再談教師要有“越雷池”的能力
——以“抽屜問題”教學(xué)設(shè)計與思考為例

◇范午英

“抽屜問題”是一類與“存在性”有關(guān)的問題。我多次觀摩這一內(nèi)容的視頻或現(xiàn)場課，發(fā)現(xiàn)一些共性問題：讓學(xué)生列式計算還可以，但很少能講出道理來；學(xué)生做“余數(shù)是1”的題目挺順利，一旦出現(xiàn)“余數(shù)不是1”的情況就經(jīng)常出錯；“總有一個筆筒里至少放進（ ）支鉛筆”漸成一種模式，學(xué)生從教師那里全盤接受下來，只需填數(shù)即可，但為什么要這么說？還有其他說法嗎？少有問津。

先說身邊的一件小事。我家的餐具中有兩種筷子，一長一短，混裝在一起。每每急用，抽兩支卻不配套，換一支來還不配套，一起換兩支竟然也不是一雙。著急之余突然領(lǐng)悟，這不是抽屜原理嗎？此后我便每次直接抽三支，一定有兩支是一雙可用。誰說抽屜問題沒有實用價值！這么樸素的知識為什么要講得那么深奧？一定有更通俗易懂的方式讓學(xué)生理解。于是我便又一次開始了“越雷池”之路。（注：我在貴刊2015年第5期曾發(fā)文《教師要有“越雷池”的能力》）

一、活動導(dǎo)入

師：我有一項小絕技。你在練習(xí)本上任意寫5個不同的自然數(shù)，我一定能很快找出兩個數(shù)，使它們的差是4的倍數(shù)。

（學(xué)生嘗試出題，教師迅速解決）

師：要想掌握這門絕技，需要學(xué)習(xí)三項本領(lǐng)：抽屜原理、同余原理、4的倍數(shù)特征。今天我們就來學(xué)習(xí)第一項。利用抽屜原理解決的問題簡稱抽屜問題。

【思考】開篇安排這個活動，有兩個原因。第一，能讓所有學(xué)生參與，便于操作且有神秘感。與搶凳子、抽撲克牌等看起來很熱鬧的活動相比，思維含量高，更能引起六年級學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二，問題表述簡單明了，避開了難點詞語?！罢页鰞蓚€數(shù)，使它們的差是4的倍數(shù)”，只關(guān)注能否找出一組，不用考慮共有多少組。反觀搶凳子游戲，從來不會出現(xiàn)3個或更多學(xué)生共搶一個凳子的情況，因為每次都是學(xué)生數(shù)比凳子數(shù)多1，得出“總有一個凳子上坐2人”的結(jié)論，與抽屜原理貌合神離。而抽撲克牌的活動（如圖1），需要解釋“至少有2張牌是同花色”是什么含義，可能正好是2張同花色，也可能是3張、4張甚至5張同花色，這些概括起來用“至少”表示。要把“至少”的含義厘清，不是幾句導(dǎo)入語就能做到的，相當(dāng)于在例題前面又加一個例題，沒有必要。

圖1

二、新課教學(xué)

1．引入背景問題。

（1）師：抽屜問題到底是怎么回事？有沒有同學(xué)知道？

【思考】有的學(xué)生可能通過多種渠道了解過這一內(nèi)容，教師的提問，既讓學(xué)生回顧這一內(nèi)容，教師也能從學(xué)生的回答中發(fā)現(xiàn)問題。

（2）師：顧名思義，和抽屜有關(guān)，是研究抽屜里所放物體數(shù)量的一類問題。舉個例子來說明，我手中有4個火柴盒，課前請一位老師放進了11根火柴，具體怎么放的我不知道，只是確定一共放進去11根。（板書：把11根火柴放進4個火柴盒中）可能會有哪些結(jié)果？

根據(jù)第一個學(xué)生的敘述，示范簡潔的表達方式，形如（a,b,c,d）。

接著，教師請3個學(xué)生仿照這種形式，在兩分鐘內(nèi)盡可能多地板書不同情況。

（3）師生對黑板上所列出的結(jié)果進行檢查，看是否有錯誤。對其中數(shù)據(jù)相同，但位置不同的情況進行說明：實際上屬于同一大種，細分的話算不同的小種。

師：寫完了嗎？實話告訴大家，如果按大種算共有27大種，如果按小種算共有364小種。沒寫完，怎么表示？（板書：……）

【思考】張奠宙教授說：“學(xué)習(xí)抽屜原理的意義在于丟開窮舉檢驗，訴諸邏輯證明?！薄艾F(xiàn)在有102個蘋果，要放進100個抽屜里。試問：是不是一定在某個抽屜里有2個以上的蘋果？來得及把所有的情況都擺出來嗎？怎樣論證？”張教授的觀點是正確的，不能指望窮舉法。這也正是我放棄教材例1（如圖2）的原因：“把4支鉛筆放進3個筆筒中。”學(xué)生把各種情況都擺出來了，如此得出的結(jié)論對其他題目顯然沒有說服力。

圖2

筆者也沒有選擇例2（如圖3）。這是基于如下考慮:把7個物體放進3個抽屜，情況也不多，共有8大種，學(xué)生一兩分鐘也能窮舉，前文中的數(shù)學(xué)思想仍無法實現(xiàn)；只改變物體數(shù)，不改變抽屜數(shù)，容易和有余數(shù)除法混淆，再理解“商加1”更困難。

因此，只有選擇短時間內(nèi)無法窮舉，又適于口算的題目為好。經(jīng)過反復(fù)斟酌，最終選定“把11個物體放進4個抽屜”作為例題，用一個例題代替教材上兩個例題的作用。11÷4商2余3，涵蓋三種情況，極具代表性：商不是1；余數(shù)不是1；余數(shù)比商大。由于數(shù)據(jù)的增大，正好放棄適用于低年級的實際動手操作，積極倡導(dǎo)形如（a,b,c,d）的簡潔形式。既提高課堂效率，也增強了學(xué)生的符號意識。

圖3

是否可以完全放棄窮舉法？我也做了嘗試。僅出示題目“把11根火柴放進4個火柴盒中”，要求學(xué)生試著對火柴盒中的火柴數(shù)來一句打不破的“預(yù)言”。結(jié)果有兩種截然不同的情形：要么就是沒有人回答；要么就是提前學(xué)過的學(xué)生直接利用計算法得出結(jié)論，但說不清道理。為什么會這樣？缺少抓手。學(xué)生需要以部分窮舉的結(jié)果作為抓手，幫助理解抽屜原理的含義。正因為窮舉不完，才會用省略號表示，而接下來對省略號所含情況的分析推理正是本課的精華所在。

2．理解關(guān)鍵詞語。

（1）師：剛才我們研究的并不是抽屜問題。其實，把364小種都寫出來，不僅難度大，而且沒多大意義。抽屜問題對這個不感興趣！況且，這才4個火柴盒、11根火柴，如果有100根火柴放到28個火柴盒里呢？想著頭都大！

師：抽屜問題到底關(guān)心什么呢？它關(guān)注的是每種情況里的“最大值”（板書）。

什么是最大值？讓學(xué)生舉例說明。指出允許并列。請兩個學(xué)生圈出黑板上寫出的每種情況的最大值。

師：沒寫出的情況有沒有最大值？

（2）師：這么多最大值，有看見的，有看不見的，有多的，有少的。是不是想有多大就有多大？想有多小就有多??？有沒有一個范圍？

學(xué)生很容易找到上限，在（11,0,0,0）中。

師：最多只能是11根，我們稱之為這些最大值的“上限”。這些最大值的下限（板書）會是幾呢？

（3）師：你找的下限能否代表那些沒有寫出的結(jié)果？為什么一定不會比3根再少呢？引出反證法。

∵如果最大值是2根，那么4個火柴盒最多放 2×4=8（根）＜11 根，沒有放完。

∴最大值的下限不可能是2根，只能是3根，如（3,3,3,2）。

（4）小結(jié)：把11根火柴放進4個火柴盒中，最大值的上限是11根，下限是3根。

打開火柴盒驗證（比如最大值是5）。

“為什么不是3根？”“在我們判斷的范圍內(nèi)嗎？”

【思考】抽屜原理的結(jié)論本身只能說明一個抽屜的情況，但不能特指，教材也就不敢明說?！翱傆幸粋€抽屜”常常導(dǎo)致學(xué)生盯著不是最大值的那個抽屜發(fā)呆：“你又沒說是哪個抽屜？這個抽屜好像更少？”抽屜原理暗指的那個抽屜真的就沒有特征嗎？筆者以為就是“放物體最多的那個抽屜”，它里面放的物體數(shù)簡稱“最大值”。抽屜原理結(jié)論中的數(shù)就是所有最大值的下限，這個下限只是所有最大值中的一種情況，所以至少有3根，并不是一定有3根的意思。能“明說”底氣就足了，借助最大值、上限、下限這幾個名詞，反證法也就容易理解了。反證法不是教材規(guī)定的步驟，但作為演繹推理的反證法克服了窮舉的弊端，推理清楚，說服力強，在簡單抽屜問題中比較適用。而出示書面語言讓學(xué)生學(xué)習(xí)，主要是考慮到中小學(xué)銜接。

3．原創(chuàng)碰撞教材。

（1）師：咱們課本上并不是這么說的，對于“把11根火柴放進4個火柴盒中”，給出的結(jié)論是：總有一個火柴盒里至少放3根火柴。對比這兩種說法，你能解釋課本上的結(jié)論是什么意思嗎？

（2）學(xué)生思考后發(fā)言。

生：“總有”表達一種肯定的語氣。

生：“一個抽屜”就是指最大值?！?/p>

生：“至少放3根”就是最大值的下限。

師：它怎么沒提上限的事？

生：過于簡單，地球人都知道，所以沒提。

師：原來這兩種說法是一回事，都可以使用。

（3）師：“至少放3根”，能不能用數(shù)學(xué)符號表示這個意思？（板書≥3）

【思考】有段時間，筆者一直把兩種說法割裂開來，推崇原創(chuàng)的同時放棄了教材上的結(jié)論。隨著思考的深入，逐漸感覺兩者是統(tǒng)一的——原創(chuàng)的說法更好理解，但教材上的結(jié)論很嚴謹。學(xué)生以后看到更多的是類似教材上的結(jié)論，若溝通不好，就弄巧成拙了。數(shù)學(xué)符號“≥”雖然超出了小學(xué)教學(xué)內(nèi)容的范圍，但學(xué)生并不難理解，筆者認為還是應(yīng)該以學(xué)生實際的理解能力為教學(xué)設(shè)計標(biāo)準。