一類半線性橢圓型方程邊值問題的正徑向解

李小帥，鐘金標(biāo)

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133)

文獻(xiàn)[1]討論了問題：

為有界光滑區(qū)域。文獻(xiàn)[2]討論了半線性橢圓型方程：

的正徑向解是否存在，并利用拓?fù)涠壤碚撟C明了其正徑向解的存在性。文獻(xiàn)[3-4]分別討論了

解的存在性。受文獻(xiàn)[1-4]的啟發(fā)，利用不動點理論證明下列半線性橢圓型方程邊值問題：

正徑向解的存在性，并討論解的唯一性及不可解性。這里B?Rn( n ＞1)是以球心為原點的單位球，Δ是n維Laplacian算子，f∈C[ B ×[0 ,∞ ) ]且關(guān)于u在0處是超線性的，比文獻(xiàn)[1]中非線性項更具一般性。

假定問題(1)中的非線性函數(shù)滿足或部分滿足下列條件：

(H1)f( x ,s):B×[0 ,+∞ ) →[0 ,+∞)是連續(xù)的且關(guān)于s是單增的。

(H3)f:B×R+→R+是Lipschitz連續(xù)的，Lipschitz系數(shù)為L且L＜λ1，其中λ1是-Δ算子0-Dirichlet邊值問題的第一特征值。

1 存在性

考察(1)式的徑向形式

其中，r∈[0 ,1)。

定理1設(shè)(H1)成立，則(2)式若有解必為正解。

證明 由條件(H1)知f( x ,u ) ≥0，從而

由上調(diào)和函數(shù)的極值原理知，u≥0。

引理2[5]（不動點定理）設(shè)X是一個Banach空間，C是X的一個閉凸子集。若T是C到C的一個緊映射，R為一個正常數(shù)，對滿足||u||=R的任意u∈C，有u≠tT()u,0≤t≤1，則T有一個不動點u∈C，且||u||≤R。

定理3 設(shè)(H1)，(H2)成立，則(1)式存在有界正徑向解。

證明 設(shè)X=C[ 0 ,1 ]，K?{ u | u∈X,u≥0,u′(0 ) =0,u(1 ) = 0}，則K為X的一個閉凸子集。定義算子T:K→K：

結(jié)合(H1)，這里T:K→K是緊正算子[6]。

設(shè)u是u=tT(u ) 的一個解，t∈[ 0 ,1]，則

對足夠小的常數(shù)τ，設(shè)||u||∞= τ，利用(H1)有

由條件(H2)知，對足夠小的τ，有，即矛盾。因此對常數(shù)τ，對?u∈K有u≠tT()u,0≤t≤1。由引理2知，T有一個不動點u∈K，即

所以(2)式存在正徑向解，即(1)式存在正解。

例1考察問題是否存在有界正徑向解，這里B∈Rn( n ＞1 )是以球心為原點的單位球。

證明 對于(4)式，f(x ,s)=s2，滿足條件(H1)、(H2)，由定理3知(4)式存在有界正徑向解。

2 唯一性

非線性方程邊值問題解的唯一性一般需通過附加適當(dāng)?shù)臈l件得到。

定理4 如果(H3)成立，那么(1)式至多只有一個解。

證明 設(shè)u與v為(1)式的兩個解，

-Δu=f( x ,u )，-Δv=f( x ,v )，u-v=0,x∈ ?B，則

將(5)式兩邊乘上u-v，并在B上積分，利用Green恒等式、Poincare不等式得到

由條件(H3)知，＜ 1，與(6)式矛盾，所以u=v，即至多只有一個解。

3 不存在性

下面考察的正徑向解，則(7)式轉(zhuǎn)換為下面問題

其中r= |x|。

定理5 設(shè)n ≥ 3，條件(H1)，(H4)成立，則(8)式不存在正徑向解。

證明 設(shè)u(r)為(8)式的正徑向解，則u(r)滿足

由(H1)知u′(r )＜0，從而u(r)單減，所以

則

對(9)式從0到r積分得

于是

考察F(r)=ru′(r)+(n -2) u(r)，斷言F(r )≥0，若不然，存在r0＞0，使得F( r0)=r0u′(r0)+( n -2) u(r0)＜0。 因 為 F′(r)=(r u′(r))′+( n -2) u′(r)=-rf(r ,u(r ) )＜0，所 以 ru′(r)+( n -2) u(r)＜F( r0),r＞ r0，從而

對(11)式從r0到r積分得到u(r)-u( r0)＜F( r )ln→ -∞,r→ +∞，得u(r )=∞矛盾，所

00以F(r ) ≥0。因此

對(12)式 從0到r積 分得rn-2u(r )≥Cˉ，即u(r ) ≥ Cˉr-(n-2),r≥ 1。結(jié)合(10)式得

滿足條件(H1)、(H4)，故由定理5知例2無解。