高中數(shù)學教師解題的思維固化及其對策
——一道教師技能大賽試題引發(fā)的思考

廖金祥傅 磊 王成焱

（1.廈門第二中學，福建 廈門 361009；2.廈門雙十中學，福建 廈門 361009）

2018年5月13日,廈門市舉行了教師技能大賽,其中高中數(shù)學組有一項目是“解題析題”。各個學校的優(yōu)秀選手參加了該項比賽,并在比賽中展示了個人風采，從不同的角度提供了豐富的解法。這次比賽在新課程、新課標、新高考的“三新”背景下舉行，參賽的教師在解題能力和析題能力上得到了很好的鍛煉，提升了教師自身的數(shù)學核心素養(yǎng)，也有利于促進教師培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、教師技能賽試題呈現(xiàn)

等邊三角形ABC的邊長為1，點P在ΔABC外接圓的劣弧AB上，求SΔPAB+SΔPBC的最大值。

本題是最值問題，常用的解題工具有導數(shù)、三角有界性、不等式等；相關的基礎知識是函數(shù)、三角和解析幾何等；基本思想方法是數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。

二、選手主要方法

（1）三角函數(shù)法

由于點P的運動，才導致面積和的變化，在圓中點P的運動可以轉(zhuǎn)化為角的變化，進而將面積最大值的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最大值的問題。

（2）解析幾何法

通過建立平面直角坐標系，將面積和最大的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（圖1）。以線段AB所在直線為x軸，線段AB中垂線為y軸建立如

圖所示的平面直角坐標系，可得

圖1

設P(x0,y0)，由題可知

則d1=-y0，可求得直線BC方程為因為點P(x0,y0)和原點(0,0)在直線的同一側，由所以

要求 SΔPAB+SΔPBC的最大值，只要求 t= 3 x+3y的最小值。t= 3 x+3y可化為

（3）不等式法

在三角形PAB中，有AB=1，∠APB=120°，由余弦

定理可得+x2+y2+xy=1即

三、問題與思考

（一）參賽教師解題和答辯存在的問題

計算失誤。如用三角法求最值時，設∠PAC=θ，將邊PA所對的角看成了120°-θ，恰好算出來PA=與正確答案θ)一致，歪打正著。試想解題當中，教師都能出現(xiàn)這種問題，那么在教學中，如何提醒學生規(guī)避此類不必要的錯誤？

分析題目思路高度不夠。多數(shù)教師只想到了一種方法求解，在思路拓展的時候只有少數(shù)教師能想到兩種方法，對題目的本質(zhì)沒有把握到位，只停留在問題的表層，教師如此，教學如何指導學生一題多解，甚至多題一解呢？

數(shù)學核心素養(yǎng)點撥較少。教師分析題目的時候，重難點都能有效突破，基本方法以及數(shù)學思想也有涉及，但是涉及數(shù)學學科的核心素養(yǎng)談得較少，也就是站的角度還不夠高，對于學生日后的學科素養(yǎng)培養(yǎng)以及調(diào)動他們主動應用數(shù)學解決問題的能力不足。

（二）初、高中知識銜接存在的問題

參賽的教師都是高中教師，要么三角法，要么解析法，沒有選手用初中的平面幾何法，在賽后的分析討論中，才有教師提出平面幾何法：

在求SΔPAB+SΔPBC最大值時，由圖形發(fā)現(xiàn)兩個三角形有重疊部分，可以考慮用割補法將兩個三角形拼在一起。（圖2、圖3、圖4）BC所成的角相等，均為60°。所以當 PP′為外接圓直徑，即的 時 候 ，S四邊形PBP′C最 大 為即 S+

圖2

圖3

圖4

ΔPAB

SΔPBC最大值為解答如下：

法一：設點O為三角形ABC外接圓圓心，連接BO，作點P關于直線BO的對稱點P′，根據(jù)圓的對稱性可知 點 P′一 定 在 圓 周 上 ，連 接 CP′，BP′，顯 然ΔBCP′? ΔBAP（也可以在劣弧 BC上取一點P′，使得BP′=BP，也可以證明ΔBCP′?ΔBAP）。此時 SΔPAB+SΔPBC=SΔP′CB+SΔPBC=S四邊形PBP′C，可以證明 AC//PP′。在四邊形PBP′C中，對角線PP′和BC所成的角與AC和

導致這一問題的原因主要是教師慣性思維，教學方法固化。

（三）教師解題能力對學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的影響

提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)，首先要提升教師的數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學教師除了需要數(shù)學概念、法則等命題性知識，“知道怎樣做”的實踐性知識比“知道是什么”的命題性知識更重要，［1］問題解決是數(shù)學教學的核心。［2］教師的解題能力對學生解題能力的影響是正相關的，教師解題的模式化，也會束縛學生的思維，教師的計算能力也直接關系學生的計算速度和質(zhì)量。學生的學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在于教師的引導，只有教師的學科核心素養(yǎng)達到一定的高度，注重平時課堂的滲透，才能讓學生的核心素養(yǎng)真正得到提升。這道教師技能大賽試題，將問題語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，通過觀察分析，最終通過引入角度或者建立直角坐標系，建立三角模型，利用解三角形和三角恒等變化，最終利用三角函數(shù)的有界性求出最值，里面包含了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模以及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。這種包括解題、析題的比賽，能讓教師在平時的解題以及上課中，會多花時間去挖掘題目中所蘊含的基本知識、基本方法以及核心素養(yǎng)，對于提升教師的素養(yǎng)有很大的促進作用，對于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)也有積極意義。

（四）提高教師解題能力的幾點建議

1.關注初高中銜接知識

目前多數(shù)學校的人事安排中，多數(shù)高中教師只從教于高中學段，極少數(shù)人有初高中大循環(huán)的經(jīng)歷，多數(shù)高中教師對初中學段的學情并不了解，從而在平時教學過程中遇到題目時，就會慣性地把高中知識的解法擺在首位，較少去考慮題目中蘊含的初中就能處理的方法或性質(zhì)，甚至直接忽略。本次解題大賽中，所有選手都沒有提及本題的平面幾何解法，可見一斑。而在新課程改革下，初高中銜接問題凸顯，如韋達定理、初中平面幾何等知識的弱化，導致高中學習過程中經(jīng)常遇到概念不清導致無法順利完成解答，若高中教師不能熟練解決初中問題，又如何幫助學生掃除這類解題障礙？

2.學習解題理論提高解題高度

解題是數(shù)學教師的立足之本，要想成為解題能手，平時應自覺學習一些數(shù)學解題理論，尋找理論支撐。如波利亞的《怎樣解題》《數(shù)學猜想》《數(shù)學發(fā)現(xiàn)》等經(jīng)典著作。羅增儒教授認為，學習數(shù)學有三個層次：簡單模仿—反復訓練—自發(fā)領悟。［3］作為教師，更應該變“自發(fā)領悟”為“自覺領悟”，并尋找到“自覺領悟”可操作的方法，才能指導學生提高解題能力。教師在解題過程中，應從解題思想、解題目的、解題過程、解題方法、解題原則、解題策略等方面進行深入思考，提高解題高度，而不是只停留在把題目解出來這個層面。對數(shù)學本質(zhì)理解的深度和數(shù)學思想掌握的高度是開闊數(shù)學解題眼界和視野的基石。［4］

3.限時解題樂當“學生”

部分教師因為平時事務繁忙、或者家庭壓力等原因，在備課解題時過度依賴已有答案，倘若經(jīng)過一小段時間思考還無思路，要么就習慣性翻開答案看看，要么就用拍題軟件尋找速成結果，并未深入思考學生解題時有何困難，難點如何突破；更不用說研究題目的內(nèi)涵與外延，一題多解或多題一解了。教師在平時應保持持續(xù)的解題熱情，善于解決一些與高考難度相當甚至競賽難度的題目，學校教研部門可以定期組織教師進行限時訓練或解題比賽，教師自己也可以在平時大考中與學生進行同步“限時考試”，在這樣的真實模擬考試環(huán)境中不斷經(jīng)歷解題過程，積累面臨難題的解題心理體驗。在解完題目后應適當回顧與總結：這樣解正確嗎，為什么這樣解？這樣解是普適的嗎，有沒有更好的解法？解題中用到了什么知識？融匯了什么數(shù)學思想方法？這樣的題目是否可以進行推廣？自己可以命制出類似的題目嗎？有沒有跟題目類似的一般性結論？……只有真正體會學生的難處，方能為學生提供解決困難的方法和途徑，也只有如此才能深化對數(shù)學知識的理解、促進自己思維結構的優(yōu)化，提高解題水平。