在階梯式猜想中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

周春芝 徐花

【摘要】新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。猜想不是不切實際的胡思亂想，而是有根據(jù)的想象，所以既要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，又要引導(dǎo)學(xué)生小心驗證。在循序漸進式的猜想中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括出規(guī)律，從本質(zhì)上把握規(guī)律的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】猜想 驗證 數(shù)學(xué)模型

近日有幸參加一個培訓(xùn)活動，聆聽了一位名師執(zhí)教的《釘子板上的多邊形》一課，對執(zhí)教者循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想—操作驗證—構(gòu)建模型—應(yīng)用拓展”的探究過程印象深刻，并由此引發(fā)了筆者的一些思考。

猜想一：圍成的面積跟什么有關(guān)？

（出示三個長方形）師：圍成圖形的面積與什么有關(guān)？

學(xué)生通過觀察計算，一致認為：長方形面積越大，邊上釘子數(shù)越多（n）。

生（齊）：與邊上釘子數(shù)有關(guān)系。

師：能具體說一說嗎？

生：圍成長方形的釘子數(shù)越多，這個長方形的面積（S）就越大；反之，就越小。

師：同學(xué)們都同意這樣的觀點嗎？

生（眾）：同意。

出示第二組圖形：

學(xué)生再次通過觀察、數(shù)一數(shù)、算一算等活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：通過這組圖形的觀察和計算，你覺得你們的猜想怎么樣？

生：不正確，三個圖形邊上都是4枚釘子，但面積卻不相等。

師：那么在剛才的猜想過程中，你們忽視了什么沒有考慮？

生：雖然它們邊上的釘子數(shù)相等，但里面的釘子數(shù)卻不相同。

師：能修改一下剛才的猜想嗎？

生：多邊形面積大小不僅與圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和里面的釘子數(shù)有關(guān)。

猜想二：究竟有什么關(guān)系呢？

師：那么，這三者之間究竟有什么樣的關(guān)系呢？我們可以從簡單的問題開始入手，先從圖形內(nèi)有一枚釘子的研究起。

出示第三組圖形：

學(xué)生數(shù)一數(shù)、算一算并填寫表格。

師：觀察表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)只有一枚釘子時，多邊形面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？

生：多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積數(shù)的兩倍，多邊形面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的一半。

師：前面，我們學(xué)習(xí)了《用字母表示數(shù)》，如果多邊形面積用字母“S”表示，邊上的釘子數(shù)用字母“n”表示，里面的釘子數(shù)用字母“a”表示。當(dāng)a=1時，你能用字母表示出多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？

生：n=2S。

師：還可以怎樣表示？

生：S=n÷2。（板書）

師：看，用字母表示多簡潔！下面請同學(xué)們自己動手在點子圖上畫幾個里面有2枚釘子的多邊形，用剛才的方法研究一下，此時多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)又有什么樣的關(guān)系？（學(xué)生獨立開展操作研究）

匯報：

師：再次觀察表格中的數(shù)據(jù)，說一說你發(fā)現(xiàn)“多邊形面積”和“多邊形邊上的釘子數(shù)”之間又有什么關(guān)系？

生：n=2S-2。

師：能不能統(tǒng)一下格式，像剛才一樣用含有除法的字母公式表示。

生：S=n÷2+1。

師：為了便于觀察，我統(tǒng)一下關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，剛才S=n÷2，我把它改寫成S=n÷2+0的形式。這時你能大膽猜一猜，當(dāng)a=0時，S和n會有怎樣的關(guān)系？

生：當(dāng)a=0時，S=n÷2-1。

師：當(dāng)a分別等于3、4、5時，S和n又有怎樣的關(guān)系呢？

生1：當(dāng)a=3時，S=n÷2+2。

生2：當(dāng)a=4時，S=n÷2+3。

生3：當(dāng)a=5時，S=n÷2+4。

師：這只是根據(jù)剛才兩個歸納出的關(guān)系式而做出的一種大膽猜測，那么我們的猜測是否正確，還需要……

生：（眾）驗證。

師：正好，我們有4個小組，分工合作每個小組各驗證一種情況。

匯報：（略）

猜想三：有什么規(guī)律可循？

師：a可以代表任何自然數(shù)，我們不可能把所有的情況都一一研究并加以驗證，而是通過從已獲得的簡單現(xiàn)象入手，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和現(xiàn)象。

師：請你觀察這些字母公式，并做一個大膽的猜測，當(dāng)a=m時（m為任意自然數(shù)）多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)會有怎樣的關(guān)系，你還能用字母公式表示出來嗎？

生：S=n÷2+（m-1）。

師：這個關(guān)系是否成立，其實數(shù)學(xué)家早就通過數(shù)學(xué)推理證明它是正確的。（介紹“皮克定理”等）

師：現(xiàn)在你能用發(fā)現(xiàn)規(guī)律來解決本節(jié)課開始的這個不規(guī)則圖形的面積嗎？

生：能。

……

案例反思：

牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)明?！睌?shù)學(xué)猜想是研究科學(xué)方法論的豐富源泉，也是數(shù)學(xué)探究活動的基本方式。它要求思維主體（學(xué)生）依據(jù)已知的事實和數(shù)學(xué)知識，對研究的數(shù)學(xué)問題進行觀察、比較、歸納、類比、聯(lián)想后，對未知的量和關(guān)系做出的一種猜想和判斷。波利亞也曾說過：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負責(zé)任的態(tài)度?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。在平時的教學(xué)過程中，我們過多強調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴謹性和邏輯性，這本身沒有錯，但不應(yīng)忽視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，否則會導(dǎo)致學(xué)生想象力和創(chuàng)造力欠缺。因此在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，要有意識、有計劃、有步驟地培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力。這節(jié)課中，執(zhí)教老師就給我們做了很好的示范。

一、猜想需要指引

數(shù)學(xué)探究活動，以問題為核心，學(xué)習(xí)任務(wù)具有一定的挑戰(zhàn)性，探究能充分調(diào)動學(xué)生的好奇心和求知欲。但是學(xué)生受已有知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗和操作技能等因素的限制，不能像數(shù)學(xué)家那樣在紛繁復(fù)雜的問題情境中，及時捕捉、分辨、篩選出制約問題解決的相關(guān)因素和變量信息，從而提出一些科學(xué)的猜想。這就需要教師充分發(fā)揮好組織、點撥、引導(dǎo)、調(diào)控的作用，幫助學(xué)生不斷調(diào)整、修正、完善自己的數(shù)學(xué)猜想，從而讓學(xué)生找到猜想的正確方向，為數(shù)學(xué)探究活動成功開展奠定堅實的基礎(chǔ)。這就需要教師在平時的教學(xué)過程中不斷為學(xué)生的探究活動搭建各種形式的“階梯”，讓學(xué)生的探究活動得以拾階而上，最終到達成功的殿堂。案例中，當(dāng)教師先出示第一組圖形時，學(xué)生通過觀察、數(shù)一數(shù)、算一算等數(shù)學(xué)活動得到第一個初步的猜想：圍成的多邊形邊上釘子數(shù)決定多邊形面積的大小，而沒有關(guān)注圖形內(nèi)的釘子數(shù)也是制約圖形面積大小的關(guān)聯(lián)因素。當(dāng)然這樣的猜想結(jié)果是受制于學(xué)生感知能力和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的必然結(jié)果。這時教師沒有立即否定學(xué)生的猜想，而是出示第二組多邊形，讓學(xué)生用剛才習(xí)得的學(xué)習(xí)方法再次觀察、比較。學(xué)生這時發(fā)現(xiàn)：這組三個圖形邊上的釘子數(shù)雖然相同，但是面積卻不相同，是因為剛才忽視了圖形內(nèi)釘子數(shù)的原因。這樣的教學(xué)是學(xué)生自我反思、自我否定、自我調(diào)整、自我完善的過程。反之，如果上述過程中教師不積極介入，學(xué)生就會僅局限于問題解決的單一制約因素，從而得不到全面、科學(xué)的數(shù)學(xué)猜想，后面的探究活動縱然投入更多時間和精力也是枉然。

二、猜想需要驗證

提出科學(xué)的猜想只是邁向成功的第一步，更重要的是對提出的猜想或判斷進行驗證。經(jīng)過驗證，也許有些猜想是正確的，那么就成為定理、公理、公式，并且在以后的判斷和推理、問題解決時直接拿來應(yīng)用。但有些猜想經(jīng)過驗證后判為錯誤，抑或還有一些數(shù)學(xué)猜想暫時受某種因素的制約，還需要進一步驗證和完善。總之，引導(dǎo)學(xué)生開展驗證活動是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴謹、客觀、公正的治學(xué)態(tài)度的良好契機。案例中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，有計劃、有目的、有針對性地開展驗證活動，當(dāng)圍成圖形內(nèi)釘子數(shù)是1或2時，學(xué)生通過畫圖、數(shù)一數(shù)、算一算等思維活動驗證上述關(guān)系式的正確性。然后學(xué)生根據(jù)已有的兩個關(guān)系式之間的聯(lián)系，猜想出當(dāng)圖形內(nèi)釘子數(shù)是0、3、4、5時又具有什么類似的關(guān)系式。這時學(xué)生給出的關(guān)系式?jīng)]有經(jīng)過驗證，當(dāng)老師說：“那么，我們的猜想是否正確，還需要……”學(xué)生立即意識到：空口無憑，還需要驗證，并分工合作驗證不同情況的關(guān)系式。最后的公式：當(dāng)a=m（m為任何自然數(shù)）時，S=n÷2+（m-1），由于受知識水平和時間的限制，學(xué)生沒有親自驗證，但是教師此時介紹國內(nèi)外數(shù)學(xué)家就此問題研究的結(jié)果，并告知學(xué)生你們的終極猜想是正確的，是經(jīng)過數(shù)學(xué)家嚴密論證過的，可以放心使用。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的體驗是深刻的、經(jīng)驗是豐富的、情感是積極的。如果我們有意識地讓學(xué)生長此以往經(jīng)歷這樣完整的探究過程，這對學(xué)生探索精神和創(chuàng)造能力的提升大有裨益。反之，即使學(xué)生通過驗證發(fā)現(xiàn)自己的猜想是錯誤的，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的挫折感和堅強的意志品質(zhì)。畢竟，數(shù)學(xué)探究的道路并不總是一帆風(fēng)順的，更多的是充滿了坎坷和荊棘。

三、猜想需要提煉

概括規(guī)律并選擇適當(dāng)?shù)男问奖硎境鰜?，是探索?guī)律的點睛之筆。概括出規(guī)律是認識客觀對象的標(biāo)志，如果能正確概括出一類對象的規(guī)律，就準(zhǔn)確把握了這類對象的本質(zhì)特點。概括規(guī)律是發(fā)展思維的極好機會，把一類對象里的規(guī)律，由表及里，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象地表示出來，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到有效鍛煉和提高。當(dāng)學(xué)生用一個個含有字母的式子表示出多邊形面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系時，學(xué)生的思維水平就已經(jīng)得到了一次提升，已經(jīng)初步經(jīng)歷了算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變的過程。然而執(zhí)教老師并沒有止步于此，而是讓學(xué)生觀察自己的板書。

當(dāng)a=0時，S=n÷2-1；當(dāng)a=1時，S=n÷2+0；當(dāng)a=2時，S=n÷2+1；當(dāng)a=3時，S=n÷2+2；當(dāng)a=4時，S=n÷2+3；當(dāng)a=5時，S=n÷2+4。

學(xué)生看到這些有著相似結(jié)構(gòu)的關(guān)系式時，他們的思維再次被點燃。心中油然而生出再次歸納、提煉的強烈沖動，把上述眾多關(guān)系式合并成一個“以一馭萬”的終結(jié)式子。這時，教師一句：我們不可能把所有的情況都做一一研究并加以驗證，而是通過從已獲得的簡單現(xiàn)象入手，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和現(xiàn)象。猶如火星掉落到干柴上，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維再次被激活。當(dāng)教師說出：當(dāng)a=m（m為任意自然數(shù)）時，學(xué)生水到渠成地提煉出：S=n÷2+（m-1）。這樣的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生既經(jīng)歷了從微觀上析理，又體驗到在宏觀上觀察整體結(jié)構(gòu)。做到了既見樹木，又見森林。

總之，數(shù)學(xué)猜想作為一種直覺思維以及由此表現(xiàn)出的敏銳意識，可以幫助學(xué)生從繁雜現(xiàn)象中迅速捕捉各種有價值的數(shù)學(xué)信息，同時也有利于提高學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新思維能力。這些能力的獲得，需要教師長期引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的探究學(xué)習(xí)過程，這樣學(xué)生的猜想能力才能有質(zhì)的飛躍。？筻