基于數(shù)形結(jié)合的乘法分配律錯例分析

安徽馬鞍山市四村小學(xué)教育集團（243000）

教材四年級下冊“運算定律”這一單元，總能聽到很多教師抱怨：“學(xué)生怎么就找不到乘法分配律中的公因數(shù)呢？”“三個數(shù)、四個數(shù)連乘，肯定是用乘法交換律或是結(jié)合律，這些孩子怎么會用上乘法分配律呢？”“學(xué)完整個單元后，學(xué)生出現(xiàn)的錯誤簡直五花八門，一片混亂?！薄?/p>

除了五條基本運算定律外，連減、連除的簡便計算以及加減、乘除的靈活應(yīng)用等相關(guān)內(nèi)容也被編排在“運算定律”這一單元。整個單元知識點系統(tǒng)全面，但對于四年級的學(xué)生來說，卻具有一定難度，其中的乘法分配律似乎成了學(xué)生很難跨越的“坎”。

運算定律 運算性_質(zhì)___________________________________________名稱___加法_______________________交換律___加法__________________結(jié)合律___乘法_______________________交換律乘法結(jié)合律____________乘法分配律_____________減法的運算性質(zhì)字母表達式____________a+b=b+a_____________（a+b）+c=a+（b+c）________a×b=b×a_____________（a×b）×c=a×（b×c）_________（a+b）×c=a×c+b×c__________a-b-c=a-（b+c）除法的運算性質(zhì)a÷b÷c=a÷（b×c）（b≠0 ，c≠0）

從上表可以看出，與其他只包含單一運算的運算定律和性質(zhì)相比，乘法分配律含有乘法與加法兩種運算，思維含量較高。同時，乘法分配律與乘法結(jié)合律在形式上最為相似，也給學(xué)生造成一定的干擾。如果只重視乘法分配律外在形式的識記與模仿，忽略對其本質(zhì)意義的理解，學(xué)生自然會出現(xiàn)（a×b）×c=（a+b）×c、（a+b）×c=a×c+b之類的錯誤。

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，如果能結(jié)合具體的情境，將直觀的形與抽象的數(shù)一一對應(yīng)，將有助于學(xué)生深刻理解乘法分配律的內(nèi)在本質(zhì)，從而有效建構(gòu)抽象的運算律。

【錯例一】（提取練習(xí)）38×36+64×38

圖1

分析：從乘法分配律的字母表達式來看，其應(yīng)用是雙向的。從左往右看，從（a+b）×c到a×c+b×c是分解式思維；從右往左看，a×c+b×c到（a+b）×c是提取式思維?！皬淖笸摇钡膽?yīng)用符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，“從右往左”則讓一些學(xué)生如同霧里看花。

對策：

師（出示：401班為38名女生統(tǒng)一購買表演服裝，其中上衣36元，裙子64元，一共花了多少錢？）：你能列出算式嗎？

生1：38×36+38×64，38×36表示38件上衣的總價，64×38表示38條裙子的總價，再把它們加起來，就是一共花的錢數(shù)。

生2：我覺得這樣計算比較麻煩。上衣和裙子都要買38件，可以先算“一套衣服的價格”，再乘38。列式為（36+64）×38。

師：這是生活中常見的購物問題，雖然兩個算式“長”得不一樣，但都能解決這個數(shù)學(xué)問題。

生3：38×36+38×64=（36+64）×38，這就是運用了乘法分配律。

師：用不同顏色的筆在圖（如圖2）上圈一圈，表示這兩種算法。

圖2

生4：虛線框表示分別算出上衣和裙子的總價，再相加。實線框表示先把每套衣服算出來，36+64正好等于100元，一共38套，再用100乘38就行了，計算很方便。

圖3

師（出示圖1）：有位同學(xué)計算38×36+64×38時遇上了麻煩，雖然也想到了乘法分配律，卻越做越覺得不對勁。你有什么看法？

生5：我覺得36和38很接近，他是不是搞不清哪個才是公因數(shù)？

生6：這可以和剛才的買衣服問題聯(lián)系起來，只不過64和38調(diào)換了位置，相當(dāng)于運用了乘法交換律。

生7：我建議在觀察算式后，把38圈起來，這樣就不會錯了。

生8：38×36可以理解為36個38，64×38可以理解為64個38，這樣一共是（36+64）=100個38，怎么可能是102個36呢？

【錯例二】（對比練習(xí)）25×44

圖4

分析：簡便計算本身就是一個開放的思維過程。25×44，既可以把44拆成40和4的和，運用乘法分配律，也可以把44看作4和11的積，運用乘法結(jié)合律。正因為方法的不唯一，有些學(xué)生就會張冠李戴、混淆不清。

對策：

師（出示圖4）：這樣計算對嗎？

生1：44應(yīng)該是40和4相加，不是相乘。

生2：如果將兩個數(shù)相乘，變成三個數(shù)連乘，應(yīng)該把44看成4和11相乘，見25“想”4,25×4的積再乘11，結(jié)果應(yīng)該是1100。

生3：這是把乘法分配律和乘法結(jié)合律混在一起了。

師（出示：在廣場表演中，有44支隊伍，每支隊伍25人，一共有多少人？）：這道題可以列式為“25×44”嗎？

生4：列式正確?！耙还灿卸嗌偃恕本褪乔?4個25是多少，所以用乘法計算。

師：在三年級學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，我們借助點子圖來理解算理。今天計算“25×44”，我們也在點子圖上圈一圈、分一分，感受不同的算法。

學(xué)生獨立完成，展示：

圖5

師：對比圖5中的兩種算法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：如果想把44分成40和4兩部分，那只能運用乘法分配律，25要和40相乘，也要和4相乘，最后把兩個積相加。

生6:25和4相乘是100,44里面有11個4，所以這實際上是乘法結(jié)合律，本來是4先和11相乘，現(xiàn)在是25先和4相乘，然后再乘11。

生7：這兩種方法都很方便，就看是想拆成和還是積。

生8：25×44=25×40+25×4，其實就是44個25等于40個25加上4個25,25×44=25×4×11，表示44個25等于11個25×4。

【錯例三】（變式練習(xí)）99×99

圖6

分析：一些本身不具備乘法分配律特征的習(xí)題，通過變式，可以還原成基本模型題。大多數(shù)學(xué)生簡算99×99時會想到99×（100-1），個別學(xué)生反而“想多了”，變式為（100-1）×（100-1），說明這些學(xué)生并沒有將乘法分配律的本質(zhì)納入自身的知識結(jié)構(gòu)中。

對策：

師：看到99×99，能讓你聯(lián)想到我們學(xué)過的平面圖形嗎？

生1：我想到正方形，正方形的面積就是“邊長×邊長”。

師：想象一個邊長是99米的正方形果園，果園的面積就是99×99。怎樣計算呢？

生2：99×99表示99個99，可以用100個99減去1個99，也就是99×100-99。

師（出示圖7）：想象一下，這個果園的一條邊長增加1米，就是100米?，F(xiàn)在果園是什么形狀的？增加的部分又是什么形狀呢？

圖7

生3：現(xiàn)在的果園是一個長100米、寬99米的長方形，增加部分也是一個長方形，長99米、寬1米。

師：99×99=99×100-99×1，誰能結(jié)合圖7說說每一步的含義？

生4：99×99是原來正方形的面積，99×100-99×1是增加后的長方形面積減去增加的長方形面積。

師：從乘法的意義和面積圖的含義兩方面來看，這種算法能說得通。

師（出示圖6）：有位同學(xué)想到99接近100，所以他把99×99轉(zhuǎn)化成（100-1）×（100-1），這樣行嗎？

生5：不行。乘法分配律不論是兩個數(shù)相加的和還是兩個數(shù)相減的差，都要乘一個相同的數(shù)。他這樣做，括號里都是兩個數(shù)的差，變成了四個數(shù)，這怎么乘呢？

師：如果覺得不好理解，試著發(fā)揮你們的聯(lián)想功能。把正方形果園的邊長從99米增加到100米，變成一個更大的正方形。那100×100、100×2分別表示什么?

生6：100×100表示增加后的正方形面積，100×2其實是兩個長100米、寬1米的長方形面積之和。

師：看上去似乎也能說得通，是不是還有什么被我們忽略了？

生6：我知道他出錯的原因了。這兩個長100米、寬1米的長方形里，重疊了一個邊長是1米的小正方形。如果從100×100里減去2個100×1的話，等于減去了2次小正方形面積，所以還要加上1×1。

師（出示圖8）：從算式的角度觀察只知其錯，和圖形結(jié)合起來，我們才能知其錯因。

圖8

反思：

對于學(xué)生來說，運算定律的提煉與概括具有高度的抽象性。但學(xué)生不是一張白紙，他們在學(xué)習(xí)乘法分配律之前已經(jīng)積累了大量的知識與活動經(jīng)驗，如學(xué)習(xí)乘法口訣（如圖9-1）、長方形周長的計算方法（如圖9-2）、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法（如圖9-3）時，都在不知不覺中運用了乘法分配律。教師要引導(dǎo)學(xué)生用好這些經(jīng)驗，完成知識學(xué)習(xí)的遷移過程，從而幫助學(xué)生將原來零散的感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，讓學(xué)生能夠在回憶中逐步建立數(shù)形模型。

圖9-1

圖9-2

圖9-3

學(xué)生出錯在所難免，但即使出現(xiàn)錯誤，也要錯得明明白白。教師要在生活中尋找與運算定律相關(guān)的素材，從圖形出發(fā)，以圖形為載體，注重數(shù)形結(jié)合，在數(shù)形中加深學(xué)生對意義的理解，多維度促進學(xué)生對乘法分配律意義的建構(gòu)，從而幫助學(xué)生理解并靈活應(yīng)用運算定律。