夏至日影測量

郭紅鋒

公元前古埃及的科學家埃拉托色尼，通過夏至日日影的測量，計算出地球周長。在古埃及的一個名為阿斯旺的小鎮(zhèn)上，每當夏至日正午，太陽從頭頂照射下來，物體是沒有影子的。當?shù)赜幸豢谒?，陽光會直接射入井中（見圖1），而過了這一天，就不會出現(xiàn)這些現(xiàn)象。

后來埃拉托色尼在埃及的另一個城市亞歷山大，在同樣的夏至日正午，測量了當?shù)匚矬w的影子，發(fā)現(xiàn)在亞歷山大城的夏至日正午，物體是有影子的，陽光偏離垂直方向大約7.5°（見圖2）。

我們用圖3解釋地球的形狀影響了地球表面不同地區(qū)的影子長度。如圖3左邊所示，假設地球是平的，入射的陽光不論是什么角度（直射或者斜射），在地球表面各處所成的影子都是一樣長的；但如圖3右邊所示，假設地球是球形的，那么太陽照射地球表面物體所成的影子，就會隨陽光入射角度不同而不同，同一時間在各地所成的影子長度與所在地緯度有關。

所以埃拉托色尼根據(jù)測量太陽在同一天兩地產(chǎn)生不同的影子長度，從而聯(lián)想到地球可能是球狀；又假設太陽離地球很遠，所射來的光線是平行光，進一步利用照射到地球表面的兩個城市影子的偏差，推算出地球的圓周周長。

這可以簡化成一道小學數(shù)學題：已知地球圓周是360°，A地夏至日陽光直射，地面沒有影子，B地夏至日陽光照射到地面上所成影子與垂直方向成7.5°，測量得到兩城之間的距離（即地球周長的一部分）為5000希臘里，求地球周長。

分析已知數(shù)據(jù)和未知數(shù)據(jù)，可以通過一個圓周角度和圓周弧長的比例得到如下關系：

利用簡單的比例計算，就可以得出地球周長（即360°圓周弧長）

換算到現(xiàn)代的千米制單位，埃拉托色尼測算的地球圓周長約為39360千米，與今天通過現(xiàn)代技術航跡測算的結(jié)果（赤道周長=40075千米），誤差僅在5%以內(nèi)。

埃拉托色尼在人們并不知道（一直爭論但卻無法證實）地球是方還是圓的年代，使用簡單的測量和計算，推導出地球周長這樣重要的數(shù)據(jù)，從而給出地球大?。ㄖ荛L）和形狀的概念，的確是非常很了不起的成就。這一實驗也被現(xiàn)代人們評價為史上最美+大物理實驗之一，是載入史冊的重大成果。

我們今天仍然可以參考2000多年前埃拉托色尼的測量方法，做一些基本的測量和計算。我們建議全國各地的同學們，在每年的春分、秋分、冬至和夏至時節(jié)，一起參加日影測量活動。因為在這幾個節(jié)點，太陽直射地球的角度是確定的。

圖4中的角度δ代表觀察者當?shù)鼐暥?，角度代表觀察日太陽直射點的緯度。根據(jù)圖中的三角關系，可知觀察者所在地當天正午的太陽高度角為H，H′是H的內(nèi)錯角，所以有H′=H。此外，在直角三角形AOB中，H′=90°-（φ-δ），所以我們得到任何緯度上任何一天正午太陽高度角與當?shù)鼐暥扔腥缦玛P系。

H=H′=90°-（Φ-δ）

以北京為例（Φ=40°），計算正午太陽高度角：

春分日與秋分日，太陽直射赤道，δ=0°

H=90°0（Φ-δ）=90°-（40°-0°）=50°（春秋分日正午太陽高度等于90。減當?shù)鼐暥龋?/p>

夏至日，太陽直射北回歸線，δ=23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°-23°.5）=73°.5（夏至日正午太陽高度等于春秋分日值加）

冬至日，太陽直射南回歸線，δ=-23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°+23°.5）=26°.5（冬至日正午太陽高度等于春秋分日值減）

每年夏至日，我們都會組織一些同學測量當?shù)卣缛沼?。不同緯度的?shù)據(jù)組合起來，可以讓我們直觀地看出地球表面的彎曲，也可以用來估算更多的地球參數(shù)。

活動時間：夏至日正午前后各半小時（總共約一小時）（天氣不好可提前或延后一兩天）

活動內(nèi)容：記錄太陽影子端點，記錄采樣時間，測量全部影子長度數(shù)值，填表保存。然后通過分析數(shù)據(jù)，計算出各種有關的結(jié)果。

活動方法：（建議）：

1.準備工作

①立竿：在空曠的平地上找一個豎直立在地面上的標志物（可以是一根竿子，也可以是窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物）；

②確定垂直：用線吊重物垂直于大地，或用大三角板、直角鋼尺等工具檢驗立桿的垂直度；窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物本身就是垂直的，可以不必再測；

③找出垂點，用做測量基點（見圖5）；

④確定觀測時間：因為我們?nèi)珖际褂帽本r間，但各地正午時刻是不同的，可以在網(wǎng)上查表得到當?shù)厝魏我惶斓娜罩袝r刻，觀測時間可以安排在日中時刻前后半小時；

⑤準備好計時器（手機或鬧鐘等）、卷尺、直尺、鉛筆、水筆、記錄紙（或表格）等；

⑥建議準備一張lK大小的厚型白紙鋪在地面上，把立竿放在紙的一端，影子端點記錄在紙的另一端，便于記錄和保存測量結(jié)果。同時建議拍攝全部測量過程和測量結(jié)果，以便后期核對。

2.測量工作

①測量竿高：用卷尺預先測量竿子的高度，并記錄數(shù)據(jù)（厘米）；

②記錄影子：正午前半小時到正午后半小時，每隔1～2分鐘記錄一次，建議每次把影子的端點畫在地面上或紙面上（用鉛筆或畫筆點一個點），畫的點不要過大（1毫米以下的圓點為宜，見圖6）；

③測量影長：全部記錄完畢，再用尺子測量垂點到每個時刻影子端點之間的長度數(shù)據(jù)，填入表格。

④記錄表格建議如下：

3.從測量結(jié)果得出

①確定當?shù)卣鐣r刻：最短的影長所對應的時刻，就是當?shù)禺斎照嫣枙r的正午時刻。

②確定當?shù)啬媳狈较颍鹤疃逃伴L的方向，就是正午時刻影子的方向，也是當?shù)氐恼险狈较颉?/p>

4.引申的問題

①你知道當?shù)卣鐣r刻與北京時間中午12點有什么差別嗎？

②你知道怎樣把測量得到的數(shù)值換算成太陽高度角的角度值嗎？

③你知道怎樣利用你的測量數(shù)據(jù)估算地球周長嗎？

④你能利用自己測量的數(shù)據(jù)計算當?shù)氐木暥葐幔?/p>