凸函數(shù)性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用

徐 建 中

(亳州學(xué)院，安徽 亳州 236800)

在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是很重要的一種思想方法，其精髓在于利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對討論的問題進(jìn)行推理和論證，進(jìn)而尋求解決問題的途徑。凸函數(shù)是一類常見的重要函數(shù)，自建立凸函數(shù)以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支都得到廣泛應(yīng)用，尤其是在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析，最優(yōu)化理論等方面有著許多的應(yīng)用。現(xiàn)行的高等教學(xué)教材中也都對函數(shù)的凸性做了介紹。凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，因此研究凸函數(shù)的性質(zhì)十分重要。

1 凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定理

1.1 定義

定義1設(shè)f(x)定義在區(qū)間I上，任意x1,x2∈I,0<α<1,0<β<1,α+β=1,恒有

f(αx1+βx2)≤αf(x1)+βf(x2)

(1)

則稱f(x)在I上為下凸函數(shù)。若當(dāng)x1≠x2有嚴(yán)格的不等號成立，則稱f(x)為嚴(yán)格的下凸函數(shù)。下凸函數(shù)簡稱為凸函數(shù)。在式(1)中，若將不等號反向，則稱f(x)在I上為上凸函數(shù)，當(dāng)嚴(yán)格的不等號成立時，則稱為嚴(yán)格的上凸函數(shù)。

1.2 幾種等價定義

定義2若f(x)在I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

(2)

定義3若f(x)在I上有定義，f(x)稱為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

?x1,x2,…,xn∈I,有

(3)

定義4若f(x)在I上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)曲線y=f(x)的切線恒保持在曲線的下方，則稱y=f(x)為凸函數(shù)，若除切點(diǎn)之外，切線嚴(yán)格保持在曲線的下方，則稱f(x)為嚴(yán)格的凸函數(shù)。

1.3 性質(zhì)及定理

性質(zhì)1設(shè)f(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意的k>0，則kf(x)在區(qū)間I上也為凸函數(shù)。

性質(zhì)2設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則f(x)+g(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)3設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù)k1f(x)+k2g(x)(k1,k2>0)為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)4若f(x),g(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則max{f(x),g(x)}為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)5設(shè)g(u)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，u=f(x)是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)g[f(x)]也是凸函數(shù)。

(4)

證明：顯然只要證明必要性即可。因為f(x)在I上為凸函數(shù),所以當(dāng)n=1時，式(4)顯然成立；當(dāng)n=2時，由定義1和式(2)知，式(4)成立。

設(shè)當(dāng)n=k時，式(4)成立，即有：

則當(dāng)n=k+1時有:

由數(shù)學(xué)歸納法知，式(4)對一切自然數(shù)成立。

2 在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 在Jensen不等式證明中的應(yīng)用

例1證明n個正數(shù)的倒數(shù)的算術(shù)平均值不小于這n個數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)。

(5)

例2證明：n個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于這n個正數(shù)的幾何平均值。

于是得

(6)

例3設(shè)xi>0(i=1,2,…,n),證明：

(7)

(8)

(3)x1x1+x2x2+…+xnxn≥

(9)

即

所以有

(xi>0,i=1,2,…,n)

(2) 由式(6)、(7)成立，易知式(8)成立。

(3) 令f(x)=xx(0

因為

f′(x)=xx(1+lnx)

所以，f(x)=xx在(0,+∞)上是凸函數(shù)。

即

2.2 在Holder不等式證明中的應(yīng)用

證明：令f(x)=xα(α>1,00,

所以f(x)=xα在(0,+∞)上為凸函數(shù)。由f(x)在I上為凸函數(shù)的定義及定理1知，當(dāng)ti>0時，

當(dāng)xi∈(a,b)(i=1,2,…,n)時，有：

得

當(dāng)aiα與biβ成比例時，即aiα=kbiβ(k為正整數(shù),i=1,2,…,n)

當(dāng)aiα與biβ不成比例時，ti不全相等，又因為f(x)=xα在(0,+∞)內(nèi)為嚴(yán)格凸函數(shù)，故嚴(yán)格不等號成立。

2.3 在Cauchy不等式證明中的應(yīng)用

例5若xi>0,yi>0,i=1,2,…,n,則有

證明：由Cauchy不等式，則有：

即

3 結(jié) 語

凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，運(yùn)用凸函數(shù)解題顯得巧妙而簡練。利用函數(shù)的凸性來證明不等式，通常需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，再利用函數(shù)凸性的定義及性質(zhì)，將一些琴生不等式、Cauchy不等式等轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的性態(tài)，從而使不等式簡化，進(jìn)而得到證明。