以數(shù)學(xué)繪本為媒介 滲透數(shù)形結(jié)合思想
——以“生活中的螺線”一課為例

浙江杭州師范大學(xué)附屬嘉興經(jīng)開實驗小學(xué)（314000）

縱觀整個小學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想始終貫穿其中:一年級的湊十法、破十法，二年級的有余數(shù)除法，四年級的植樹問題，六年級的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題……螺線因與圓形有相似性，雖然知識的跨度比較大，但是學(xué)生已經(jīng)在生活中積累了大量的感性認(rèn)識，因此，六年級的“生活中的螺線”這一課，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想是非常有幫助的。

一、以“數(shù)”化“形”，借助數(shù)列聯(lián)想圖形

“生活中的螺線”這一課所涉及的“數(shù)”是數(shù)列，對于六年級的學(xué)生來說，數(shù)列并不陌生，學(xué)生已經(jīng)有過尋找數(shù)列的規(guī)律，并按規(guī)律填數(shù)的豐富經(jīng)驗。對于“形”，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的有關(guān)知識，雖然從未接觸過螺線這個名詞，但是在生活中能夠找到它的原型。教學(xué)時，教師只要引導(dǎo)有效，就能促使學(xué)生建立“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系（如圖1）。

圖1

課件出示數(shù)列：0 5 5 5 5···

0 1 2 3 4···

師：請比較這兩個數(shù)列，它們有什么相同點和不同點？

生1：相同點是都有0。

師：對，0通常表示起點，那不同點呢？

生2：第一個數(shù)列的每一個數(shù)字都是5，第二個數(shù)列是1，2，3，4。

師：如果讓你猜一猜每個數(shù)列后面的數(shù)，你認(rèn)為會是哪些數(shù)？

生3：第一個數(shù)列后面的數(shù)都是5，第二個數(shù)列后面的數(shù)是5，6，7，8···

師：其實數(shù)和形是緊密聯(lián)系的，看到5 ，5，5，5，你想到了什么圖形呢？

生4：正方形。因為正方形每條邊都是相等的。

生5：圓。因為圓的半徑都是相等的。

師：那么看到1，2，3，4，你會想到什么圖形呢？請畫一畫。

（學(xué)生嘗試在方格紙上畫，得到圖2和圖3兩種情況）

圖2

圖3

師：剛才我們說4后面應(yīng)該是5，如果把5也畫出來4應(yīng)該和哪個數(shù)相連？5后面是幾？還能不能往下畫？

生6：4應(yīng)該和5相連，還可以繼續(xù)往下畫。

師：這個圖形的名字叫螺線。螺線和圓有什么類似的地方？有什么不一樣的地方？

生7：圓有起點和終點，螺線只有起點，沒有終點。

生8：圓上任意一點到圓心的距離都相等，螺線上任意一點到起點的距離不相等。

生9：這條螺線之間的空隙都是相等的。

師：這條螺線被命名為“阿基米德螺線”。因為偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德是第一個研究它的人，所以用他的名字來命名。

通過第一個常數(shù)數(shù)列中數(shù)字都相等的規(guī)律，學(xué)生結(jié)合所學(xué)圖形的特點，根據(jù)四條邊相等聯(lián)想到了正方形，但是由于數(shù)列中項的個數(shù)是無限的，學(xué)生又聯(lián)想到了有無數(shù)條半徑、每一條半徑的長度都相等的圓。顯然，學(xué)生不僅從外顯上有直觀的感受，而且也能夠從內(nèi)涵上將數(shù)和形緊密聯(lián)系起來。轉(zhuǎn)化第二個等差數(shù)列對學(xué)生來說比較困難，雖然數(shù)列不陌生，圖案卻從來沒有接觸過，但這是本課的重點，所以這個環(huán)節(jié)可以先讓學(xué)生在方格紙上畫一畫，并在學(xué)生反饋時抓住關(guān)鍵問題“4應(yīng)該是和哪個數(shù)連起來？”引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)列的特點進(jìn)一步和螺線聯(lián)系起來，明確4的后面應(yīng)該是5，所以4應(yīng)該和5連接，并可以連續(xù)不斷地畫下去，沒有終點。教師通過設(shè)置挑戰(zhàn)性的任務(wù)“看到數(shù)列你會想到什么圖形呢？”，并以此作為關(guān)聯(lián)點，讓學(xué)生在觀察、想象、操作、探究、修正中經(jīng)歷由數(shù)到形轉(zhuǎn)化的具體過程，進(jìn)一步溝通“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，從而掌握阿基米德螺線的特征。

二、以“形”變“數(shù)”，根據(jù)圖形研究數(shù)列

“形”雖然有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示為“數(shù)”的形式后進(jìn)行分析計算（如圖4）。

圖4

師(出示圖5)：這是鸚鵡螺殼的橫截面，這個線條和阿基米德螺線一樣嗎？用手比畫它是怎么旋轉(zhuǎn)的。

圖5

圖6

生1：不一樣，它旋轉(zhuǎn)不均勻，離起點越來越遠(yuǎn)。

師：把它也畫成螺線會是什么樣的呢？（出示圖6）它所對應(yīng)的數(shù)列是哪個呢？

生2：看方格圖數(shù)，得到0，1，1，2，3，5，8，13，21…

師：這個數(shù)列有什么特點？

生3：前面兩個數(shù)相加得到后面那個數(shù)。

師：這個數(shù)列叫斐波那契數(shù)列，用這個數(shù)列所畫成的螺線叫斐波那契螺線。

在生活中較具代表性的斐波那契螺線的現(xiàn)象是各種軟體動物的殼，其中鸚鵡螺是最典型的。教師可出示螺殼橫截面，讓學(xué)生用手比畫——想象螺線圖——觀察得出數(shù)列，經(jīng)歷從具體到抽象、從形到數(shù)的過程。學(xué)生在這個過程中能感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、圖形與數(shù)列之間的密切關(guān)系，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。

三、“數(shù)”“形”互變，溝通內(nèi)在聯(lián)系

解決一些數(shù)學(xué)問題時，不僅僅是簡單的“以數(shù)變形”或“以形變數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀（如圖7）。

圖7

師：如果把數(shù)列0，2，4，6，8，10，12…畫成螺線，會是哪種螺線？數(shù)列2，6，10，14，18…呢？

生1：都是阿基米德螺線，但是螺線之間的距離變寬了。

師：如果我把這兩個數(shù)列合并在一起呢？畫出來會是什么樣的？給大家3個選項（如圖8）。

圖8

生2：選B。

生3：選C。

……

師：為什么沒有人選A呢？

生4：兩個數(shù)列的規(guī)律是不一樣的，所以合并以后畫出來的圖形肯定不是勻稱的，但不確定是選項B還是C。

師：在方格紙上再畫一畫吧，看看到底是什么樣子。畫完后靜靜地想一想為什么。

生5：選C。畫出來就知道了。

生6：選C。因為縱軸的間距小，橫軸的間距大。

生7：選C。數(shù)列0,2,4,6,8…是畫在縱軸上的，相差2；數(shù)列2，6，10，14，18…是畫在橫軸上的，相差4，比縱軸多。因此就形成選項C的螺線。

師：如何能讓它形成選項B這樣的螺線呢？

生8：兩個數(shù)列的位置交換一下。

生9：先畫橫軸，再畫縱軸。

……

數(shù)形結(jié)合思想絕不是簡單的由形到數(shù)或者由數(shù)到形的單向轉(zhuǎn)化，更多情況下是兩者互相依存、互相聯(lián)系、共同存在。在學(xué)生學(xué)習(xí)了阿基米德和斐波那契兩種著名的螺線，并感知到了它們的特點后，筆者出示了兩個不同的等差數(shù)列，讓學(xué)生先不畫圖，而是在頭腦中想象圖像，然后直接判斷圖像屬于哪種螺線，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步鞏固上一環(huán)節(jié)所學(xué)的知識。最后，筆者設(shè)置了挑戰(zhàn)性任務(wù)“把兩個數(shù)列合并，合并以后畫出來會是怎樣一個圖形呢？”，促使學(xué)生積極參與思考，并且為了能讓學(xué)生完成學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計了四個步驟：①獨立在頭腦中想象；②四人小組討論并給出選擇；③動手畫一畫；④反饋結(jié)果并探究其原因。在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，先由數(shù)列想象圖形，遇到阻礙再通過畫一畫跨越障礙，得到正確的螺線圖，最后通過螺線圖回頭分析成因，進(jìn)一步明晰數(shù)列的特征，可謂是數(shù)中有形，形中有數(shù)，互相轉(zhuǎn)化，密不可分。通過教師有意識、分層次的引導(dǎo)，培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力和分析歸納能力。

總之，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解題的捷徑和鑰匙，滲透數(shù)形結(jié)合的思想也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中不可或缺的組成部分，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，還能提高學(xué)生解決問題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。