匠心獨具出妙問動靜結合譜不凡

摘要：《課標（2011年版）》要求學生通過義務階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。感悟本題，要讓學生解決題中的問題，筆者發(fā)現(xiàn)教學中我們要夯實基礎的同時，培養(yǎng)學生良好的解題思路，適時的滲透數(shù)學思想，以此提高學生的數(shù)學思維，讓學生順利解題的同時，從而養(yǎng)成好的數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：妙問；動靜結合；指引教學

中考是畢業(yè)與選拔并存的考試，所以每年的中考卷中都有一些為了選拔而存在的題目，就是我們常說的壓軸題。讓學生們望而卻步的中考題壓軸題，以它的新穎獨特亮相著，每年都會激起千層浪，開出一朵朵美麗的浪花，拍打著我們的思維，激發(fā)我們有不同感悟，指引著我們教學前進的方向。筆者將以2016年江蘇省蘇州市中考數(shù)學27題為例談談自己的感悟：

一、 原題呈現(xiàn)，亮相不凡

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm。點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3cm/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作圓O，點P與點O同時出發(fā)，設它們的運動時間為t（單位：s）（0

1. 如圖1，連接DQ，當DQ平分∠BDC時，t的值為

2. 如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

3. 請你繼續(xù)進行探究，并解答下列問題：

（1）證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側；

（2）如圖3，在運動過程中，當QM與圓O相切時，求t的值；并判斷此時PM與圓O是否也相切？說明理由。

（一） 審題——細讀條件，謹而不繁

在讀完題目后我們可以把題目的條件分為以下4個：

條件1：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm；條件2：點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為

4cm/s；條件3：過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上；條件4：點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3cm/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作圓O，點P與點O同時出發(fā)，該題以矩形、正方形、圓為背景考查動點問題，在題目中出現(xiàn)動點和動圓，進一步分析可以看出本題圍繞動點P和O進行著。其中由條件2可設BP=4t；由條件4可設DO=3t。重新整理一下條件簡化為：

條件1：矩形ABCD，正方形PQMN，圓O；條件2：AB=6cm，AD=8cm，BP=4t，DO=3t，圓O半徑為0.8cm。

可見在我們細讀條件和提煉的基礎上，條件就變得簡潔明了，也可看出出題者的精心設計。

（二） 思題——品味設問，新而不難

在理清條件的基礎上，我們繼續(xù)來看本題的設問，發(fā)現(xiàn)這3個設問考查多種知識點：

設問1考查了角平分線的性質；設問2考查了等腰三角形的性質以及在解題中要借助相似三角形進行解題；設問3新穎獨特考查了直線與圓相切的知識。

匠心獨具的設問，更多的是考查學生分析問題、解決問題的能力。

二、 匠心獨具，“問”出精彩

本題是幾何題與動點的巧妙的結合，縱觀本題有矩形、正方形、三角形、圓等基本圖形的有機組合，給我們呈現(xiàn)了視覺的盛宴和思維的碰撞。

（一） 妙問一：圖形熟悉，重在基礎

細品本題的設問，發(fā)現(xiàn)出題者緊扣基礎，如第一問中給出的條件是“DQ平分∠BDC”結合圖4“∠DPQ=∠DCQ=90°”可以應用角平分線的性質得到CQ=PQ，借助相似三角形用含t的式子表示出PQ和CQ，繼而求出t值。

不難發(fā)現(xiàn)在問題1中，所考查了角平分線的性質和相似三角形的性質，這些幾何知識都是初中數(shù)學知識的基礎，一旦學生基礎知識扎實的話可以輕松解決。

（二） 妙問二：條件簡明，體現(xiàn)能力

本題第二問考查的是等腰三角形的知識，按常態(tài)我們要分三種情況討論，但本題加上“以CQ為底”把題目簡單化，學生會發(fā)現(xiàn)這題無須分類討論，解決此類問題只需要利用等腰三角形的性質添加輔助線，在圖5中作底邊上的高ME，應用等腰三角形三線合一的性質得EQ=12CQ，再運用△MEQ與△DCB相似，把EQ長代入求出t即可。

所以第二問中，題目又轉化為應用相似三角形的性質去解決。我們發(fā)現(xiàn)條件簡潔明了，考查了我們學生分析問題，解決問題的能力。

（三） 妙問三：新穎別致，活而不難

眾所周知中考壓軸題有其新而獨特之處，對于第三題的探究①，初讀此題覺得很新穎，那么如何解決這個問題；再讀題目，我們會發(fā)現(xiàn)要解決“點O始終在QM所在直線的左側”，我們必須找到一個橋梁，而這個橋梁則是“直線QM與邊DC的交點F（如圖5）”，這樣就把題目成功的轉化為只要比較DO與DF的大小，如果DO

通過反復的斟酌思考，第三問的探究①給我們的感覺是新穎別致，作為中考的壓軸題，它考查了學生分析問題的能力，把新穎的問法融入熟悉的背景使學生感到活而不難，相信我們的考生在面對該題時更多的是親切感，繼而有克服解決它的勇氣。

（四） 妙問四：動中細究，水到渠成

第三問中探究②，在圖6中我們連接PM，而本題圓在動，正方形不僅動邊長還發(fā)生變化，給本題的探究造成了一定的困難。本題考查的是直線與圓相切的知識，這是圓中重點知識，而要解決相切的問題作垂線，進而利用相似三角形的性質解決。前半題解決的前提下，判斷“PM與圓O是否也相切”就有解決的眉目了。這題為選拔學生，也算盡心盡力，學生通過細究后必須轉化為求“O到直線MP的距離h”，然后根據(jù)直線與圓相切的定義，進行解題。

看似無從下手的問題，我們在它的動中細細探究，發(fā)現(xiàn)其實它考查了直線與圓相切的知識和相似三角形的知識，而解決問題的方法就水到渠成。

三、 感悟不凡，指引教學

《課標（2011年版）》要求學生通過義務階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。而本題對它們進行著最好的詮釋。

（一） 感悟一：注重扎實基礎，融會貫通所學

中考命題遵循兩個基本目標：基礎知識和基本技能。本題考查的是三角形、矩形、正方形、圓，基本涵蓋了初中階段的基本圖形，可以看出考查面豐富的同時，緊扣著基礎知識。它所考查的知識點有：角平分線的性質、等腰三角形的性質，相似三角形的性質、正方形的性質等等。

俗話說：“千里之行始于足下”，在教學中我們首先要扎實基礎。作為教師我們傳授知識時，要把每個知識點讓學生熟練掌握，同時應用要融會貫通：如我們可以引導學生在看到角平分線的時候，就開始聯(lián)想角平分線的性質，如本題應用角平分線的性質把問題轉化為CQ=PQ；又如第二問中出現(xiàn)等腰三角形并且告知CQ為底的情況下我們會想到等腰三角形“三線合一”，繼而添加輔助線作底邊上的高MH，從而應用相似三角形的性質去解決。我們發(fā)現(xiàn)要解決問題除了要有扎實的基礎，同時要讓學生把所學知識融會貫通?？梢钥闯雒}在重視基礎的同時，也要重視知識的融會貫通。

（二） 感悟二：培養(yǎng)解題思路，提高數(shù)學思維

“掌握數(shù)學就是意味著善于解題”中學數(shù)學教學的首要任務就是加強解題訓練。感悟這題，我們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的復習課學生只是機械的模仿老師按常規(guī)的經(jīng)驗進行解題，一旦遇到形如本題的創(chuàng)新題，將一籌莫展只能放棄。所以我們的教學中要教會學生如何解題，不斷培養(yǎng)學生的思維能力，我打算從以下幾方面進行嘗試。

第一，審題習慣的培養(yǎng)。羅增儒教授認為解題的關鍵是“成在審題，敗在審題”，可見審題決定解題的成敗。在教學中可以讓學生讀完題目后，把題目中的條件進行一一劃分，如本題初步可把條件分為四個，在引導學生繼續(xù)深入思考分析條件后簡化為2個條件。一旦學生成功歸納出以上兩個條件后，就說明學生已經(jīng)完成了解題的第一步審題。

在教學中我會讓學生讀完題目之后劃出條件，讓學生思考通過條件能得到哪些有效信息，重視知識的延伸和生長，注意學生發(fā)散思維的培養(yǎng)。

第二，解題思路的滲透。在教學中雖然我們深知對學生要“授之以漁”，我們要教會學生解題思路。

如在本題第三問的探究，它是一個新穎的原創(chuàng)題，那么我們要引導學生思考如何架起一座橋梁解決這個問題，思考點O和QM所在直線的左側有什么聯(lián)系的地方，學生會發(fā)現(xiàn)直線QM與DC有交點F，只要比較DO與DF的大小。我們在教學中注重解題思路的滲透，即教會學生如何分析題目，相信這個“漁網(wǎng)”可以幫助學生捕獲不同的“魚”。我們可以嘗試課上更多是引導學生來說說解題思路，教師加以引導總結歸納。

所以，教師在解題教學的時候要滲透解題思路，使學生學會解題，學會思考，學會創(chuàng)造，培養(yǎng)學生的解題思維。

（三） 感悟三：滲透數(shù)學思想，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學基本思想和基本方法支撐和統(tǒng)帥著數(shù)學知識是數(shù)學的精髓，教師要在傳授知識的過程中不斷滲透相關的思想和方法，讓學生在掌握知識的同時，領悟更深層次的思想和方法。

本題由動態(tài)的正方形和圓，以及靜態(tài)的矩形組成，有運動的點和由此引起變化的正方形的邊長。不管正方形的邊長如何變化，圓的位置如何變化我們都可以把問題“化歸”為點的運動。在第三問中的證明時結合圖形發(fā)現(xiàn)只要比較DO與DF的大小，用“數(shù)形結合”就可以巧妙地解決此題。而對于線段的求解和表示，本題的解題從始至終都滲透了“轉化”的數(shù)學思想，問題分析最后均轉化為相似三角形來解決。解決本題的數(shù)學思想有化歸思想、數(shù)形結合思想及轉化思想等思想方法。而對于數(shù)學思想方法的教學要在教學中時時滲透，培養(yǎng)學生知識探究的能力。

綜合題是考查學生將數(shù)學知識和技能融會貫通，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。在課堂教學中我們在重視知識傳授的同時，更要重視數(shù)學思想和方法的滲透，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、探究問題和解決問題的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和應用意識。數(shù)學思想的滲透同時，可以不斷提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，幫助學生成功的解答題目。

欣賞、感悟一道好題，可以經(jīng)歷思考和研判的客觀理性的過程，為今后的教學及研究傾注一股綠色的生機，為未來的教學以及研究帶來啟迪和幫助。筆者通過本題的感悟，覺得在教學中夯實基礎的同時，培養(yǎng)學生良好的解題思路，適時的滲透數(shù)學思想，以此提高學生的數(shù)學思維，養(yǎng)成好的數(shù)學素養(yǎng)，讓學生順利解題的同時，在數(shù)學的道路上走得更遠。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.數(shù)學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2013（8）.

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[3]楊瑞強.背景優(yōu)美，能力立意，啟示教學[J].中學數(shù)學教學參考，2012（9）：42

作者簡介：施長燕，江蘇省蘇州市，江蘇常熟濱江實驗中學。