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    好巧,我們同一天生日

    2018-09-03 09:25:02竹林風(fēng)
    關(guān)鍵詞:劉紅李明悖論

    竹林風(fēng)

    “丁零零……”編輯部的電話響起,小編一個(gè)箭步跑過(guò)去,拿起電話。

    您好!最近,我有一個(gè)問(wèn)題百思不得其解,想得頭都大了一圈!

    看來(lái),您的這個(gè)問(wèn)題不一般呢!您先說(shuō)說(shuō)吧!

    事情是這樣的……

    原來(lái),劉紅最近快過(guò)生日了,于是她就問(wèn)班長(zhǎng)李明,自己班或者隔壁班有沒(méi)有和她生日相同的同學(xué),想一起過(guò)個(gè)生日。李明知道他們班有60名同學(xué),而隔壁班只有23名,但是現(xiàn)在他手上沒(méi)有花名冊(cè)。

    “班長(zhǎng)!班長(zhǎng)!別發(fā)呆啊,問(wèn)你話呢!有沒(méi)有和我生日相同的呀?”

    “等等,我想一想?!边^(guò)了一會(huì)兒,李明對(duì)劉紅說(shuō),“我們班有兩個(gè)人生日相同的概率很大,而隔壁班大約有50%的可能有兩個(gè)生日相同的人,但是我不太確定你是不是其中一個(gè)?!?/p>

    李明故作神秘,笑而不語(yǔ),然后問(wèn)劉紅:“問(wèn)你個(gè)問(wèn)題。你覺(jué)得23個(gè)人中,有兩個(gè)人生日相同的概率是多少?”

    “,這個(gè)概率應(yīng)該很小吧!”劉紅說(shuō)。

    “哈哈,你的答案正確的概率更小。”說(shuō)完,李明轉(zhuǎn)身就走。

    “答案不對(duì)?”劉紅懵了,“班長(zhǎng),你去哪兒?”

    “我去趟老師辦公室,拿花名冊(cè)?!?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2018/09/06/qkimagesshucshuc201807shuc20180714-2-l.jpg"/>

    問(wèn)題陳述完畢,眾小編開(kāi)始了熱烈的討論。果然是人多力量大,一會(huì)兒工夫,問(wèn)題就解決了。

    同天生日非天意

    每個(gè)人都有生日,偶爾會(huì)遇到與自己同一天過(guò)生日的人,但在生活中,這種巧合似乎并不常有,所以你可能會(huì)覺(jué)得撞到一個(gè)人跟你同一天生日是驚天大巧合。不過(guò)從概率上來(lái)說(shuō),沒(méi)準(zhǔn)它比你想的更容易發(fā)生。

    假設(shè)你在一個(gè)23人的班級(jí)里,那么你們班有兩個(gè)人生日相同的概率是多少呢?(為簡(jiǎn)化問(wèn)題,排除生日在2月29日。)

    你也覺(jué)得是 ?那我很遺憾地告訴你,你真的錯(cuò)了!23人中有兩個(gè)人生日相同的概率高達(dá)50%。

    這是怎么推算出來(lái)的呢?

    這里,我們要進(jìn)行一下反概率運(yùn)算,即通過(guò)計(jì)算一群人中沒(méi)有生日相同的概率,來(lái)推算出我們想要的有生日相同的概率。如果我們正面硬求解的話,要推算出有兩個(gè)人生日相同的概率是很困難的。而要計(jì)算出一群人中沒(méi)有生日相同的概率則是非常非常容易的。

    兩個(gè)人生日不同,第一個(gè)同學(xué)的生日有365種選擇,第二個(gè)同學(xué)的生日有364種選擇,所以概率是:

    ×≈99.73%

    同理,三個(gè)人中沒(méi)有生日相同的概率是這樣算的:

    ××≈99.18%

    四個(gè)人中沒(méi)有生日相同的概率是這樣算的:

    ×××≈98.36%

    …………

    我們以此推算會(huì)得到什么結(jié)果呢?那就是,23人中生日各不相同的概率是:

    ×××…×≈49.27%

    這就意味著,既然生日各不相同的概率大約是49.27%,那么至少有兩個(gè)人生日相同的概率就是1-49.27%=50.73%。

    我們沒(méi)有算錯(cuò),是我們的直覺(jué)錯(cuò)了!科學(xué)與生活又和我們開(kāi)了個(gè)玩笑。正因?yàn)橛?jì)算結(jié)果與日常經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了如此明顯的矛盾,所以這個(gè)有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象被稱為“生日悖論”。

    你也可以這樣想:

    把第一個(gè)人與其他22個(gè)人進(jìn)行比較,而第二個(gè)人則與其他21個(gè)人進(jìn)行比較(因?yàn)樗麄冎岸家呀?jīng)跟第一個(gè)人比較過(guò)了),第三個(gè)人與其他20個(gè)人比較……直到倒數(shù)第二個(gè)人與最后一個(gè)人比較。將23個(gè)人之間的所有比較加起來(lái),產(chǎn)生22+21+20+…+1 =23×=253(種)不同的搭配,所以產(chǎn)生成功匹配的生日并非不可思議。

    不斷增加人數(shù)

    偶然事件的發(fā)生僅僅是一個(gè)概率問(wèn)題,而概率并不像你所想的那么高深。“生日悖論”被眾多數(shù)學(xué)家所熟知,這很容易解釋。

    “抽屜原理”告訴我們,在366個(gè)人里面,百分之百會(huì)有兩個(gè)人的生日是同一天,因?yàn)橐荒曛挥?65天??!當(dāng)然,閏年除外。

    一點(diǎn)通

    “抽屜原理”也稱狄利克雷原理,由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷明確提出,有時(shí)也被稱為鴿巢原理。用形象的語(yǔ)言表述就是:把m個(gè)東西任意分別放進(jìn)n個(gè)空抽屜里(m>n),那么一定有一個(gè)抽屜里放進(jìn)了至少2個(gè)東西。比如,從1,2,…,10中任取6個(gè)數(shù),其中至少有2個(gè)數(shù)的奇偶性不同。因?yàn)?~10中有5個(gè)奇數(shù)和5個(gè)偶數(shù),取6個(gè)數(shù),則有2個(gè)數(shù)的奇偶性必定不同。

    當(dāng)只有1個(gè)人時(shí),概率為0%;當(dāng)人數(shù)大于365時(shí),概率是100%。于是,在1~365這個(gè)區(qū)間內(nèi),我們直覺(jué)地認(rèn)為,對(duì)應(yīng)的概率應(yīng)該是線性地從0%增長(zhǎng)到100%。然而,讓人意想不到的是,實(shí)際上只要57個(gè)人,有兩個(gè)人生日相同的概率就可以達(dá)到99%。

    所以,“生日悖論”的本質(zhì)就是,隨著元素增多,出現(xiàn)重復(fù)元素的概率會(huì)以驚人的速度增長(zhǎng),而我們低估了它的速度。因?yàn)楫?dāng)看到“有人生日相同”時(shí),我們下意識(shí)地用“與我生日相同”去推測(cè),以致于認(rèn)為概率增長(zhǎng)為平穩(wěn)增長(zhǎng)。

    怎么樣?原來(lái)讓我們驚嘆的巧合,僅僅是一個(gè)概率問(wèn)題,驚不驚喜?

    其實(shí),類似于這個(gè)問(wèn)題的概率悖論還有很多,計(jì)算的結(jié)果往往和人們的預(yù)期相差甚遠(yuǎn)。所以,我們必須依靠科學(xué)的計(jì)算方法來(lái)研究問(wèn)題,而不是單憑推測(cè)。

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