數(shù)學(xué)思維美的特征分析與教學(xué)思考

王福忠

（福州第四中學(xué)，福建 福州 350009）

所謂數(shù)學(xué)美感，主要是指因領(lǐng)悟到某種數(shù)學(xué)對象的內(nèi)在實(shí)質(zhì)而產(chǎn)生的愉悅感、滿足感等。相應(yīng)地，能使人產(chǎn)生這種美感的數(shù)學(xué)對象就稱其具有數(shù)學(xué)美。［1］數(shù)學(xué)外在的形式能給人美感，如簡單、對稱、和諧、奇異，這些都是數(shù)學(xué)外在形式美的存在。數(shù)學(xué)思維的過程也能給人愉悅和滿足感，這種數(shù)學(xué)思維活動給人的美就是思維之美，是一種數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。數(shù)學(xué)工作者通過數(shù)學(xué)思維活動，應(yīng)用思維策略和已有數(shù)學(xué)理論，解決數(shù)學(xué)問題，得到新的數(shù)學(xué)理論，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思維結(jié)果，這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)的美好體驗(yàn)是伴隨思維活動過程而產(chǎn)生的。

一、引發(fā)美感的數(shù)學(xué)思維活動的特點(diǎn)

在數(shù)學(xué)思維活動有時(shí)能給人帶來美感，有時(shí)則不能給人帶來美感。數(shù)學(xué)思維活動中思維美感產(chǎn)生往往是以對思維過程的認(rèn)知為基礎(chǔ)，在思維活動中或?qū)λ季S過程的反思中產(chǎn)生。所以，能引發(fā)美感的數(shù)學(xué)思維活動具有一定的特點(diǎn)。

1.創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)審美是一個(gè)實(shí)踐的過程，數(shù)學(xué)家能深刻地感受到數(shù)學(xué)美，不僅是因?yàn)樽匀挥钪娲嬖谥溃匾氖且驗(yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造心理中存在著靈感、頓悟、自由的心境和深邃的思想。［2］數(shù)學(xué)思維美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的思想創(chuàng)造，它突破常規(guī)，或者突破原有思想，產(chǎn)生了認(rèn)識和解決問題的新思想。如高斯計(jì)算“1+2+...+100”的和，按照常規(guī)的想法，是按從左到右的運(yùn)算法則，兩個(gè)數(shù)相加，加99次得到結(jié)果。而高斯突破常規(guī)，找到其中的規(guī)律，很快得到計(jì)算結(jié)果。這種突破常規(guī)的思維自然會給人美感體驗(yàn)。

2.發(fā)散性

發(fā)散思維是創(chuàng)造思維的主要成分，其主要特點(diǎn)表現(xiàn)在求異、奇特、想象豐富和不尋常規(guī)。徐利治先生給出這樣一個(gè)公式：創(chuàng)造力=知識+發(fā)散思維能力。［3］發(fā)散思維意味著多角度聯(lián)想，多方向嘗試，多維度思考，發(fā)散思維能夠揭示數(shù)學(xué)內(nèi)部的奇妙聯(lián)系，從而給人美感。如正弦定理的推導(dǎo)過程，可以用三角形法、輔助圓法、向量法等不同方法進(jìn)行推導(dǎo)，三種方法體現(xiàn)了構(gòu)建邊角關(guān)系的三種不同路徑。第一種方法通過作垂線轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用邊相等構(gòu)造等量關(guān)系；第二種方法，利用輔助圓構(gòu)造直角三角形，通過直徑相等構(gòu)造等量關(guān)系；第三種方法通過向量和的三角形運(yùn)算法則與向量數(shù)量積運(yùn)算構(gòu)造了一個(gè)等量關(guān)系。在思維發(fā)散中，學(xué)習(xí)者能體驗(yàn)到多彩多姿的創(chuàng)造思維的火花，產(chǎn)生愉悅感和滿足感。

3.邏輯性

數(shù)學(xué)是一個(gè)有序的統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)思維活動是按照某種邏輯進(jìn)行的有序活動。著名數(shù)學(xué)家龐加萊曾就一個(gè)解答、一個(gè)證明之所以優(yōu)美的原因簡單地概括為一句話，那就是井然有序、統(tǒng)一協(xié)調(diào)。［4］合乎邏輯的有序的思維能給人美感。合乎認(rèn)識邏輯的符號應(yīng)用能給人美感，如用i表示虛數(shù)單位。解決數(shù)列求和問題本質(zhì)在于分析項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)和式的化簡為目標(biāo)，在這個(gè)思維統(tǒng)領(lǐng)下，所有的求和問題都納入一個(gè)統(tǒng)一的整體。解決數(shù)列求和問題能給人美感，源于一般思考方法引導(dǎo)下思維具有的邏輯性。數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能給人帶來美感，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法強(qiáng)化了問題分析的邏輯性。

二、關(guān)于教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思維美的問題思考

1.讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程

心理學(xué)家告訴我們:在人的心理深處，都有一種根深蒂固的需求，那就是希望自己有朝一日成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者或探索者。［5］教師要努力創(chuàng)設(shè)和選擇有利于思維創(chuàng)造性發(fā)揮的問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，互相交流，留給學(xué)生足夠的時(shí)間和思考的空間，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找到解決問題的方法，享受發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的喜悅，從中體驗(yàn)創(chuàng)造之美。如，在已知橢圓與直線相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率問題中，常規(guī)的思考是設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)于斜率的方程求斜率。這種常規(guī)的思維不能給學(xué)生帶來解決問題的喜悅感。在學(xué)生完成這個(gè)常規(guī)的解答后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，還有什么解法？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提出問題，斜率與中點(diǎn)有怎樣的關(guān)系？留出足夠時(shí)間讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用點(diǎn)代入橢圓方程，兩方程相減，進(jìn)而得到中點(diǎn)與斜率的內(nèi)在關(guān)系時(shí)，喜悅感油然而生。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的習(xí)慣

在解題教學(xué)中，選擇方法多樣的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生能夠有多種選擇，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從多個(gè)角度去分析問題，通過解題后的比較取得問題的最優(yōu)解答的過程。引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)不滿足于得到數(shù)學(xué)問題的答案，要在解題后的反思中進(jìn)一步認(rèn)識問題的結(jié)構(gòu)，做好解題后的分析，在思維的發(fā)散點(diǎn)嘗試新的解題思路。在發(fā)散思考中，讓學(xué)生經(jīng)歷從解題念頭產(chǎn)生，到付諸實(shí)施，到解決問題，豐富思維經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)思維的韌性，樹立克服困難的自信，進(jìn)而獲得思維美的體驗(yàn)。

例：函數(shù)f(x)=aex-1-1-exln(x-1)存在零點(diǎn)x0，且x0＞ 1，則a的取值范圍是（ ）。

分析：零點(diǎn)可以看成函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

解 法 1：由 aex-1-1-exln(x+1)=0，得 aex-1=exln(x+1)+1，

結(jié)合圖象得a＞eln2+1.

解法 2：由aex-1-1-exln(x+1)=0，得 ln(x+1)結(jié)合圖象得a＞eln2+1學(xué)生在分析問題時(shí)比較自然會考慮參變分離，通過研究函數(shù)性質(zhì)與圖象得到結(jié)果。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，得到解法2。教師還可以利用幾何作圖軟件作出的圖象和h(x)=ln(x+1)的圖象，讓學(xué)生觀察到一個(gè)圖象是定的，另一個(gè)圖象是動的，從而體會構(gòu)造函數(shù)的方法。

3.幫助學(xué)生理解思維邏輯

數(shù)學(xué)內(nèi)部是一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思維的過程必然遵循一定的邏輯關(guān)系與推理方法。幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、問題解決的邏輯，有助于學(xué)生順利建構(gòu)知識，習(xí)得解決問題的方法，提高解決問題的能力，從而獲得正向的情感體驗(yàn)，形成積極的價(jià)值判斷。

教學(xué)中加入必要的歷史知識能幫助學(xué)生理解知識形成的內(nèi)在邏輯。虛數(shù)單位為什么用字母表示，如果不向?qū)W生解釋，當(dāng)然學(xué)生也能記住并使用。但是，如果從讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，更好理解數(shù)學(xué)出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，就必須要簡單介紹相關(guān)歷史背景。我們知道，人們認(rèn)為虛數(shù)是想象出來的數(shù)，在英語里翻譯為Imaginary，取這個(gè)英語單詞的首字母，就有了用來表示虛數(shù)單位。這樣的教學(xué)就讓學(xué)生理解了符號表示的內(nèi)在思維邏輯，稍加反思，思維美油然而生。

數(shù)學(xué)思維的結(jié)果在表達(dá)上常常不能反映思考的全過程，也不能反映思考的先后順序。比如，函數(shù)問題中參數(shù)的討論，對參數(shù)的分類，在結(jié)果表達(dá)中，雖然是先寫參數(shù)的不同取值，然后再討論在不同取值下的結(jié)果，但是思維過程剛好是反的。在教學(xué)中，要注意還原思考過程的本來面目，揭示結(jié)果的來龍去脈，促進(jìn)學(xué)生的理解。