述簡明,言簡意賅;穩(wěn)定—平穩(wěn)過渡,風采依舊;獨特—背景深刻,韻味無窮.

21題作為壓軸題難度的適當降低顯然預示著已經開始為未來的文理高考合卷拉開序幕,悄然指明今后高考備考的方向;通過本題的解法研究要求我們在整個復習備考中,特別是在教學活動中,教師要加強對數(shù)學問題的探究性教學,重視變式訓練,注重對同一個習題多個知識點的改編、重組和變式,訓練和優(yōu)化學生的思維品質,不要就題論題,通過教學活動讓學生對問題進行多角度、多層次(問題正反面、問題的縱橫向、問題的特殊和一般)的拓展和探究,學生在解決數(shù)學問題時能夠舉一反三,會思考、會拓展;樹立備考以提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為出發(fā)點,全方位地培養(yǎng)學生的綜合處理數(shù)學問題的能力,落實在每一堂課里,滲透到每一個習題中,讓學生在教學活動中體驗數(shù)學活動經驗,掌握數(shù)學本質,感受數(shù)學思想,學會數(shù)學地思考問題,培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性;在解題活動中要注重知識的梳理總結,理解解題方法的本質,形成對一類試題解題共性的本質核心歸納和方法提升,加強學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),遠離題海訓練,用數(shù)學的眼光觀察、分析和解決問題,高考呼喚數(shù)學本位的靈魂回歸,備考急需數(shù)學思想的本質回歸,學生只要掌握理解了知識方法的本質所在,哪怕是與相關試題的一次“邂逅”甚至沒有遇見,也不會感到陌生.