豐富活動體驗 豐盈建模過程
——以蘇教版三下《長方形和正方形的面積計算》的教學為例

/鐘國強 陳 燕

數(shù)學模型是采用形式化的數(shù)學語言或符號，概括地或近似地表達系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學結(jié)構(gòu)，是對實際問題的一種數(shù)學表述。學生學習數(shù)學的過程，實際上就是理解、把握和建立一系列數(shù)學模型的過程，這個過程即數(shù)學建模。一般來說，數(shù)學建模要經(jīng)過模型準備、模型假設(shè)、模型求解、模型確立、模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)。數(shù)學建模的過程是學生主動建構(gòu)知識的過程，也是學生深層次理解知識的過程。筆者試以蘇教版三下《長方形和正方形的面積計算》一課的教學為例，談?wù)勛约旱膶嵺`與思考。

一、模型準備：在情境中激發(fā)需求

師：新風小學打算給長方形足球場鋪上草坪，你覺得采購草坪之前需要知道什么？

生：需要知道足球場的面積。

師：在我們以前的學習中，要知道一個長方形的面積，可以怎么辦？

生：用面積單位去鋪一鋪。

師：有沒有其他更好的辦法呢，今天我們就來進一步研究。

模型準備是數(shù)學建模的首要環(huán)節(jié)，其主要目的是從生活現(xiàn)象中提煉出一個比較清晰的數(shù)學問題，以喚起學生的知識儲備，激活學生的學習經(jīng)驗，激發(fā)學生的學習需求。教學伊始，教師創(chuàng)設(shè)“球場鋪草坪”的問題情境，以“用面積單位鋪一鋪”的方法引發(fā)學生的認知沖突，有效激發(fā)學生對長方形面積計算的探究欲望。

二、模型假設(shè)：在拼擺中初步發(fā)現(xiàn)

師：我們先用一些1平方分米的小正方形擺出幾個不同的長方形，你有什么發(fā)現(xiàn)。

指名3位學生擺長方形，其他學生觀察并記錄。教師根據(jù)學生的回答完成表格填寫。

表1 模型假設(shè)記錄表

師：結(jié)合擺的過程觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：正方形的個數(shù)和長方形的面積相等。

生2：長乘寬就等于正方形的個數(shù)。

生3：長乘寬等于長方形的面積。

師：通過擺一擺、數(shù)一數(shù)，我們初步發(fā)現(xiàn)長方形的面積與它的長和寬是有關(guān)系的，長方形的面積可能等于長乘寬。

模型假設(shè)是對研究的問題進行適當?shù)暮喕?，初步提出一些合理的假設(shè)。自由拼擺長方形的活動，不僅豐富了學生感覺、知覺的經(jīng)驗，而且使學生初步體會到長方形的長、寬的數(shù)量與所需小正方形個數(shù)的關(guān)系，間接感受到長、寬的數(shù)量與長方形面積有關(guān)系。在擺、看、想、說的過程中，學生形成了對長方形面積計算的感性認識。

三、模型求解：在測量中深化認識

師（出示一個長15厘米、寬8厘米的長方形）：下面用1平方分米的正方形來擺一擺、量一量長方形的面積，誰來試一試？

師：通過動手操作我們發(fā)現(xiàn)用1平方分米的正方形不能正好擺完，那怎么辦呢？

生：換成1平方厘米的小正方形去測量。

學生操作，教師巡視。

師：你們是怎么測量的？

生：我們小組是用小正方形鋪滿長方形，一共用了120個小正方形，所以長方形的面積就是120平方厘米。

師：他們小組是用小正方形將長方形鋪滿，根據(jù)每行個數(shù)和行數(shù)的乘積得到面積單位的個數(shù)，從而得到面積。

生：我們小組是沿著長方形的長、寬各擺一排，就知道一行可以擺15個，可以擺這樣的8行，推算出鋪滿長方形需要（15×8）=120（個）小正方形，所以長方形的面積是120平方厘米。

師：對于這兩種方法，你更欣賞哪一種？

生：欣賞第二種。因為沿著長和寬各擺一行，就可以算出小正方形的個數(shù)，面積也就知道了。

師：如果小正方形的個數(shù)只有兩個，你還有辦法測量嗎？

學生小組合作操作，指名演示并說明思考過程。

師：用兩個小正方形交叉移動，也能得出小正方形的總個數(shù)，進而知道長方形的面積。如果只有一個小正方形呢？

指名學生演示，教師相機指導(dǎo)并適時用小豎線作標記。

師（逐步呈現(xiàn)圖1）：回顧剛才的操作過程，雖然使用的小正方形的數(shù)量越來越少，但是我們都在想辦法先量出什么。

（圖 1）

生1：量出了一行小正方形的個數(shù)和行數(shù)。

生2：量出長方形的長和寬。

師：像剛才這樣量出一行個數(shù)和行數(shù)，我們也就知道了長方形的長和寬。

模型求解，就是對數(shù)學知識蘊含“道理”的本源追溯和“為什么是這樣”的積極思辨。面積知識屬于測量的范疇，測量長方形面積的活動中蘊含著某些規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律有利于得出長方形的面積及計算公式。以長15厘米、寬8厘米的長方形為研究素材展開面積測量活動，并對條件加以限制，促使學生思考不斷深入，讓操作更具思維含量。同時，通過交流比較不同測量方法，使學生深刻地體會到長方形的面積與測量時所用的面積單位的數(shù)量有關(guān)，只要測量出長方形的長和寬就能求出其面積，得出長方形面積計算公式便水到渠成。

四、模型確立：在反思中歸納概括

師：（出示一個長7厘米、寬2厘米的長方形）你有沒有什么辦法快速得到它的面積？

生：我量出長方形的長是7厘米，說明一行可以擺7個小正方形；寬是2厘米，說明可以擺這樣的2行，一共是7×2=14（個）小正方形，面積就是14平方厘米。

師：你真會思考，直接用尺子測量出長和寬，同樣能夠得到長方形的面積。仔細觀察最后一次用一個小正方形測量面積時留下的記號，與手中的直尺比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：所作的標記就像一把尺子。

師：用小正方形去測量長方形的長、寬，與直接用尺子去測量長方形的長、寬相比，你覺得哪種方法更方便？

生：直接用尺子去測量長方形的長和寬更加方便。

師（出示課始足球場草坪問題）：要解決長方形足球場草坪的面積問題，你還想用1平方米的正方形去鋪嗎？

生：只要知道長和寬就可以了。

教師出示長和寬的數(shù)據(jù)，學生解答并說清道理。

師：無論是用1平方分米、1平方厘米還是用1平方米中的面積單位去測量，我們發(fā)現(xiàn)長方形的面積都與什么有關(guān)？怎樣求長方形的面積？

生：長方形的面積與它的長、寬有關(guān)，用長乘寬就能求出長方形的面積。

師：為什么長方形的面積等于長乘寬？

生：一行的個數(shù)對應(yīng)著長，行數(shù)對應(yīng)著寬，正方形的個數(shù)等于長方形的面積，所以長方形的面積等于長×寬。

師：如果用字母S、a和b分別表示長方形的面積、長和寬，計算公式可以怎樣表示？

生：長方形的面積計算公式是S=a×b。

教師依次出示：長5厘米、寬3厘米的長方形，長4厘米、寬3厘米的長方形，邊長為3厘米的正方形，學生依次口答算式和結(jié)果。

師：最后一個圖形是正方形，你是怎樣計算它的面積的？

生：正方形的面積等于邊長乘邊長。正方形是一種特殊的長方形，當長方形的長和寬相等時，長方形的長和寬也就變成了正方形的邊長和邊長。

生：一行的個數(shù)和行數(shù)是相等的，所以正方形的面積是邊長乘邊長。

師：如果用字母S和a分別表示正方形的面積和邊長，面積計算公式可以怎樣寫？

生：正方形的面積計算公式是S=a×a。

師：回顧學習過程，長方形和正方形的面積計算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？

生：我們用一些小正方形去測量長方形的面積，發(fā)現(xiàn)長方形的面積與它的長和寬有關(guān)。后來，隨著小正方形的個數(shù)變少，發(fā)現(xiàn)只要測量出長方形的長和寬就能求出它的面積。

模型確立就是模型假設(shè)經(jīng)過驗證以后確認是正確的，它是從猜想到結(jié)論的蛻變。計算長方形的面積，從“算面積單位的個數(shù)”到“算長乘寬”是學生認知上的一個跨越。教師巧妙地把一個面積單位度量長方形時留下的記號與直尺刻度建立起關(guān)系，學生在對比中形象地理解了“長方形的面積=長×寬”的道理。在回顧的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學生及時對長方形的面積計算公式進行抽象和概括，促使學生的認識從感性上升到理性。而對于正方形面積計算公式的推導(dǎo)，教師是將其納入“正方形是特殊的長方形”的范疇，通過說理和推理實現(xiàn)意義建構(gòu)的。在此過程中，學生積累了具體問題抽象化、形式化及符號化的數(shù)學活動經(jīng)驗。

五、模型應(yīng)用：在實踐中內(nèi)化提升

師（出示圖片）：生活中很多物體的表面都是長方形或正方形的，求黑板和手帕的面積需要知道什么條件？

生1：黑板的面是長方形，因此需要知道黑板的長和寬。

生2：手帕的面是正方形，只要知道它的邊長就可以了。

教師出示相應(yīng)數(shù)據(jù)，學生獨立完成并交流。

師：三個小朋友玩游戲，每人都用12根1分米長的小棒各擺了一個圖形（如圖2）。其中一個小朋友認為：擺圖形都用了12根小棒，所以擺出的圖形的面積一樣大。你同意這種觀點嗎？

（圖 2）

生1：不同意，因為每個圖形計算出來的面積都不一樣。

生2：我也不同意，用12根小棒擺圖形只能說明圖形的周長是相等的，而面積是不相等的。

師：用12根小棒擺出來的圖形不管是長方形還是正方形，它們的周長是相等的，但是面積卻是不相等的。

模型應(yīng)用就是引導(dǎo)學生利用抽象出的數(shù)學模型解決實際問題。模型應(yīng)用不是對數(shù)學模型的機械記憶與簡單套用，而是以理解為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程。教師設(shè)計了求黑板和手帕的面積、辨析求周長和面積等不同形式的實際問題，在問題解決過程中，學生進一步加深了對長方形和正方形面積計算公式的理解，促進了數(shù)學模型的內(nèi)化，彰顯了數(shù)學模型的實際價值。