數(shù)學(xué)文化試題高考展望

黃昆耀

《考試大綱》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)試題需要展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.數(shù)學(xué)文化題主要取材于數(shù)學(xué)時(shí)事、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)圖形等.

一、數(shù)列問題

例1 《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一.”其意大致為：有一座七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈.該塔中間一層有（ ）盞燈.

A.24

B.48

C.12

D.60

小結(jié)本題以明朝程大位的《算法統(tǒng)宗》中的一首歌謠為背景，考查等比數(shù)列的概念及其求和公式，考查學(xué)生分析問題的能力與轉(zhuǎn)化的能力.

練習(xí)1 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：

二、立體幾何問題

例2《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.若某“陽馬”的三視圖如圖1所示（單位：cm），則該“陽馬”的外接球的體積為

小結(jié)本題以《九章算術(shù)》中的問題為材料，試題背景新穎.解答本題的關(guān)鍵是通過補(bǔ)形，正確畫出直觀圖，外接球的直徑就是長方體的體對(duì)角線.

練習(xí)2 “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中，構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖3，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是

三、框圖問題

例3宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松目自半，竹日白倍，松竹何日而長等.圖4是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為3，2，則輸出的n=

小結(jié) 解決這類問題，一要明確程序框圖中的順序結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)：二要識(shí)別運(yùn)行程序框圖，理解程序框圖解決的實(shí)際問題：三要按題目要求完成解答.

練習(xí)3 圖5的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=

A.O

B.2

C.4

D.14

四、推理問題

例4古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).他們研究過圖6中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)：類似地，稱圖7中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289

B.1 024

C.1 225

D.1 378

小結(jié) 本題是通過圖形尋找規(guī)律，依據(jù)數(shù)列知識(shí)求出通項(xiàng)公式，考查考生的推理能力和計(jì)算能力.

五、概率與統(tǒng)計(jì)問題

例5我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題，大意是：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒米內(nèi)夾谷28粒.這批米內(nèi)夾谷約為

A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石

小結(jié) 本題以《九章算術(shù)》的“米谷粒分”為背景，用樣本估計(jì)總體，考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)及考生的數(shù)據(jù)處理能力.

練習(xí)5設(shè)矩形的長為a，寬為b，當(dāng)b：a=V 5—i。0.618時(shí)，這種矩形給人以美感，被稱為

2黃金矩形.黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中.下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取的兩個(gè)批次的初加工矩形的寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確的結(jié)論是

A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定