借助動(dòng)態(tài)直觀圖感悟假設(shè)法

吳新結(jié)

[摘 要]人教版教材“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容有較高的思維難度，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)有一定的困難。以“雞兔同籠”問題的教學(xué)為例，借助動(dòng)態(tài)的直觀圖，可化復(fù)雜、抽象為簡明、形象，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解假設(shè)法，對學(xué)生認(rèn)知的建構(gòu)、方法的感悟和思維能力的培養(yǎng)有著積極的意義。

[關(guān)鍵詞]假設(shè)法；動(dòng)態(tài)；直觀圖；雞兔同籠

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0029-02

人教版教材四年級下冊安排了數(shù)學(xué)廣角“雞兔同籠”這一內(nèi)容，展示了解決該問題的一些方法，體現(xiàn)了解決問題方法的多樣性。其中，將假設(shè)法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了重點(diǎn)介紹，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟假設(shè)法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

在實(shí)際教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，我們存在許多困惑。一是“假設(shè)”這種想法，是教師給出的，而不是學(xué)生自然想到的，如何才能讓學(xué)生自然地萌發(fā)這種思想呢？二是假設(shè)法伴隨著較為復(fù)雜的分析推理過程，學(xué)生理解起來有一定的困難，如何幫助學(xué)生克服困難？三是如何抽象出假設(shè)法，使學(xué)生有所感悟并在新的情境中進(jìn)行推廣運(yùn)用？

同時(shí)我們也了解到：在先前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生從沒有系統(tǒng)地接觸過假設(shè)法，即在他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)中不存在“假設(shè)”這一圖式，但他們在日常生活中不乏“假設(shè)”的經(jīng)驗(yàn)，如“過家家”時(shí)角色的扮演、“假如”“當(dāng)成”這些詞匯的運(yùn)用等?；谏鲜隼Щ蠛驼J(rèn)識(shí)，我對“雞兔同籠”這一內(nèi)容中的假設(shè)法進(jìn)行了新的教學(xué)嘗試。

首先讓學(xué)生通過畫圖嘗試解決問題（如圖1），師生交流解題思路。

生1：先把雞和兔都看成是4只，畫好后數(shù)一數(shù)，發(fā)現(xiàn)腳的只數(shù)少了，就再添上一些腳。

師：“先把雞和兔都看成是4只”是一種很好的想法，數(shù)學(xué)上把它叫作假設(shè)。我們還可以怎樣假設(shè)呢？

（學(xué)生分別假設(shè)雞和兔不同的只數(shù)，就是沒有假設(shè)“籠子里都是雞”或“籠子里都是兔”這兩種情況）

師（動(dòng)畫展示“玉兔拜月”）：從數(shù)學(xué)的角度看，這時(shí)的兔子與雞就沒什么兩樣了，都是1個(gè)頭、2只腳。如果籠子中的兔子都在拜月，這時(shí)候，籠子中的動(dòng)物就可以全部看成什么？

生2：全部都是雞。

生3：由既有兔又有雞變成全部都是雞，使問題變得簡單了。

僅有這樣的“啟蒙”還是不夠的。假設(shè)法要求：“在條件改變之后，根據(jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理，再根據(jù)所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問題得到解決”。這樣的一個(gè)基本思考過程，還是要讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的圖示中去一步步體驗(yàn)和領(lǐng)悟。

接著，我引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上面的討論，將籠子里的動(dòng)物假設(shè)都是雞，畫出圖2，并進(jìn)行計(jì)算和推理，比較差異。

生4：每只雞有2只腳，2×8=16（只腳）。實(shí)際有26只腳，少了26-16=10（只腳）。

師：這是什么原因呢？

生4：把兔子畫成了雞，腳數(shù)變少了。

（我順勢畫出圖3，再進(jìn)行修正和還原）

師：把幾只兔子畫成了雞？

生5：5只。

師：你怎么知道是5只兔子呢？

（雖然學(xué)生已通過其他方法得知了雞和兔的只數(shù)，但教師還是要追問推理的過程）

生5（展示推理過程）：一共少畫10只腳，每只兔子少畫2只腳，10÷2=5（只）（兔），8-5=3（只）（雞）。

（我出示圖4，突出強(qiáng)調(diào)求出的是兔子的只數(shù)，這也是學(xué)生最容易混淆的地方）

師：看了這些怪模怪樣的兔子你有什么想法？

生6：把兔子的腳補(bǔ)上去。

（學(xué)生在作業(yè)紙上補(bǔ)畫，教師用投影儀展示學(xué)生補(bǔ)畫的圖，如圖5）

師：現(xiàn)在符合條件了嗎？算一算，檢驗(yàn)一下。

生7：2×3=6（只），4×5=20（只），20+6=26（只），符合題意。

在上述教學(xué)過程中，我借助動(dòng)態(tài)的直觀圖，逐步揭示用假設(shè)法解決問題的過程，學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，對假設(shè)法有了一定的感受和體驗(yàn)。

數(shù)學(xué)思想方法的感悟不是一蹴而就的。就一節(jié)課來說，一種思想方法的學(xué)習(xí)也不能僅僅通過一兩個(gè)例子去完成。要讓學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的認(rèn)知，并能自覺地在今后的學(xué)習(xí)中予以運(yùn)用，教師就要注意一般方法的概括以及對學(xué)生遷移能力的培養(yǎng)。

在這節(jié)課的最后一個(gè)部分，我安排了以下幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容。

1.如果假設(shè)全部是兔子，你是怎樣思考的？請用畫圖法在小組內(nèi)向同伴說一說你的想法。

2.“新星小學(xué)‘環(huán)保衛(wèi)士小分隊(duì)12人參加植樹活動(dòng)，男同學(xué)每人栽了3棵樹，女同學(xué)每人栽了2棵樹，一共栽了32棵樹。男女同學(xué)各有幾人？”這個(gè)問題與“雞兔同籠”問題有哪些相似的地方？能用畫圖法解決問題并說明你的想法嗎？

3.不用畫圖，在腦中想象：雞、兔共有6個(gè)頭，16只腳。雞、兔各幾只？

這是一個(gè)遞進(jìn)的過程，從熟悉的“雞兔同籠”問題，到情境不同但實(shí)質(zhì)相同的植樹問題，從具象到表象，所依托的仍然是圖形。在這些感性材料的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對假設(shè)法的一般程序進(jìn)行初步總結(jié)。

課件再次展示以上學(xué)習(xí)中的直觀圖，逐步提煉假設(shè)法的一般程序：假設(shè)一種特殊的情況→根據(jù)數(shù)量關(guān)系計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)→與原來的數(shù)據(jù)比較（找出不同）→分析這些不同的原因→計(jì)算得出正確的答案。

誠然，假設(shè)法并不止本文所述的這一種，這里僅以“雞兔同籠”為例，假設(shè)的是一種極端的情況，而不是一般意義上的“對數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儭?，是一種特例，其他情況有待于后續(xù)的學(xué)習(xí)。我們在這里只是播下一粒種子，期望今后開出更加美麗迷人的數(shù)學(xué)之花。

通過畫圖描述和分析問題，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有力拐杖。可以說，通過畫圖解決問題，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)方面。本文所示的一些示意圖，不僅使抽象的思想方法具體化、形象化，有助于學(xué)生感悟假設(shè)法，動(dòng)態(tài)的生成過程，還契合了學(xué)生的思考路徑，較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

從更一般的角度來看，“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法大都有一定的思維難度，考慮到小學(xué)生的年齡和心理特點(diǎn)，借助一些直觀的圖形去體驗(yàn)感悟，是一條有效的路徑。

（責(zé)編 黃春香）