高考數(shù)學(xué)模擬試題命制的實(shí)踐與方法

廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部(518055) 喻秋生

前言

我很榮幸地有20次參與深圳市高三數(shù)學(xué)模擬考試試題的命題工作,多次在深圳市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考研討會(huì)上介紹模擬考試試題的命題過(guò)程以及對(duì)試題的分析與思考.本文是根據(jù)作者在各次會(huì)上的發(fā)言材料整理總結(jié)而成,本文中的例題均為深圳市高三模擬考試試題.

從某種意義上講,數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)解題教學(xué).數(shù)學(xué)教師在備課、上課、課外輔導(dǎo)和考試命題的過(guò)程中經(jīng)常需要編擬各種例題、練習(xí)題和試題.編擬數(shù)學(xué)題,要求命題者能融會(huì)貫通數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想,對(duì)教材、教綱、考綱、課程標(biāo)準(zhǔn)理念有深刻理解,還要求有較強(qiáng)的創(chuàng)新能力.編制試題對(duì)提高我們教師的科研能力、教學(xué)水平,以及提高課堂教學(xué)效率都有非常積極的意義.

一、高考數(shù)學(xué)模擬試題編擬的方法及案例

試題的編擬多數(shù)情況下是對(duì)成題的改編.所謂成題,是指歷年來(lái)各地(包括國(guó)外)的高考題、會(huì)考題、競(jìng)賽題、自主招生題、高考模擬題、課本上的例題與習(xí)題、各種教輔書上的例題等已經(jīng)面世的數(shù)學(xué)題,這是我們改編數(shù)學(xué)題的豐富資源.編擬試題就是在利用這些豐富的命題素材、了解學(xué)生認(rèn)知水準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn),通過(guò)多種命題技巧編制“原創(chuàng)題”.“原創(chuàng)題”重點(diǎn)要體現(xiàn)一個(gè)“新”字,既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)新情境,提供新材料,試題設(shè)問(wèn)又要新穎,思維性要強(qiáng).下面介紹編擬高考數(shù)學(xué)模擬試題的幾種常用方法.

1.以教材中的例題、習(xí)題為源進(jìn)行命題

“源于課本又高于課本”、“出活題,查基礎(chǔ),考能力”是高考數(shù)學(xué)命題的思想,每年的高考題都有多道考題能在課本上找到“原型”.在高考模擬考試試題的命題中堅(jiān)持以課本為源頭命制測(cè)試題,有利于引導(dǎo)學(xué)生重視課本,避免過(guò)分依賴于課外復(fù)習(xí)資料、不重視教科書等現(xiàn)象的發(fā)生.因此,要格外關(guān)注教材,挖掘教材中有新情境、新應(yīng)用的試題,編制原創(chuàng)題.

例如在教材中有如下例題：已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且.求證：MN⊥AB.1

圖1

例1如圖1,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,已知點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在側(cè)棱CC1上.

(1)當(dāng)線段CN的長(zhǎng)度為多少時(shí),MN⊥AB1;

(2)若MN⊥AB1,求B1N與平面AB1M所成角的余弦值.

我們知道一般的數(shù)學(xué)試題都是由若干個(gè)已知條件和一個(gè)或幾個(gè)求證(或求解)結(jié)論構(gòu)成,即是形如：“已知條件A成立,條件B成立,……,求證結(jié)論C成立”.對(duì)這樣的原題我們可以改編成：[1]“已知條件B成立,條件C成立,……,證明或判斷條件A是否成立”;[2]“已知條件A成立,條件C成立,……,證明或判斷條件B成立”.我們也可以置換原題中的某些條件或結(jié)論,將原題一般化或特殊化,將原題引申或拓展等.

2.以高考題為源進(jìn)行命題

最激烈的競(jìng)爭(zhēng)是高考,最有參考意義的試題是高考題.以高考題為參照來(lái)命制新的試題,用作高三模擬考試試題是明智之舉.

圖2

2008年浙江高考題中有一道試題：如圖2,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=

(1)求證：AE//平面DCF;

(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為 60°?

我們是將這道高考題中條件“四邊形BEFC為梯形”,改編為“四邊形BEFC為圓內(nèi)接四邊形,且AB//EF”,圖形中增加一個(gè)圓,并將幾何體的位置作了一些旋轉(zhuǎn),這樣使得我們構(gòu)造的幾何體圖形漂亮、新穎,更能考查學(xué)生的空間想象能力.

圖3

例2如圖3,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓O上,AB//EF,矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2,EF=1．

(1)求證：平面DAF⊥平面CBF;

(2)當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角D-FE-B的大小為 60°?

對(duì)立體幾何試題的編擬有一種最常用的方法就是不需要改變?cè)}的已知條件,只需將幾何體的放置作些改變(如旋轉(zhuǎn)角度、倒置或增減一些多余線與面)就可以變成一道新題.

3.以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景進(jìn)行命題

帶有高等數(shù)學(xué)背景的初等數(shù)學(xué)題往往具有背景新、視點(diǎn)高、發(fā)揮空間大、變化范圍廣的優(yōu)點(diǎn).在過(guò)去多年的高考考試題中,多次有過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)中的重要定理或結(jié)論進(jìn)行過(guò)編題,像函數(shù)中的中值定理、兩個(gè)重要極限等知識(shí)都有改編成為高考考試試題.高等數(shù)學(xué)中有很多概念我們可以通過(guò)以新定義的方式給出,也可以將高等數(shù)學(xué)中某個(gè)結(jié)論的一個(gè)特例進(jìn)行改編成初等數(shù)學(xué)試題,這樣改編出的試題更能考查學(xué)生的理解能力,以及運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

例3 設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集,如果?a,b∈S有a+b∈S,a-b∈S,則稱S是一個(gè)“和諧集”．下面命題為假命題的是( )

A．存在有限集S,S是一個(gè)“和諧集”.

B．對(duì)任意無(wú)理數(shù)a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和諧集”.

D．對(duì)任意兩個(gè)“和諧集”S1,S2,若則S1∪S2=R.

4.以國(guó)內(nèi)外競(jìng)賽數(shù)學(xué)題為源進(jìn)行命題

同高等數(shù)學(xué)一樣,競(jìng)賽數(shù)學(xué)也可以作為命題源編擬成高考數(shù)學(xué)模擬試題.較之高等數(shù)學(xué),競(jìng)賽數(shù)學(xué)畢竟離中學(xué)數(shù)學(xué)更近一些,所以某些競(jìng)賽數(shù)學(xué)的思想方法也可以在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用.近些年來(lái),高斯函數(shù)[x]的概念、同余的思想、柯西不等式的特例等就頻繁地出現(xiàn)在高考試題中.

例如2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第14題：將編號(hào)為1,2,…,9的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上,每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球．設(shè)圓周上所有相鄰兩球號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為要S．求使S達(dá)到最小值的放法的概率．(注：如果某種放法,經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合,則認(rèn)為是相同的放法)

這道競(jìng)賽題主要考查的是三個(gè)以上絕對(duì)值和的最小值以及概率問(wèn)題,多于兩個(gè)的絕對(duì)值和的最值問(wèn)題超出高考考試大綱要求,大綱只對(duì)兩個(gè)絕對(duì)值和的最值有要求,因此我們將九個(gè)數(shù)字改為三個(gè)數(shù)字,將超過(guò)兩個(gè)絕對(duì)值和的最值問(wèn)題改編為兩個(gè)絕對(duì)值和的最值問(wèn)題,這樣符合大綱要求,也降低了難度,同時(shí)我們將求概率問(wèn)題改編為求數(shù)學(xué)期望問(wèn)題.

例4在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,記ξ=|x-2|+|y-x|．

(1)求隨機(jī)變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;

(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

很多競(jìng)賽題,可將其探討的一般性問(wèn)題改為對(duì)特殊性問(wèn)題的研究,將多個(gè)變量改為1個(gè)或2個(gè)變量,將探究性題型改為對(duì)某個(gè)結(jié)論的證明題,這樣就能改編成適合高三模擬考試用的數(shù)學(xué)試題.

5.在知識(shí)的交匯點(diǎn)處進(jìn)行命題

《考試說(shuō)明》要求“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題,使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的要求.”因此,高考特別注重在重點(diǎn)知識(shí)板塊網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題,這就要求我們會(huì)運(yùn)用知識(shí)之間的交叉、滲透和組合編制試題,體現(xiàn)知識(shí)的綜合性.數(shù)學(xué)考試試題的后三題一般都是綜合性較強(qiáng)的試題,這些題往往可以采用這種方法進(jìn)行編擬.

例5已知g(x)=ln(x+2)-ax-2a,其中常數(shù)a＞0．

(1)設(shè)函數(shù)F(x)=g(f(x)),當(dāng)函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí),求a的取值范圍;

二、編擬試題的一些簡(jiǎn)易方法

1.大題小題化、小題大題化

將一道綜合題中的條件特殊化,多元問(wèn)題一元化(或二元化),即可將綜合題改編成選擇題或填空題,反之將問(wèn)題一般化,一元變多元,或引入?yún)?shù)又可將小題改編為綜合題.例如2003年全國(guó)高考第22題(附加題)：設(shè){bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t且r,s,t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列,已知bk=1160,求k.我們改編為：

例6已知集合A={3m+n|0≤m≤3,0≤n≤3,m,n∈N},則集合A中元素個(gè)數(shù)為()

A.16 B.14 C.9 D.8

2.利用類比法命制試題

類比是偉大發(fā)現(xiàn)的引路人.同樣,類比也是發(fā)現(xiàn)新命題的最有效的手段.圓與圓錐曲線的類比、圓錐曲線間的類比、平面到空間的類比、等差數(shù)列與等比數(shù)列間的類比,…….

在研究圓的性質(zhì)中我們發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)M、N是圓C：x2+y2=r2上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是圓C上異于M、N的任意一點(diǎn),且直線PM、PN分別與x軸交于點(diǎn)R、S,則|OR|·|OS|=r2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．根據(jù)這個(gè)性質(zhì)我們進(jìn)行類比,編擬出：

圖4

例7如圖4,已知橢圓的離心率為,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x+2)2+y2=r2(r＞0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線PM,PN分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證：|OR|·|OS|為定值．

很多圓錐曲線試題常?？捎眠@種類比的方法進(jìn)行編擬,上面這個(gè)關(guān)于橢圓的試題還可以類比成雙曲線.

3.運(yùn)用執(zhí)果索因法進(jìn)行命題

我們可以先有一個(gè)想要的結(jié)論,后去尋找滿足它的條件,這種看著結(jié)論去找條件,由簡(jiǎn)到繁是命題時(shí)比較好的簡(jiǎn)易方法.

例如我們知道在數(shù)列中,數(shù)列的重要內(nèi)容是求數(shù)列的通項(xiàng)、求數(shù)列的前n項(xiàng)和,如果我們想考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)是利用錯(cuò)位求和法求和,那么我們可以希望數(shù)列的通項(xiàng)是.這時(shí)我們發(fā)現(xiàn),數(shù)列是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,因此就有·2,整理就得到一個(gè)關(guān)于a與a n+1n的遞推關(guān)系式.

例8已知數(shù)列{an}滿足．

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a的值;(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列?若是,試求出使不等式an+1＜an+a1對(duì)一切正整數(shù)n都成立的a的取值范圍;

(3)a=1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證：當(dāng)n≥3時(shí),．

由結(jié)論尋找條件關(guān)系式時(shí),必須注意條件的等價(jià)性,有時(shí)很多條件是不等價(jià)的.因?yàn)橛尚碌玫降臈l件關(guān)系式可能可以推出多個(gè)結(jié)論,原有結(jié)論只是其中之一,滿足構(gòu)造出的關(guān)系式的結(jié)論可能會(huì)有很多.例如我們知道奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但如果已知一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),去求定義域時(shí)結(jié)論就不唯一了,例如讓學(xué)生求奇函數(shù)的定義域,則學(xué)生就很難求完整.

4.利用數(shù)學(xué)結(jié)論(或性質(zhì))進(jìn)行命題

在平常的教學(xué)過(guò)程中,大家常常會(huì)對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究,通過(guò)研究得出一些結(jié)論(或性質(zhì)),我們可以根據(jù)這些結(jié)論(或性質(zhì))來(lái)進(jìn)行命題.例如在圓錐曲線中我們發(fā)現(xiàn)有“過(guò)圓錐曲線外的定直線上任意一點(diǎn)作該圓錐曲線的兩條切線,切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì),這樣我們就編擬了下面試題.

例9已知拋物線C：x2=4y,點(diǎn)P是直線y=2x-5上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PE、PF,E、F為切點(diǎn),M為EF的中點(diǎn)．

(1)求證：PM⊥x軸;

(2)直線EF是否恒過(guò)一定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．

我們知道高考模擬考試試題是用來(lái)檢測(cè)高三學(xué)生的復(fù)習(xí)效果,是對(duì)學(xué)生參加高考前的一次關(guān)鍵檢測(cè),因此試題的編擬必須與時(shí)俱進(jìn),必須符合當(dāng)年高考對(duì)數(shù)學(xué)考試能力的要求.編擬的數(shù)學(xué)試題必須做到規(guī)范合理、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、表述清晰．