基于平均停機時間率的劣化系統(tǒng)狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型

王 雷， 王少華， 張耀輝

(陸軍裝甲兵學(xué)院裝備保障與再制造系， 北京 100072)

傳統(tǒng)的預(yù)防性維修方式通常采用定時維修模型，常常導(dǎo)致“維修不足”或“維修過剩”。基于狀態(tài)的維修(以下簡稱“狀態(tài)維修”)[1]是通過對系統(tǒng)的技術(shù)狀態(tài)參數(shù)及其變化進行連續(xù)或定期的檢測，以確定部件劣化程度，及時發(fā)現(xiàn)潛在故障，預(yù)測系統(tǒng)狀態(tài)變化和發(fā)展趨勢，適時安排預(yù)防性維修的一種維修方式，是維修領(lǐng)域的研究熱點。在進行狀態(tài)維修決策時，通常將系統(tǒng)看作一個整體，借鑒單部件系統(tǒng)的思想進行狀態(tài)維修決策優(yōu)化建模。在工程實踐中，大多數(shù)多部件系統(tǒng)也是以其中某一關(guān)鍵部件的技術(shù)狀態(tài)為依據(jù)進行維修決策。因此，單部件的狀態(tài)維修決策優(yōu)化建模研究具有重要的意義。按照對系統(tǒng)劣化狀態(tài)的描述，維修決策模型研究主要分為離散變化和連續(xù)變化2種情況：采用馬爾科夫鏈及相關(guān)理論刻畫系統(tǒng)劣化狀態(tài)為離散變化的情況；采用Gamma過程和比例風(fēng)險模型等刻畫系統(tǒng)劣化狀態(tài)為連續(xù)變化的情況。賈希勝[2]基于延遲時間理論，采用Gamma分布描述了機械磨損過程，建立了以單位時間費用最小為目標的功能檢測模型；程志君等[3]針對系統(tǒng)存在故障維修延遲的情況，采用Gamma過程刻畫了系統(tǒng)連續(xù)劣化規(guī)律，采用周期檢測策略建立了以維修費用最低為目標的狀態(tài)維修決策模型;蘇春等[4]基于半馬爾科夫決策過程，以部件長期折扣成本最低為目標，建立了狀態(tài)維修決策模型，可以有效描述離散狀態(tài)下齒輪箱、葉片等風(fēng)力機核心機械部件的性能退化和維修優(yōu)化問題；王少華等[5]采用威布爾比例風(fēng)險模型建立了狀態(tài)維修決策模型，為降低裝備壽命周期費用提供了方法支撐；朱田瑋等[6]結(jié)合狀態(tài)監(jiān)測與風(fēng)機齒輪箱的故障規(guī)律，建立了威布爾比例風(fēng)險模型，實施狀態(tài)維修決策，降低了維修成本。

然而上述研究多是從系統(tǒng)維修費用角度出發(fā)進行狀態(tài)維修決策建模，忽略了檢測時間、維修時間對系統(tǒng)平均停機時間率的影響。系統(tǒng)平均停機時間率F是衡量大多數(shù)劣化系統(tǒng)維修效果的重要指標，是對系統(tǒng)在一定條件下無法正常工作的反映，其值為系統(tǒng)不能工作時間與總時間的比值。系統(tǒng)可用度A=1-F，由此可知：減小系統(tǒng)平均停機時間率可提高系統(tǒng)可用度?；诖耍P者采用Gamma過程描述部件的連續(xù)劣化狀態(tài)，利用更新過程理論建立以系統(tǒng)長期運行平均停機時間率最小為目標的狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型，采用蒙特卡羅方法同時優(yōu)化系統(tǒng)檢測間隔期與預(yù)防性維修閾值，為實施單部件系統(tǒng)的狀態(tài)維修決策以及建立不同劣化部件組合的多部件系統(tǒng)維修決策模型奠定基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)狀態(tài)維修過程模型

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)隨機劣化過程

根據(jù)系統(tǒng)部件劣化故障機理，性能劣化是損傷累積的結(jié)果。Gamma過程能較好地反映系統(tǒng)性能隨著時間累積單調(diào)非減的劣化狀態(tài)，被廣泛用于描述系統(tǒng)的劣化過程。

根據(jù)部件劣化規(guī)律，因老化和磨損累積導(dǎo)致性能逐漸劣化，在狀態(tài)檢測上主要表現(xiàn)為磨損、振動、溫度等劣化量，當檢測到劣化量超過給定閾值時，系統(tǒng)便會發(fā)生故障。設(shè)X(t)為t時刻反映部件劣化程度的特征參數(shù)，則隨機過程{X(t),t≥0}可用平穩(wěn)Gamma過程來描述。對于Gamma過程，劣化量X(t)在每個時刻點上均服從Gamma分布，且滿足以下條件：

1) 初始時刻t=0,X(0)=0,表示系統(tǒng)處于全新工作狀態(tài)。隨著時間累積，部件劣化狀態(tài)X(t)逐漸增加，發(fā)生故障的可能性隨之增大。

2) 對于任意時刻t12),劣化狀態(tài)增量X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)為相互統(tǒng)計獨立的隨機變量。

3) 根據(jù)穩(wěn)態(tài)Gamma過程的性質(zhì)[7]，對于隨機過程{X(t),t≥0}且X(0)=0，有

X(t+τ)=X(t)+X′(τ),τ∈(0,∞)。

其中，劣化狀態(tài)增量X′(τ)與X(t)相互獨立，有相同的分布。對于任意t≥0,τ>0,劣化狀態(tài)增量X(t+τ)-X(t)的分布僅與τ有關(guān)，而與t無關(guān)，且服從Gamma分布，記分布函數(shù)

G(X,τ)=P{X(t+τ)-X(t)≤x}

，

其概率密度函數(shù)

1.2 系統(tǒng)狀態(tài)維修更新過程

在工程實踐中，由于大部分裝備部件并沒有機內(nèi)測試(Built In Test,BIT)設(shè)備，因此連續(xù)檢測、在線檢測手段與技術(shù)受到限制，系統(tǒng)實時狀態(tài)數(shù)據(jù)的獲取較為困難，通常需要通過定期檢測來確定系統(tǒng)狀態(tài)。頻繁的檢測便于掌握系統(tǒng)的狀態(tài)信息，但是頻繁停機會降低系統(tǒng)的工作效率；反之，過長的檢測周期不利于及時掌握系統(tǒng)狀態(tài)的變化，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)因發(fā)生功能故障而不能正常工作。因此，檢測周期過短或過長都會增加系統(tǒng)的停機時間，通常當系統(tǒng)劣化特征參數(shù)累積達到某個閾值時進行狀態(tài)維修，以降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。同理，預(yù)防性維修閾值過低會造成系統(tǒng)頻繁的停機維修，過高則會增加系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。因此，預(yù)防性維修閾值過高或過低也都會增加系統(tǒng)的停機時間。為了減少系統(tǒng)的停機時間，在系統(tǒng)劣化狀態(tài)描述的基礎(chǔ)上，需對系統(tǒng)的檢測與維修策略進行優(yōu)化分析。

設(shè)系統(tǒng)的維修方式有定期檢測、預(yù)防性維修和修復(fù)性維修3類。為了簡化模型，假設(shè)對系統(tǒng)關(guān)鍵部件只進行換件維修，即當部件達到故障閾值或預(yù)防性維修閾值時更換該部件，更換后部件的劣化狀態(tài)恢復(fù)到初始投入使用時的狀態(tài)，系統(tǒng)修復(fù)如新，即系統(tǒng)更新。檢測方式為完全檢測，即通過檢測能完全確定系統(tǒng)所處的工作狀態(tài)，每次檢測耗時為tt。當部件進行定期檢測(t=iτ,i=1,2,3,…，檢測間隔期τ為待優(yōu)化參數(shù))、預(yù)防性維修和修復(fù)性維修時，系統(tǒng)不再發(fā)生劣化且處于停機狀態(tài)。當劣化狀態(tài)X(t)

由于大部分機械系統(tǒng)一般服從劣化失效規(guī)律，即故障是由磨損或外界侵蝕造成的，因此其劣化狀態(tài)X(t)越高，其維修難度越大，表現(xiàn)為維修時間應(yīng)滿足tt

1.3 系統(tǒng)狀態(tài)維修的平均停機時間率函數(shù)

根據(jù)模型的假設(shè)條件，為使系統(tǒng)工作時間盡可能長，應(yīng)降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率，并減少系統(tǒng)停機檢測的次數(shù)，因此，在系統(tǒng)劣化狀態(tài)描述模型基礎(chǔ)上，建立以系統(tǒng)長期運行平均停機時間率最小為目標的狀態(tài)維修優(yōu)化函數(shù)。記任意時刻t的停機累積時間為S(t)，根據(jù)更新過程理論[7]，系統(tǒng)長期運行平均停機時間率F可以看作一個更新周期的期望停機時間與期望時間的比值，即

設(shè)更新周期內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生更新時的檢測次數(shù)為Ni，則更新周期的期望時間為

E(T)=E(E(T|Ni))=

式中：P(Ni=i)為更新周期內(nèi)系統(tǒng)進行i次檢測的概率。

相應(yīng)地，更新周期的期望停機時間為

E(S(T))=E(Ni)tt+Pptp+Pftc，

式中：E(Ni)為更新周期內(nèi)的平均檢測次數(shù)；Pp為更新周期內(nèi)系統(tǒng)需進行預(yù)防性維修的概率；Pf為更新周期內(nèi)系統(tǒng)因發(fā)生故障而需要進行修復(fù)性維修的概率。

綜上所述，建立系統(tǒng)狀態(tài)維修的平均停機時間率目標函數(shù)：

(1)

2 系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化策略的解析模型

為了確定狀態(tài)維修模型中決策變量，即最佳檢測間隔期τ和預(yù)防性維修閾值p，筆者建立了數(shù)學(xué)解析模型，針對目標函數(shù)給出了相應(yīng)的求解方法。

2.1 更新周期期望停機時間E(S(T))的計算

首先確定更新周期內(nèi)的平均檢測次數(shù)[8]：

(2)

系統(tǒng)更新主要由2種情況構(gòu)成：一種是進行預(yù)防性維修時系統(tǒng)更新；另一種是進行修復(fù)性維修時系統(tǒng)更新。由于系統(tǒng)故障特征明顯，未到檢測點時也可直觀判斷系統(tǒng)劣化狀態(tài)超出故障閾值這一事件，因此當系統(tǒng)因發(fā)生故障而停機時，故障前一次檢測為更新周期內(nèi)的最后一次檢測。

當劣化狀態(tài)滿足p≤X(t)

P′(Ni=i)=P{X((i-1)τ)

p≤X(iτ)

(3)

當劣化狀態(tài)滿足X(t)≥f時，t為任意值，系統(tǒng)故障特征不需檢測便可直觀判斷，系統(tǒng)進行修復(fù)性維修后更新，則

P″(Ni=i)=P{(i-1)τ

(4)

根據(jù)劣化狀態(tài)增量服從Gamma分布的性質(zhì)，可得

(5)

同理，可得

(6)

式中：K(f,t)為故障時刻分布函數(shù)，且滿足

(7)

即對于性能劣化型系統(tǒng)，當隨機劣化量達到故障閾值f時，系統(tǒng)發(fā)生故障，不需檢測便停機進行修復(fù)性維修，顯然，系統(tǒng)故障時刻與停機維修時刻為同一時刻。

同理，系統(tǒng)更新時進行預(yù)防性維修和修復(fù)性維修的概率分別為

(8)

綜合式(2)-(8)，便可確定更新周期期望停機時間E(S(T))的具體表達式。

2.2 更新周期期望時間E(T)的計算

計算更新周期內(nèi)的期望時間E(T)時，只考慮檢測和維修的時間，E(T)由預(yù)防性維修時更新周期期望時間Ep(T)和修復(fù)性維修時更新周期期望時間Ef(T)組成。

由于預(yù)防性維修導(dǎo)致系統(tǒng)更新，則

(9)

由于修復(fù)性維修導(dǎo)致系統(tǒng)更新，此時系統(tǒng)故障不需檢測便可直觀判斷，且故障時刻tf與前一次檢測時刻相關(guān)，則

(10)

式(10)中tf可由式(7)得到，則由式(3)、(4)、(9)、(10)，便可確定更新周期期望時間E(T)的具體表達式。

2.3 仿真優(yōu)化求解

將E(S(T))和E(T)的具體表達式代入優(yōu)化目標函數(shù)(1)，即可建立系統(tǒng)長期運行平均停機時間率F與決策變量p、τ之間的關(guān)系。利用蒙特卡羅方法對目標函數(shù)進行仿真求解[9- 10]，仿真算法流程如圖3所示。

利用MATLAB軟件進行編程，首先,對劣化量首次達到故障閾值的時刻tf進行數(shù)值模擬，得到一條樣本軌跡；然后，根據(jù)優(yōu)化得到的tf，與設(shè)置的部件劣化參數(shù)α、β、f，相應(yīng)維修時間tt、tp、tc以及檢測次數(shù)i等，遍歷整數(shù)p、τ的取值空間，對目標函數(shù)進行仿真求解，得到系統(tǒng)平均停機時間率F與決策變量p、τ的最優(yōu)值。其中：p的取值范圍是小于f的整數(shù)；τ的取值范圍是小于tf/i的整數(shù)。

3 案例分析

3.1 案例求解

假設(shè)某單部件系統(tǒng)的故障模式主要為機械磨損，根據(jù)Gamma分布參數(shù)的物理意義以及工程實踐經(jīng)驗，確定部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時間如表1所示。

表1 部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時間

通過仿真算法得到的劣化量軌跡隨時間累積呈線性單調(diào)非減的規(guī)律，如圖4所示。其中，劣化量極大值、極小值曲線分別表示X(t)在一個時間步長上仿真劣化量的最大、最小值，2個曲線之間的區(qū)域表示X(t)的離散程度。由圖4中劣化量平均值曲線可知：當部件的故障閾值f=10時，得到X(t)首次達到故障閾值的時刻tf=30天。

根據(jù)仿真算法，得到平均停機時間率F與決策變量p、τ的關(guān)系如圖5所示。

3.2 結(jié)果分析

由圖5得到系統(tǒng)長期運行平均停機時間率F與預(yù)防性維修閾值p和最優(yōu)檢測間隔期τ的關(guān)系，當p=7，τ=9天時，minF=5.57%。根據(jù)優(yōu)化目標函數(shù)(1)可知:由于初期τ值過小，系統(tǒng)頻繁停機檢測，造成不必要的停機時間損失，使系統(tǒng)平均停機時間率F處于高值；隨著τ增大，系統(tǒng)更新周期期望時間E(T)相應(yīng)增大，使停機損失所占比重相應(yīng)減小，F(xiàn)降低；當τ>9天時，由于檢測周期過長，不能及時進行預(yù)防性維修，使系統(tǒng)因發(fā)生故障而增加大量停機時間，F(xiàn)相應(yīng)增加。同理，過小的p值會造成系統(tǒng)過度維修，造成不必要的停機損失；過大的p值會增加系統(tǒng)發(fā)生故障的可能性。因此，決策變量p和τ二者共同作用，與優(yōu)化目標F之間的關(guān)系曲面必然存在一個最低點，對應(yīng)最小的F值與相應(yīng)的p和τ，如表2中遍歷求解得到的數(shù)據(jù)所示，說明本文優(yōu)化方法是可行的。

表2 蒙特卡羅方法優(yōu)化迭代所得F值

3.3 有效性對比

為了驗證本文方法的有效性，在傳統(tǒng)的定時維修模型中，設(shè)置相同的部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時間，利用3.1節(jié)仿真得到的tf=30天，采用仿真求解得出最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期L=10天，對應(yīng)的系統(tǒng)平均停機時間率為8.33%。

由此可見：采用本文優(yōu)化方法得到的預(yù)防性維修閾值p與檢測間隔期τ進行維修決策，可以將更新周期內(nèi)系統(tǒng)平均停機時間率從定時維修條件下的8.33%減小到5.57%，因此，從任務(wù)性和安全性相關(guān)指標來看，本文方法是適用且有效的。

4 結(jié)論

與從整體費用角度出發(fā)進行狀態(tài)維修決策的系統(tǒng)相比，軍用裝備更看重從整體可用度角度出發(fā)進行狀態(tài)維修決策。筆者考慮了檢測時間、維修時間的影響，利用更新過程理論，以系統(tǒng)平均停機時間率最小為目標建立了系統(tǒng)狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型，該模型可有效提高系統(tǒng)可用度。然而，本文在模型假設(shè)方面還有一定的局限性，對于電子系統(tǒng)等檢測時間可能大于維修時間的情況，還有待進一步研究。