繪制Mandelbrot集的新算法

王乃謖

[關(guān) 鍵 詞] 繪制M集；編程；新方法

[中圖分類號] G718 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）24-0017-01

本文主要是利用計算機畫圖功能繪制曼德布洛特集合。利用的每個點在逃逸過程中所迭代的次數(shù)，作為要用到的信息。也就是以此代表繪制的圖形中的圖像的顏色的深淺。顏色越深，代表它逃逸的越快，時間也就越短；反之，逃逸的慢，時間長，顏色淺。

本文主要利用VC++6.0的環(huán)境來編程；用到的主要函數(shù)是：畫圖：pDC->SetPixel。

一、基本的繪制M集新方法

（一）定義

先對復(fù)平面上的點進行循環(huán)，由0開始迭代。如果這些點滿足條件的話（while（（|Z|^2

（二）實現(xiàn)

增加了一個二維的數(shù)組在每次的運算過程中，來記錄它們的路過信息。也就是每一個復(fù)平面上的“擊中”次數(shù)，也就是每次迭代一次，用于儲存信息的count數(shù)組便記錄一次，也就是Counter（Z）+=1。最后所有的統(tǒng)計信息都統(tǒng)計結(jié)束以后，根據(jù)這統(tǒng)計信息進行著色。

圖像是：

圖像基本特點：可以看到，越是外面，它被“擊中”的次數(shù)越多，說明它被經(jīng)過的概率也就越高。由于是記錄的每一個點所被“擊中”的次數(shù)，所以在邊界處顯得有些模糊。顏色的深淺也代表了所“擊中”的次數(shù)。這個圖像的中心是一個有一個小口的圓形，在這個圓形的邊界處，說明它們被“擊中”的次數(shù)相同。但是，這個小圓里并不是對稱的，也說明了，里面的點的信息是不一樣的。其他方面，在這個小圓的周圍，是一些包裹橢圓形的小圓圈，都是不封口的，說明它們的“擊中”次數(shù)也是不一樣的。

二、擴展的繪制M集新方法

（一）定義

基本的M集：while（（|Z|^2

擴展的M集：while（（|Z|^N

（二）實現(xiàn)

用Buddhabrot方法來繪制：

基本思想是：利用一個二維數(shù)組來計算，每個逃逸點經(jīng)過的每一點的次數(shù)。并根據(jù)每個點經(jīng)過的次數(shù)來進行描點。

當N取不同的值的時候，也會得到不同的圖像，這里顯示1個而已。

這些圖像具有以下特點：第一，它們?nèi)窃趥鹘y(tǒng)方法的基礎(chǔ)上得出來的，跟傳統(tǒng)方法得到的曼德布洛特集合的很相似。主要的區(qū)別就是，邊界沒有傳統(tǒng)的方法清晰，因為采用的新方法中，用到的是每一個點的“擊中”的信息，它使得得到的圖形更加的精確。第二，越往中間，顏色越深，說明它的“擊中”系數(shù)相對比較多，而兩邊卻恰恰相反。在他們的邊界處，它們在圖中顯示的顏色是一樣的，這就說明了在這些邊界的地方，被“擊中”的次數(shù)是一樣的。這些點在曼德布洛特集合上的性質(zhì)是一致的。

三、內(nèi)部點和外部點繪制M集新方法

（一）定義

在擴展的基礎(chǔ)上，先判定每個點是否是M集里面的點，還是不屬于M集。在判斷了以后，分別用M集的內(nèi)部點和外部點去分別再畫出新的M集。

（二）實現(xiàn)

首先是要有這么一個判斷：if（r>m）和if（k==K）為的就是說明該點是內(nèi)部點還是外部的，然后進行算法實現(xiàn)。

圖像如下：

圖像中主體的葫蘆形狀的顏色比較深，但是外面的顏色卻是黑色。這說明了在內(nèi)部點迭代的過程中，它們的主要路徑還是留在了內(nèi)部區(qū)域，而基本上沒有逃出過該區(qū)域，即使有很少的逃出過該區(qū)域內(nèi)，也是在很短的時間或是迭代過程中，又回到了該區(qū)域內(nèi)部。

下面是外部點的新圖形。

這是外部點經(jīng)過迭代的圖像，由于計算量比較大，只是減少了迭代的次數(shù)來得到現(xiàn)在的圖像，所以顯示的顏色比較淡。從圖中的顏色深淺可以看得出來，外部點在迭代過程中大部分的點還是在外部進行迭代，但是不能排除一少部分的情況，會在迭代過程中在內(nèi)部區(qū)域進行。

通過以上，再來看新方法下繪制出的M集圖像。所有點下的圖像更像是最開始繪制出的基本圖像。說明即使是在新方法下M集的變化并沒有那么大。而且也說明了每個點在迭代過程中，還是在M集內(nèi)部經(jīng)過的次數(shù)比較多。在內(nèi)部點繪制的圖像下這個表現(xiàn)得更加明顯，基本上所有的內(nèi)部點的迭代過程都是在其內(nèi)部完成的。而外部點則顯現(xiàn)出了稍有不同的點，它的迭代過程大部分是在外部完成的。