關(guān)于“你發(fā)現(xiàn)了什么”問題的思考

劉緒毅

[摘 要]數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題是一條紐帶，一座橋梁，目的是鞏固新知，而習(xí)題中的“你發(fā)現(xiàn)了什么”的目的是讓學(xué)生在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)的習(xí)題為例，通過整理、分析、比較、思考、實(shí)踐，將“你發(fā)現(xiàn)了什么”的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處。

[關(guān)鍵詞]習(xí)題；發(fā)現(xiàn)；數(shù)學(xué)思想；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0011-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供學(xué)習(xí)的主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源?！比私贪娼滩脑谥心昙?jí)的內(nèi)容中設(shè)置了相當(dāng)一部分的“你發(fā)現(xiàn)了什么”的習(xí)題，目的是讓學(xué)生在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，從而有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。怎樣將“你發(fā)現(xiàn)了什么”的教學(xué)目的落到實(shí)處，是每一位教師都要思考的問題。

一、梳理分析，理清思路

從上表可以看出，“你發(fā)現(xiàn)了什么”的習(xí)題的編排特點(diǎn)：編者十分重視這類問題，所以數(shù)量非常多，但主要集中在“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，要求教師不但要讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的探究過程，使學(xué)生通過操作、思考和交流獲得經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展抽象思維，培養(yǎng)推理能力，還要通過探究的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情，激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造精神，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、理解本質(zhì)，經(jīng)歷過程

如何幫助學(xué)生經(jīng)歷探究的過程？以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第68頁的第10題為例進(jìn)行具體論述。

1.創(chuàng)設(shè)情境，激起學(xué)生探究的欲望

師：你能根據(jù)四邊形的特征給下面的四邊形分類嗎？

生1：可以分為五類。長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形和不規(guī)則四邊形。

生2：我認(rèn)為可以分為三類。平行四邊形（包括長(zhǎng)方形和正方形）、梯形和不規(guī)則四邊形。

生3：我同意生2的看法，因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形都是特殊的平行四邊形，他的分類更簡(jiǎn)潔。

師：你們知道圖①和圖④的四個(gè)內(nèi)角的和分別是多少嗎？

生（齊）：長(zhǎng)方形和正方形的四個(gè)內(nèi)角的和都是360度，因?yàn)槊總€(gè)角都是90度。

師：你們真聰明！那圖②、③、⑤的四個(gè)內(nèi)角和是多少？

生4：可能都是360度。

2.聚焦疑點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究

師：怎樣驗(yàn)證猜測(cè)是否正確呢？

生5：用量角器測(cè)量，然后把量得的度數(shù)加起來，就能知道猜測(cè)正確與否。

師：那就請(qǐng)動(dòng)手測(cè)量這五個(gè)圖形各個(gè)角的度數(shù)，并將測(cè)量的結(jié)果填在下表中。

3.達(dá)成共識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證

師：填完表后你有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：無論是長(zhǎng)方形、正方形，還是平行四邊形、梯形，它們的四個(gè)內(nèi)角的和都是360度。

生7：這五個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360度。

師：通過測(cè)量得出這五個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360度?，F(xiàn)在請(qǐng)大家再任意畫一個(gè)四邊形，看看能得到同樣的結(jié)論嗎？

師：通過測(cè)量、計(jì)算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生（齊）：任意四邊形的內(nèi)角和都是360度。

4.回顧反思，培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)

師：回顧今天的探究過程，你有什么收獲？

生8：通過從特殊到一般的方法初步歸納出四邊形的內(nèi)角和為360度，然后通過驗(yàn)證，證明四邊形的內(nèi)角和確實(shí)是360度。

生9：通過今天的學(xué)習(xí)，我學(xué)會(huì)了用這樣的方法去探究其他的數(shù)學(xué)知識(shí)。

師：數(shù)學(xué)真的很奇妙，數(shù)學(xué)知識(shí)就在我們的身邊，只要大家有一雙慧眼，就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)規(guī)律。大家也可以用同樣的方法去探究三角形、五邊形、六邊形等圖形的內(nèi)角和。只要善于思考，善于總結(jié)，就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)規(guī)律。

學(xué)生通過測(cè)量、計(jì)算、填表，逐步發(fā)現(xiàn)并歸納出“四邊形的內(nèi)角和是360度”這一規(guī)律，體驗(yàn)了從特殊到一般的思維方法，發(fā)展了自身的合情推理能力。波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)所形成的理解最深刻，所掌握的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系也最牢固。因此，在教學(xué)中，教師首先讓學(xué)生利用原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究，初步感知數(shù)學(xué)現(xiàn)象的共同特征；其次，在探究的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、概括的過程，從具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力；再次，建構(gòu)規(guī)律，讓學(xué)生去驗(yàn)證，在得出規(guī)律以后，教師要基于學(xué)生的視角去驗(yàn)證、去證明、去解釋；最后， 教學(xué)“你發(fā)現(xiàn)了什么”的主要目的是讓學(xué)生研究數(shù)學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高，因此需要引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思，總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而內(nèi)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

三、 對(duì)這類問題的再思考

1.問題驅(qū)動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度來分析問題，用數(shù)學(xué)的思想方法來解決問題。”因此，教師要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，從而深入思考。例如，對(duì)于四年級(jí)上冊(cè)第41頁“做一做”的第2題，當(dāng)學(xué)生量出兩個(gè)角的度數(shù)后，教師可以這樣引導(dǎo)：“通過剛才的操作，你有什么問題嗎？”學(xué)生會(huì)提出“角的大小與邊的長(zhǎng)短有關(guān)嗎？”“角的大小到底與什么有關(guān)？”等問題。又如，在教學(xué)完四年級(jí)上冊(cè)第79頁第10題、第80頁第18題、第82頁第4題后，教師可以提出：“通過剛才的規(guī)律，你有什么問題想說嗎？”學(xué)生會(huì)說：“原來除數(shù)是兩位數(shù)的除法，書中說‘一般用‘四舍五入法試商，我認(rèn)為還可以根據(jù)實(shí)際情況使用口訣‘同頭無除商八九，除數(shù)折半估商五試商。” 這樣，學(xué)生在提出問題、分析問題和解決問題的過程中，逐步掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)能力。

2.數(shù)形結(jié)合，引發(fā)深刻的理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用?！比缢哪昙?jí)上冊(cè)第68頁的第10題，教師可在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和知識(shí)后再一次呈現(xiàn)，分別將四邊形、五邊形、六邊形……分成若干個(gè)三角形，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和是180°×（邊數(shù)-2）。

又如：如果1=12，1+3=22，1+3+5=32，那么1+3+5+7=（ ）2，1+3+5+7+9+11+13=（ ）2 。

教師可以啟發(fā)學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中探索規(guī)律。因?yàn)榻虒W(xué)的目的不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生利用加法運(yùn)算得到答案，而是引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題，學(xué)會(huì)思考。

3.適度拓展，促進(jìn)思維的發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”教師要讀懂教材，用好教材，適當(dāng)增加一些“你發(fā)現(xiàn)了什么”的問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律和運(yùn)用規(guī)律的能力。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的面積以后提出“運(yùn)用長(zhǎng)方形和正方形的面積能不能解決計(jì)算中的問題？”時(shí)，教師可以出示“小明在計(jì)算乘法時(shí)，誤把6寫成了9，結(jié)果積多了27，正確的積是多少？”“121×121-120×120”等習(xí)題，并提問：“你能借助長(zhǎng)方形和正方形的最大面積畫圖解決以上問題嗎？”又如，教學(xué)兩位數(shù)乘法后，教師可以出示習(xí)題：一條鐵絲長(zhǎng)40厘米，將它圍成一個(gè)邊長(zhǎng)是整厘米的長(zhǎng)方形，怎樣才能使面積最大？最大面積是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？你的發(fā)現(xiàn)還能用到其他的地方嗎？請(qǐng)寫出來。對(duì)于這道習(xí)題，一位學(xué)生是這樣寫的：

今天劉老師給我們布置了這樣一道題：一條鐵絲長(zhǎng)40厘米，將它圍成一個(gè)邊長(zhǎng)是整厘米的長(zhǎng)方形，怎樣才能使面積最大？最大面積是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？你的發(fā)現(xiàn)還能用到其他的地方嗎？請(qǐng)寫出來。

如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、面積分別為A、B、S，則A+B=40÷2=20（cm），列表如下：

從上表可以看出， 面積最大為100平方厘米，即當(dāng)長(zhǎng)為10厘米、寬為10厘米時(shí)，面積最大。通過觀察得到這樣一條規(guī)律：長(zhǎng)和寬越接近時(shí)，面積越大；長(zhǎng)和寬相等時(shí)，面積最大。用一句話歸納：周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形和正方形，正方形的面積更大。

這個(gè)規(guī)律也可以用來解決這道題：下面四道算式的積，誰最大？

30×20 25×25 31×19 26×24

因?yàn)樗牡浪闶降膬蓚€(gè)因數(shù)的和都是50（一定），25×25構(gòu)成的是“正方形”，所以25×25的積最大，即兩個(gè)因數(shù)的和一定，因數(shù)相差越小，積越大，所以25×25>26×24>30×20>31×19。

正如弗賴登塔爾所說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的?！痹凇皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中探究數(shù)的規(guī)律，不能游離于數(shù)的認(rèn)識(shí)，要把數(shù)的關(guān)系與空間形式結(jié)合起來。在“圖形與幾何”的探究中，要結(jié)合具體的內(nèi)容，滲透推理的方法，關(guān)注學(xué)生的幾何思維的發(fā)展?！澳惆l(fā)現(xiàn)了什么”的教學(xué)是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、討論、驗(yàn)證、應(yīng)用的過程，是一個(gè)促進(jìn)過程性目標(biāo)達(dá)成的過程。因此，教師要充分利用好教材，讓學(xué)生在探究中掌握科學(xué)的探究方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）