基于三支決策的形式概念分析、粗糙集與粒計算

姚一豫，祁建軍，魏 玲

(1.加拿大里賈那大學 計算機系,里賈那,S4S 0A2;2.西安電子科技大學 計算機學院，陜西 西安 710071；3.西北大學 數學學院,陜西 西安 710127)

在知識發(fā)現研究領域,近年來產生了很多有效的理論與方法,無論是理論研究還是應用研究,都有很多好的成果。比較熱門的幾個理論當屬三支決策、粗糙集、形式概念分析與粒計算。其中,三支決策與粒計算更強調方法性與思想性,而粗糙集與形式概念分析則研究較為具體的工具。

在大家所熟知的二支決策模型中,一般僅考慮接受與拒絕兩種選擇:不接受等同于拒絕,不拒絕等同于接受。但在實際應用中往往并非如此。Yao提出的三支決策理論(Three-way decisions,3WD)為此種情況提供了一個不同于接受與拒絕的第三種選擇:不承諾[1-3]。

三支決策最初的思想是一種基于接受、拒絕和不承諾的三分類。其目標是將一個論域分為兩兩互不相交的3個部分,這3個區(qū)域在一個具體的決策問題中可以分別被看作是接受域、拒絕域和不承諾域。相應于這3個區(qū)域,可以建立三支決策規(guī)則。

進一步研究表明,三支決策有更廣義的解釋和理解。三支決策是三元或三值思維,采用3個選項,從而走出了經典的二值、二元或兩極思維的圈子和制約,使我們能將對/錯、好/壞、黑/白、左/右、上/下、過去/將來等擴展為對/中/錯、好/中/壞、黑/灰/白、左/中/右、上/中/下、過去/現在/將來等。

事實上,我們在日常生活中經常會用到三支決策的思想與方法。比如,人事管理中的老、中、青3個梯隊;對某種觀點的接受、拒絕和中立的態(tài)度;投票中的贊成、反對和棄權選項;按照短期、中期和長期目標制定計劃;醫(yī)療中關于治療、進一步觀察或者放棄治療的決定;論文評審過程中接收、拒稿或者返修再審等等。這些不勝枚舉的例子說明,人類認知與解決問題常常依賴于這樣的三分類方法。因此,三支決策的思想早已為大家所認可,且被非常自然地廣泛應用于許多研究領域。到目前為止,三支決策研究的主流是構建理論和數學模型、探索三支方法和應用[2-11]。廣義三支決策的主要思想是以三為本,基三思維,用三而治, 是基于“三”的思維方式、問題求解方法和信息處理模式,是三元論和三分法。

粗糙集理論(Rough set theory,RS)是波蘭數學家Pawlak于1982年提出的一種分析數據的數學理論,用于分析不可定義概念及其近似[12],是一種研究和處理不精確(imprecise)、不一致(inconsistent)、不完整(incomplete)等各種不完備信息的有效的數學工具。1991年Pawlak關于粗糙集的第一部專著的問世,標志著粗糙集理論及其應用的研究進入了活躍時期[13]。

粗糙集在處理不確定性和不精確問題方面都推廣了經典集合論,可以用來描述知識的不完備性。從知識描述的方法上來看,粗糙集理論研究可定義概念(即可描述集合)和不可定義概念,通過一對可定義概念給出一個不可定義概念的上、下近似;從集合中對象間的關系看,粗糙集強調的是集合對象間的不可分辨;從研究對象的角度看,粗糙集研究的是不同類中的對象組成的集合之間的關系,重在分類[14-18]。

形式概念分析理論(Formal concept analysis,FCA)是德國數學家Wille于1982年為構建格理論應用語義而提出的[19]。自1982年第一篇論文問世,到1999年第一本專著出版,標志著形式概念分析理論的初步完善[20]。

形式概念分析理論從限定一個“背景”開始,給出對象集合與屬性集合的元素之間的二元關系,即所謂的“形式背景”;進而,用集合論的語言描述和建造概念,包括基本的導出算子、內涵與外延、形式概念、概念格等。該方法將“概念格”作為基礎,討論在背景和概念層次分析的框架下,如何來研究格的結構與表示理論。

形式概念分析理論最根本的貢獻和核心是對概念的數學化和形式化的描述,以及以此為基礎形成的格結構。形式概念分析近年來的發(fā)展無論在理論還是在應用上都有了自己的一套方法,成為了一個新的有影響力的研究方向。近年來形式概念分析蓬勃發(fā)展的趨勢離不開其他相關理論的支撐和互補,比如粗糙集、粒計算、模糊集等[21-27]。形式概念分析已經應用到諸如信息檢索、語義Web、知識工程等很多領域。

粒計算(Granular computing,GrC)是 1997年由模糊數學之父Zadeh與林早陽教授提出的一個概念[28],目前尚無明確的定義,不同的研究者對這個概念及其相關研究領域有不同的理解。但是,一個公認的觀點是:粒計算是一種看待客觀世界的世界觀和方法論,其主要思想是采用粒度思想解決復雜問題,把復雜問題抽象、劃分,從而轉化為若干較為簡單的問題的求解過程的理論、方法、技術以及工具等多個方面[29-36]。

實際上,粒就是指一些個體通過相似關系、鄰近關系或功能關系等所形成的塊。這種獲得粒的過程就是信息粒化。?；?是問題空間的一個劃分過程,它可以簡單理解為在給定?；瘻蕜t下(如等價關系)的一個分層的過程,是粒計算的基礎。通過粒化,我們可以得到問題空間的層次內部、以及層次之間的結構。我們平日所說的分門別類、化整為零的思想,就是粒計算思想的一種體現。

本文針對知識發(fā)現領域中目前流行的FCA,RS以及GrC三種理論與方法,從三支決策的角度對它們的思想進行提煉和分析,并揭示它們之間的聯系。

1 三支決策研究方法

三支決策的主要思想是3分而治,是將一個整體分為3個部分,并采用有效的策略處理這3個部分,即三分與治略。

三分而治中“三”的選擇是基于心理學和認知科學的一個重要結論。早在1956年,Miller的研究顯示,由于受到短期記憶的限制,我們每個人只能處理7個單元左右的信息[37]。三劃分給出的7個單元恰好符合Miller的結論。而較新的腦科學研究也顯示,人的信息處理局限于4個單元左右的信息[38]。因此,三支決策采用三劃分有其認知基礎。

具體來講,三分是指基于特定的方法與目標將整體劃分為3個互不相交的部分,也稱為3個域,3個域合起來給出了整體的“三劃分(tri-partition)”。根據各個問題的不同特點,可以采用不同的三分法。這種對整體的三分也可以看作是從整體到局部,從大粒度到小粒度,從宏觀到微觀的轉換。即,將復雜問題轉化為3個規(guī)模較小的問題。治略則是指根據三分的結果,有針對性地設計策略和實施行動,解決3個小問題,從而提高決策質量,減少決策成本,降低決策時間,以期達到某種收益的最大化或者代價的最小化。治略的前提是三分的結果必須有意義,這樣才有可能設計有效的措施和方法;而治略則體現了三支決策中的“方法和策略”。圖1給出一個三分而治的三支決策模型[4]。

圖1 三分而治的三支決策模型Fig.1 Trisecting-and-acting model of three-way decisions

三支決策的思想給出一個基于三元素的三角形研究方法。我們將一個研究領域或學科進行三劃分,把3個部分想象成一個三角形的3個頂點,于是,這三者之間的關系可以形成一個有機的系統(tǒng)“三點,三線和一面”,如圖2所示。在點層,研究3個相互獨立的點A,B和C。在線層,研究兩兩相關的點組成的3條線AB,AC和BC。在面層,研究3個相關點和三條線組成的一個三角形面ABC。這樣,三劃分A,B,C給出了7個不同的側重點或主題。由簡到難,由局部到整體,由相對獨立的點到相關聯的線和面。

圖2 點-線-面的三層研究方法Fig.2 A three-level research method based on individual,pair,triplet analysis

用三支決策的思想去研究和分析一種理論或者行為,將會對我們起到指導作用。本文采用基于三支決策的研究方法,將形式概念分析、粗糙集分析和粒計算這3種知識發(fā)現理論看作為一個三角形的3個頂點,系統(tǒng)地探討它們所用到的三支思想和方法,以及3種理論的關系。

2 形式概念分析中的三支思想與方法

2.1 FCA三角形

如前所述,FCA理論最基礎的概念就是形式概念,是對哲學中“概念”這一名詞的形式化描述。因此,一個形式概念的名稱或者符號,以及內涵與外延就形成了FCA理論中最基本的概念三角形,而內涵與外延是建立在潛在的形式背景基礎上的。這個關系反映在圖3中。

圖3 FCA中的概念三角形Fig.3 Concept triangle in FCA

符號是這個概念的表達方式;對象是概念反映的個體,即外延;而屬性就是與對象相關的特征與描述,即內涵。這種描述方式與Peirce符號論中的符號三角形相一致[39]。

2.2 FCA基本理論

FCA的數據基礎是一個形式背景(U,A,I),其中,U是對象集,A是屬性集,I是U與A之間的二元關系。

在對象子集X?U和屬性子集B?A上可以定義一對對偶算子:

X*={a|a∈A,?x∈X,xIa}，

B*={x|x∈U,?a∈B,xIa}。

X*表示X中所有對象共同具有的屬性集合,B*表示共同具有B中所有屬性的對象集合。

如果一個二元對(X,B)滿足X*=B,且B*=X,則稱(X,B)是一個形式概念,簡稱概念。其中,X稱為概念的外延,B稱為概念的內涵。用L(U,A,I)表示形式背景(U,A,I)的全體概念，(X1,B1)和(X2,B2)是概念,記(X1,B1)≤(X2,B2)?X1?X2(?B1?B2)，則“≤”是L(U,A,I)上的偏序關系。且

(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∪B2)**),

(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)**,B1∩B2)

也是概念,從而L(U,A,I)是格,并且是完備格。概念格可以用哈斯圖直觀刻畫。

例1表1是一個形式背景(U,A,I),其中,對象集U={1,2,3,4},屬性集A={a,b,c,d,e}。如果對象與屬性有關,就在對象行與屬性列的交叉處用1標記,否則,用0標記。其概念格如圖4所示。形式概念(24,abc)表示對象2與4共同具有的屬性是a,b和c,而共同具有這3個屬性的對象也恰為2和4。

表1 形式背景(U,A,I) Tab.1 A formal context (U,A,I)

圖4 例1的概念格Fig.4 The concept lattice of Example 1

2.3 三支概念

Wille在形式背景基礎上給出的形式概念我們可以稱之為經典概念,因為這種概念最早、也最為純粹的用形式化的方式反映了概念的哲學語義,即內涵與外延的統(tǒng)一,完美地以數學的形式表現出了哲學當中的概念。

但是,盡管形式概念反映了內涵與外延之間的統(tǒng)一、彼此擁有的共存特點,但是直觀上還有一種信息沒有反映出來,即作為外延的對象集所共同不具有的屬性。而這也是一種“共性”。

針對一個對象集X?U而言,若同時考慮共同具有的屬性X*和共同不具有的屬性X’,就會很自然將屬性全集分為3部分:X*,X’,以及A-X*-X’。而這種分解方式恰好對應了三支決策思想的三分。于是,將三支決策思想非常自然地引入FCA理論,Qi等提出了三支概念分析這一新的研究領域[40-41],給出了一種新形式概念及其格結構。

三支概念分析的基本概念是三支概念以及三支概念格。按照從對象出發(fā),將屬性集三分的理念,可定義對象導出三支概念和對象導出三支概念格;對偶地,按照從屬性出發(fā),將對象集三分的角度,又可定義屬性導出三支概念和屬性導出三支概念格。

圖5是例1的對象導出三支概念格。下面以概念(13,(d,c))為例解釋對象導出三支概念的語義。該概念表明:對象1與3共同具有的屬性是d,共同不具有的屬性是c,而共同具有d同時共同不具有c的對象也恰為1與3,而 {c}∪j5i0abt0b 的補集中的屬性則是對象1與3具有差異的屬性。所以,該三支概念清晰、完整、準確地反映了一個對象子集的共性(包括正面的和負面的兩種共性)與差異性。

圖5 例1的對象導出三支概念格Fig.5 The object induced three-way concept lattice of Example 1

圖6是例1的屬性導出三支概念格,其中概念的解釋與對象導出三支概念類似,只不過是從屬性角度出發(fā),考慮一個屬性子集被對象集共同具有以及共同不具有的情況。

圖6 例1的屬性導出三支概念格Fig.6 The attribute induced three-way concept lattice of Example 1

2.4 部分已知概念

形式概念與三支概念都是在完備形式背景的基礎上獲取的,但是我們更多面對的是信息不完整或者不明確的不完備形式背景。部分已知概念(partially-known FC)的提出很好地解決了這一類不完全數據的概念分析問題。

Burmeister 和Holzer 將不完備形式背景定義為一個四元組K=(U,A,{+,?,-},J),其中J是一個三元關系J?U×A×{+,?,-},具體解釋如下[42]:

(o,a,+)∈J:已知對象o具有屬性a,

(o,a,-)∈J:已知對象o不具有屬性a,

(o,a,?)∈J:對象o是否具有屬性a未知。

不完備背景把對象與屬性之間的關系設置為3種:確切的具有,確切的不具有,以及未知。這種原始的三分關系很自然地將三支決策思想應用其中,因而進一步分析時,必將需要使用三支決策理論與思想。

不完備背景是完備背景的一種擴展,完備背景則可以看作是特殊的不完備背景,即,不含有“?”的不完備背景。表2是一個不完備背景的例子。

在不完備背景中,無法用形式概念分析中的常規(guī)導出算子獲得一個對象集共有的屬性或者共有某些屬性的對象集。根據三元關系的解釋,Burmeister與Holzer將形式概念分析中常規(guī)的導出算子擴展為模態(tài)形式的導出算子[42],Yao在此基礎上,引入不完備背景的完備化思想,利用區(qū)間集理論,給出了部分已知概念的外延和內涵的區(qū)間-集合表示[43-44]。

表2 不完備背景(U,A,{+,?,-},J)Tab.2 An incomplete formal context (U,A,{+,?,-},J)

假設概念的形式依然是二元對(外延,內涵),那么根據外延與內涵為經典集或者區(qū)間集可以得到四種不同的概念,其關系如圖7所示。

圖7 四種部分已知概念Fig.7 Four kinds of partially-known concepts

SE-ISI 概念最初由Li等提出[45],其外延是經典集合,而內涵是區(qū)間集,它反映的信息是:從外延出發(fā),對概念涵蓋的對象有精準的認知,對內涵卻只了解大概。而ISE-SI 概念則與之相反,強調的是從內涵的角度去認知,對內涵的把握是準確的,得到的外延只是大概的了解,所以內涵是精確集而外延是區(qū)間集。最精確的概念莫過于SE-SI 概念,無論外延還是內涵,都是精確的,二者之間有強烈的依賴關系,相互反映相關信息。形式概念就是SE-SI 概念最好的例子。而最粗略的概念當屬ISE-ISI 概念,無論外延還是內涵,都是不夠精確的,需要用區(qū)間集來刻畫。

例如,圖8與圖9即分別是表2所示不完備背景的SE-ISI概念形成的概念格以及ISE-SI概念形成的概念格。

圖8 表2的SE-ISI概念格Fig.8 The SE-ISI concept lattice of Tab.2

圖9 表2的ISE-SI概念格Fig.9 The ISE-SI concept lattice of Tab.2

3 粗糙集中的三支思想與方法

粗糙集理論的數據基礎是信息系統(tǒng)。

定義1稱(U,A,F)為一個信息系統(tǒng),其中非空集合U={x1,x2,…,xn}為對象集,每個xi(i≤n)稱為一個對象;非空集合A={a1,a2,…,am}為屬性集,每個aj(j≤m)稱為一個屬性;F={fj|fj:U→Vj,j≤m}為U和A的關系集,Vj為屬性aj的值域。

RB={(xi,xj) |fl(xi)=fl(xj),?al∈B}

是U上的一個等價關系,從而產生U上的一個劃分。

例2表3所示的信息系統(tǒng)中,對象集U={x1,x2,x3,x4,x5},屬性集A={a,b,c,d}。依據上述等價關系,U上的等價類有4個:{x1},{x2,x5},{x3}和{x4}。

表3 信息系統(tǒng)(U,A,F)Tab.3 An information system (U,A,F)

針對一個數據集,按照某種等價關系R建立的分類是粗糙集理論的研究基礎。每個類,以及可以表示為某些類的并的那些集合被認為是一個精確概念,是可以被定義的。除此之外的集合都是不可被定義的。但是,粗糙集理論可以給出這些不可定義的集合或者概念的一種近似表示。

于是,關于粗糙集理論的基本思想,還有一種等價的理解方式。即,粗糙集理論用正域(下近似)、負域和邊界域三個兩兩互不相交的區(qū)域近似一個不可定義概念X。事實上,這3個域恰好把整個論域分為了3個部分。而這又恰好對應了三支決策最基本的三分思想。因此,粗糙集是三支決策理論的模型之一。

圖10給出了粗糙集理論中最基礎的概念與思想的簡單刻畫。

圖10 粗糙集基本概念圖示Fig.10 Basic notions in theory of rough sets

4 粒計算中的三支思想與方法

4.1 粒計算三角形

作為一個新的學科,粒計算是基于多粒度的問題求解的理論、方法、技術和工具。自1997年Zadeh[28]首次提出了粒計算這一思想以來,越來越多的學者將目光投向了粒計算的研究[30-32]。

粒計算是基于粒結構的計算。三元思維可以用來解釋和描述粒結構,即,一個粒結構由粒、層和層次結構三大元素組成。基于三元思維,可以將粒計算研究分為3個部分,從哲學,方法以及機制3個方面對粒計算進行刻畫,給出粒計算三元論[31,35]。粒計算三元論對多種粒計算方法進行了合成,形成了粒計算的一個統(tǒng)一框架。

粒計算三元論可以用一個三角形來描述,如圖11所示。三角形的3個頂點分別表示粒計算哲學、方法和機制。每一個方面既影響著其他兩個方面又被其他兩個方面所影響,故而并沒有十分清晰的界限。3個部分交織在一起提供了一個完整的粒計算框架。

圖11 粒計算三角形Fig.11 Granular computing triangle

4.2 粒與概念

一個?？捎?個元素共同刻畫:粒的名稱,粒的描述以及粒中的實體。粒的描述就是粒的表示方式,在我們的研究中可以是一個邏輯公式;粒中的實體就是一族形成這個粒的對象;粒的名稱就是可以方便指代這個粒的一個標簽。

定義2稱三元對(g,i(g),e(g))為一個粒,其中g為粒的名稱,i(g)為粒的一種描述,e(g)為粒中的實體的對象集。

該描述簡潔的反映了由粒的三大要素所構成的粒三角形。值得注意的是,在許多情形下,i(g) 和g是相同的,并不刻意加以區(qū)分。而此形式與FCA三角形(見圖3),以及FCA中形式概念的描述本質上幾乎是相同的。

粒計算是基于由不同粒所構成的粒結構的信息處理。粒結構的一個簡單的例子就是劃分。論域的劃分實際上就是論域的一種分類,每一個分好的塊或者類代表一個概念的外延。這些塊就可以當作同一層的粒來考慮。所以,從劃分的角度講,同一層的粒(塊)是兩兩不相交的。

對同一個論域進行的不同劃分之間可以定義粗細關系,也就是不同劃分的塊之間的大小關系。利用這種關系可以建立一個論域的多層次粒結構。比如,針對一個論域有兩種粗細不同的劃分,就可以看作兩個層次,兩種劃分意味著可以從兩個不同的層次水平分析數據。處于同一個層次內部的粒之間是兩兩不相交的,分屬于兩個不同層次的粒之間或包含或不相交;同層粒度對數據分析的作用是類似的,不同層的粒度分析則起到互補的作用。因此,形成了既有平面又有立體的信息分析網絡,其分析結果相互補充說明,共同反映數據的更多信息。

5 形式概念分析與粗糙集

5.1 FCA與RS的聯系

FCA與RS是兩種不同的數據分析方法,它們從不同的側面來研究和表現數據中隱含的知識。雖然是兩種不同的理論,但從原始數據、研究內容和研究目標,以及方法論來說,它們有許多相似之處。

如前文所述,FCA與RS的原始數據分別稱為形式背景與信息系統(tǒng),其表達形式和所反映的信息類似。如果將信息系統(tǒng)的多值離散情況退化為布爾值,就相當于一個形式背景;而形式背景中關于對象與屬性之間的關系若從簡單的“具有”或者“不具有”擴展為具有信息的多個不同程度、層次,則可以看作是信息系統(tǒng)。在這種情況下,信息系統(tǒng)可以在FCA框架下稱為多值形式背景,而形式背景亦可在RS框架下稱為二值信息系統(tǒng)。

RS的基礎是等價關系(不可區(qū)分關系),這種等價關系是由屬性所決定的對象之間的二元關系,它確定了對象集上的劃分。FCA的基礎是形式概念——由對象與屬性之間的二元關系所確定,以及形式概念之間的一種有序的層次結構——概念格。

事實上,Qi,Wei和Li已經給出了RS的基本粒(等價類)與FCA的基本粒(形式概念)之間的關系問題,以及等價類與概念格之間的轉換方法[46]。因此,這兩種理論在最基礎的底層信息刻畫上的關系已經明了,這就意味著這兩種理論后續(xù)的研究方法是可以互通的。

數據基礎的相似性與基本粒的明晰關系使得FCA與RS的研究內容,以及相關問題的研究思路與方法也有很高的相似性。比如,二者在理論方面的研究均涉及相關數學性質、理論拓廣、屬性約簡、附加決策的知識獲取、規(guī)則提取,以及與其他軟計算理論的關系研究和互補研究等。

5.2 屬性約簡與屬性三分

屬性約簡是FCA與RS中比較基礎的研究方向之一,意圖尋找較少的屬性,使其能體現原始數據所反映的某項知識,最終達到降維的效果。比如,RS中經典的屬性約簡是在完備信息系統(tǒng)基礎上尋求保持分類能力不變的極小屬性集[47]。如例2信息系統(tǒng)的屬性約簡共有兩個: {a,c}和{b,c},其中任何一個對于對象全體U的分類效果皆與利用原始屬性集A進行分類的效果相同。FCA中的約簡則是尋找保持概念格結構不變的極小屬性集[22]。如例1形式背景的屬性約簡有兩個:{a,c,d}和{b,c,d},其中任何一個與對象全集做成的子背景的概念格與原始數據的概念格是同構的。

除此之外,兩種理論也考慮了完備數據情形的其他約簡,比如RS中決策表不協(xié)調時的屬性約簡問題,FCA中保持粒概念外延不變的屬性約簡,以及保持交(并)不可約元外延不變的屬性約簡。

RS與FCA中的屬性約簡問題都可以利用差別矩陣來求解,但是差別矩陣的定義不同。RS中,差別矩陣是從其基本?！葍r類的角度出發(fā),尋求任何兩個等價類之間的差異來獲取差別屬性集以及相應的差別矩陣。FCA中,差別矩陣是從其基本?！问礁拍畹慕嵌瘸霭l(fā),尋求任何兩個形式概念之間的差異,進而獲取差別屬性集以及相應的差別矩陣。

屬性約簡引發(fā)的一個非常自然的問題是:屬性分類問題。因為有的屬性被剔除,有的則被保留。而被留下的這些屬性其實也存在著重要性的差異。

RS的數據是以對象集、屬性集、以及二者之間函數關系形成的信息系統(tǒng)為基礎的,而知識的分類主要是用屬性來表達。事實上,各個屬性在表達知識分類中的作用是不同的。有些屬性是絕對不必要的,去掉這些屬性,并不會影響以分類為目的的知識發(fā)現過程與結果;有些屬性是絕對必要的,去掉這些屬性必然會影響到知識的發(fā)現;而有些屬性是相對必要的,它必須與所有絕對必要屬性搭配起來才不影響知識發(fā)現。因此,Wei等將信息系統(tǒng)中的屬性自然而然分成三類[48],即,絕對不必要屬性,絕對必要屬性,也稱核心屬性,以及相對必要屬性。這就是屬性的三分類問題。比如,例2信息系統(tǒng)的4個屬性中,c是核心屬性,a與b是相對必要屬性,d是絕對不必要屬性。

FCA中亦是如此,只不過FCA中我們更強調的是屬性對于格結構的形成與維持所起的作用。比如,例1形式背景中,c與d是核心屬性,a與b是相對必要屬性,e是絕對不必要屬性。

通俗來講,屬性根據所研究問題的性質可以被分為3類:核心屬性,相對有用屬性,無用屬性。

6 形式概念分析,粗糙集及粒計算

將GrC的思想融入FCA與RS的研究是目前知識發(fā)現領域的一個重要研究方向。

一般來說,一個具體模型中的粒是跟模型所描述的方式和所要研究的問題有關的。RS中的基本粒非等價類莫屬。依據屬性取值情況把對象分為一些等價類,一個等價類刻畫一類相同的事物,這自然形成一個塊。利用這個粒,可以將任何一個集合的上下近似刻畫出來,從而對該集合有近似描述。前面第3節(jié)關于粗糙集的描述中,可以把所有“等價類”都換成“?！眮砝斫夂徒忉尅?/p>

FCA中最基本的粒是形式概念;從構造上來看,對象概念與屬性概念也是一種粒;從格結構上看,交、并不可約元也是一種粒?？梢?FCA中基本的粒比較多,這些多層次多視角的粒度,形成一個網絡,從不同的層面反映形式背景及其概念格的信息。Qi等[49]從對象與屬性兩個不同角度對應給出五種粒,有單一的對象/屬性集,也有(對象,屬性)二元對,并層層遞進,引出普通形式概念和子格作為高層次的粒。這些粒從不同的角度和層次反映了FCA中有關導出算子、概念格結構等的信息。

從粒反映的信息來看,RS中的粒信息較為單調、簡單,因為僅用屬性值做參考標準來考慮對象集的劃分;而FCA中的每一種不同粒都同時考慮屬性與對象的對應關系,更為詳細深入。

7 結 語

3WD,GrC與FCA,RS是目前知識發(fā)現與不確定性分析領域中非?；钴S的4個研究方向。3WD是一種廣泛適用的研究思想與方法,可以為很多具體的問題與模型提供研究框架。FCA與RS是兩個具體的模型,它們有各自的描述與解釋,涉及具體的研究內容。GrC則兼有思想與模型兩個特點,可以為人們提供一種很好的處理問題的研究方法,也具有一些簡單的模型;但思想性不如3WD宏觀與廣泛,模型不如FCA與RS具體。但是,這些理論從不同的角度對我們所掌握的數據、所面對的世界進行描述、解釋和分析,得到很多不同的結論,進一步指導我們的科研工作與生活。

這些理論所涉及的研究熱點與分支很多,絕不是這一篇文章可以解釋清楚和完善的。我們僅在此文中嘗試用三支決策的思想來解釋另外3種理論,剖析它們之間的聯系。要想更為細致地分析透徹它們之間的關系,還需要做很多更深入的工作。