拋物線y=ax2+bx+c一條鮮為人知的性質

云南省昆明市宜良縣職業(yè)高級中學(652100) 胡光明

對于拋物線y=ax2+bx+c,老師們一般只關注對定義(一般式、頂點式、交點式)、圖像(畫法)、一般性質(定義域、值域、開口方向、頂點坐標、對稱軸、增減性、最值)及應用等內容的研究,很少注意更廣泛的開拓性研究.

在教學中,筆者發(fā)現(xiàn),拋物線y=ax2+bx+c還有一個很有趣的性質,寫下來與同仁分享.

定理拋物線y=ax2+bx+c上依次取不重復的四個點,若第一點與第二點、第三點與第四點橫坐標間距相等,則這四點構成的四邊形是梯形,其兩底的比值為定值.

圖1

如圖1,已知拋物線上四點A、B、C、D,A點和B點橫坐標的間距與C點和D點橫坐標的間距相等.求證:四邊形ABCD為梯形,且為定值.

推論1拋物線y=ax2+bx+c上依次排列的四個點,若相鄰兩個點之間橫坐標間距相等,則這四個點構成的四邊形是梯形,其兩底的比值為3.

推論2拋物線y=ax2+bx+c上依次排列的四個點,若相鄰兩個點之間橫坐標間距都是1,則這四個點構成的四邊形是梯形,其兩底的比值為3.

這一定理在解一些相關聯(lián)的題目時,有化難為易的功效,舉例如下.

圖2

例1如圖2,已知拋物線與x軸的交點為A、D(A在D的右側),與y軸的交點為C.

(1)直接寫出A、D、C三點的坐標;

(2)若點M在拋物線上,使得△MAD的面積與△CAD的面積相等,求點M的坐標;

(3)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B,在拋物線上是否存在點P,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

這是2014年廣東省汕尾市的一道數(shù)學中考題(第25題),有一定難度.一般思路和解法摘錄如下.

分析(1)令y=0,解方程可得到A點和D點坐標;令x=0,求出y=?3,可確定C點坐標;

(2)根據(jù)拋物線的對稱性,可知在在x軸下方對稱軸右側也存在這樣的一個點;再根據(jù)三角形的等面積法,在x軸上方,存在兩個點,這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離;

(3)根據(jù)梯形定義確定點P,如圖所示:[1]若BC//AP1,確定梯形ABCP1.此時P1與D點重合,即可求得點P1的坐標;[2]若AB//CP2,確定梯形ABCP2.先求出直線CP2的解析式,再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標.

解(1)因為,所以當y=0時,解得x1=?2,x2=4.當x=0,y=?3.所以A點坐標為(4,0),D點坐標為(?2,0),C點坐標為(0,?3);

[1]點M在x軸下方時,根據(jù)拋物線的對稱性,可知點M與點C關于直線x=1對稱,因為C點坐標為(0,?3),所以M點坐標為(2,?3);

[2]點M在x軸上方時,根據(jù)三角形的等面積法,可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3.當y=3時,,解得,所以M點坐標為.綜上所述,所求M點坐標為(2,?3)或;

圖3

(3)結論:存在.如圖3所示,在拋物線上有兩個點P滿足題意:[1]若BC//AP1,此時梯形為ABCP1.由點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B,可知BC//x軸,則P1與D點重合,所以P1(?2,0).因為P1A=6,BC=2,所以,所以四邊形ABCP1為梯形;

圖4

[2]若AB//CP2,此時梯形為ABCP2.因為A點坐標為(4,0),B點坐標為(2,?3),所以直線AB的解析式為y=所以可設直線CP的2解析式為將C點坐標(0,?3)代入,得n=?3,所以直線CP2的解析式為因為點P2在拋物線上,所以,化簡得:x2?6x=0,解得x1=0(舍去),x?2=6,所以點P2橫坐標為6,代入直線CP2解析式求得縱坐標為6,所以P2(6,6).因為AB//CP2,AB?=CP2,所以四邊形ABCP2為梯形.

綜上所述,在拋物線上存在一點P,使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形;點P的坐標為(?2,0)或(6,6).

上述第三個問題的解答頗花費了一些筆墨.若應用本文定理,就來得容易多了.

事實上,已求出C、B、A三點的坐標分別為C(0,?3)、B(2,?3)、A(4,0),因為C、B、A這三個點橫坐標間距都是2,根據(jù)上述定理及推論,P點與C點橫坐標的間距或P點與A點橫坐標的間距為2時,四邊形ABCP為梯形.所以P點的橫坐標應為?2或6,于是得點P的坐標為(?2,0)或(6,6).

例2已知對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,若a＜b,求的最小值.

對于本題,《數(shù)學通報》2012年第12期的文章《回歸知識基礎 關注基本性質》有過精彩的討論.通過閱讀文[1],筆者了解到《數(shù)學通報》2008年第12期、2010年第9期也有文章研究過此題.

這里,筆者僅從本文定理及推論的角度,對例2進行討論.

通過觀察,結合二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c相關知識易知:f(?1)=a?b+c;f(0)=c;f(1)=a+b+c.這些信息均與解題目標相關,而它們相應的點的橫坐標間距都是1,且f(0)?f(?1)=b?a,因此考慮引入第四個元素f(?2),使以橫坐標為-2、-1、0和1的四個點滿足構成梯形的條件 (推論 2).由f(1)?f(?2)=3[f(0)?f(?1)]得:a+b+c?f(?2)=3(b?a),即:,因為對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,所以f(?2)≥0,又因為a＜b,所以當且僅當f(?2)=0時等號成立.由知,b=c=4a.問題迎刃而解.

其實,圍繞本文定理及推論,仿照例2可以得到一系列翻版或升級版的命題.比如:

(1)已知對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,若25a+5b＞0,求的最小值.

(2)已知對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,若b＞3a,求的最小值.

(3)已知對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,若b＞2a,求的最小值.

(4)已知對任意實數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負,若3a+b＞0,求的最小值.

不勝枚舉.

本文提出的拋物線內接梯形的原理,還可應用到拋物線作圖上.取拋物線上橫坐標間隔距離相同的三個點(最好是先定出頂點),即可通過推平行線的方法分別向兩側找到第四點、第五點……,從而作出拋物線的圖像.讀者可自行嘗試,這里不再贅述.