巧解一個(gè)連接體問題

李晟陽

連接體問題是力學(xué)中學(xué)生能力考查的重要內(nèi)容。在學(xué)習(xí)斜面-滑塊組成的連接體問題時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的結(jié)論，下面通過具體問題進(jìn)行闡述。

一、問題的提出

問題1.如圖1所示，木楔M置于粗糙的水平地面上，一物塊以某一初速度沿斜面滑下時(shí)，物塊恰好保持勻速直線運(yùn)動，整個(gè)過程中木楔始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。分析地面對木楔是否存在摩擦力。

滑塊除了受重力外，還受到斜面對滑塊的支持力和滑動摩擦力。滑塊在斜面上做勻速直線運(yùn)動，斜面對滑塊的作用力與滑塊重力等大、反向，即斜面對滑塊的作用力（支持力和滑動摩擦力的合力）方向豎直向上，如圖2所示。根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊對木楔的作用力始終豎直向下，地面對木楔沒有摩擦力。

上述分析過程運(yùn)用了隔離法，依次以滑塊和木楔作為研究對象進(jìn)行受力分析。由滑塊做勻速直線運(yùn)動及木楔保持靜止可知兩者的加速度相同且為零，兩者視為一個(gè)整體，該整體所受的外力分別為豎直向下的重力和豎直向上的地面支持力，可得出地面對木楔沒有摩擦力。

問題2.在問題1的基礎(chǔ)上，若施加一個(gè)豎直平面內(nèi)的作用力F在物塊上，如圖3所示，地面對木楔否存在摩擦力？

解決該問題通常的做法是分別對滑塊和木楔受力分析，再結(jié)合牛頓運(yùn)動定律列出方程求解。但這種處理方法計(jì)算復(fù)雜，有沒有更簡潔的方法？

我認(rèn)為可分析兩種特殊的受力情形。

二、兩種特殊受力情形

問題3.在問題1的基礎(chǔ)上，若作用在滑塊上的力豎直向下，如圖4所示，地面對木楔是否存在摩擦力？

這個(gè)問題的可從以下兩個(gè)方面考慮。

1.對滑塊受力分析，與問題1的分析類似，滑塊受力如圖5所示，建立直角坐標(biāo)系，由牛頓第二定律列出方程組

其中m為物塊的質(zhì)量，μ為物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)，θ為斜面與水平面的夾角，F(xiàn)1為施加在滑塊上的外力。根據(jù)已知條件及問題1得出μ=tanθ，代入上述方程組得滑塊的加速度為零，即滑塊仍然做勻速直線運(yùn)動，再運(yùn)用整體法得知地面與木楔之間沒有摩擦力。

2.設(shè)想在滑塊頂角上放置另一物體，根據(jù)問題1，其與滑塊構(gòu)成的一個(gè)整體仍將做勻速直線運(yùn)動，若此時(shí)該物體對滑塊的作用力恰好也為F1，則滑塊的受力與問題3中情形完全相同，因此兩者的運(yùn)動情況也相同，再由整體法同樣可以得出以上結(jié)論。

問題4.在問題1的基礎(chǔ)上，若作用在滑塊上力沿斜面向下，如圖6所示，地面對木楔又是否存在摩擦力？

滑塊所受外力F2并沒有改變滑塊與斜面間的正壓力，因此兩者之間的摩擦力不變。若以木楔為研究對象，木楔此時(shí)的受力與問題1中的情況完全一樣，木楔與地面之間同樣沒有摩擦力。

三、問題的解決

由此可以在問題1的基礎(chǔ)上得出這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ滿足μ=tanθ（θ為斜面傾角）時(shí)，只要滑塊沿斜面向下滑動，則無論作用在滑塊上的外力的大小和方向如何變化，木楔與地面之間始終沒有摩擦力。

本文通過對斜面-滑塊模型的研究得出的結(jié)論是從滑塊的兩種特殊受力情形出發(fā)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的平面向量知識后總結(jié)分析出來的。該結(jié)論在解決相關(guān)的動力學(xué)問題時(shí)能有效減少物體的受力分析，降低該問題的復(fù)雜程度。