調(diào)性布局的“自相似性”分析

宋佳麗

摘 要：基于混沌（chaos）理論，從分形（fractal）結(jié)構(gòu)的角度對貝多芬《c小調(diào)鋼琴奏鳴曲》（Op.13）第一樂章進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)動機(jī)的音高結(jié)構(gòu)及其中包含的音程關(guān)系三度、二度和四度作為初始條件映射不僅映射了引子，還映射了全曲調(diào)性布局，形成局部與整體的自相似性。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)因初始條件的映射，使得全曲各部分的調(diào)性除強(qiáng)調(diào)三度關(guān)系外，四度關(guān)系呈現(xiàn)出主導(dǎo)趨勢，體現(xiàn)出貝多芬對傳統(tǒng)調(diào)性結(jié)構(gòu)的獨(dú)立思考與重新審視，下屬系調(diào)的地位被提升進(jìn)一步豐富了奏鳴曲式的調(diào)性結(jié)構(gòu)及調(diào)性色彩，使音樂具有前所未有的英雄性和戲劇性。

關(guān)鍵詞： 混沌 分形 初始條件 自相似性 映射

一、引言

混沌分形理論是20世紀(jì)下半葉逐漸建立起來的新興學(xué)說，“是現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代技術(shù)、特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合之產(chǎn)物?！雹佟盎煦纾改撤N對初始條件②敏感的運(yùn)動，在這種運(yùn)動中， 從稍有不同的初始條件出發(fā)的軌線， 將以指數(shù)增加它們分離的程度；分形，指N維空間的一個點(diǎn)集的幾何性質(zhì)，在不同標(biāo)度下， 具有自相似③性質(zhì)， 而且具有小于N的非整數(shù)維數(shù)?！雹堋胺中问腔煦绗F(xiàn)象的幾何描述。⑤”在音樂作品中，混沌表現(xiàn)為在時間序列上對初始條件的敏感依賴性，最終形成“蝴蝶效應(yīng)”；分形則表現(xiàn)為在空間序列上形成初始條件與整體或者不同層次間的自相似性結(jié)構(gòu)。而初始條件作為一個類似于動機(jī)或者樂思具有結(jié)構(gòu)意義的單位通過在不同時間和空間序列軌道上映射⑥使音樂不斷生成、發(fā)展和演化，可想其作用十分重要。筆者就以初始條件為起點(diǎn)，從分形結(jié)構(gòu)的角度對該作品中的調(diào)性布局進(jìn)行觀察和分析。

《悲愴》奏鳴曲第一樂章的曲式結(jié)構(gòu)為有引子、尾聲的奏鳴曲式，其基本調(diào)性選取了具有“英雄性”特點(diǎn)的c小調(diào)。貝多芬在這首作品中除延續(xù)其早期創(chuàng)作風(fēng)格外，還進(jìn)行了一些突破，如在結(jié)構(gòu)方面，該曲最明顯的特征是樂曲開始處有一個長達(dá)10個小節(jié)的引子并且引子材料貫穿全曲；速度方面，莊板（Grave）速度的引子與很快并充滿活力的快板（Allegro di molto e con brio）速度的呈示部形成強(qiáng)烈的對比，使其在音響上極具戲劇張力。以上這些特征在貝多芬的早期鋼琴作品中絕無僅有，顯示出他開始對奏鳴曲式附屬部分的重視。除上述外在形式上的突破，貝多芬于該作品內(nèi)在結(jié)構(gòu)方面的突破主要表現(xiàn)在調(diào)性結(jié)構(gòu)（即此曲的調(diào)性布局）上，他對調(diào)性結(jié)構(gòu)的重新審視和獨(dú)立思考，探索了鋼琴奏鳴曲的新道路與新形式。

二、初始條件及其映射

1.動機(jī)——初始條件

樂曲開始，柱式和弦在fp的力度中打破沉寂，一個四分音符之后，附點(diǎn)節(jié)奏型在莊板的速度中如腳步一般緩緩向前邁進(jìn)，如同徘徊中的人，每向前走兩步又折回一步，猶豫不決；低聲部與高聲部反向進(jìn)行，相互呼應(yīng)；不穩(wěn)定和聲進(jìn)行功能內(nèi)部解決（小節(jié)后兩拍的和聲由c小調(diào)的重導(dǎo)七和弦解決到屬三和弦）的烘托，使得音響、情緒極具張力。經(jīng)過提取骨干音發(fā)現(xiàn)該曲的動機(jī)是由一個先上行三度再下行二度的三音組C-bE-D構(gòu)成，它作為初始條件不僅映射了引子的旋律和調(diào)性，而且還映射了整部作品的調(diào)性布局，全曲在此基礎(chǔ)上展開發(fā)展。見譜例1。

2.引子的調(diào)性布局——初始條件的映射

由于初始條件使然，引子中剩下的9個小節(jié)其骨干音均由初始條件映射而來。如果將每一小節(jié)看作一個單位結(jié)構(gòu)，引子的第2小節(jié)在音高上與動機(jī)呈四度模進(jìn)關(guān)系，是初始條件的上四度移位映射，而在第1-2小節(jié)之間有初始條件的倒影映射bE-D-F作為銜接；第3-4小節(jié)是前兩小節(jié)高八度重復(fù)；從第4小節(jié)第三拍開始，引子的調(diào)性伴隨一串下行的裝飾性音階從c小調(diào)轉(zhuǎn)到其關(guān)系大調(diào)bE大調(diào)。由于調(diào)性轉(zhuǎn)換，第5小節(jié)骨干音音高相較于初始條件則向上進(jìn)行了三度移位，明確了bE大調(diào)調(diào)性。音樂在bE大調(diào)上進(jìn)行兩小節(jié)之后，于第六小節(jié)第三拍運(yùn)用離調(diào)和弦轉(zhuǎn)回主調(diào)c小調(diào)，直到引子結(jié)束。隨后在7-9小節(jié)內(nèi)出現(xiàn)的音組G-bB-bA，bA-C-bB和bB-D-C均產(chǎn)生于音組F-bA-G的上二度模進(jìn)，這映射于初始條件中的二度關(guān)系，見譜例2。值得一提的是，第2、4和6小節(jié)中的音組F-bA-G共重復(fù)了三次，它們除了是初始條件的上四度映射外如此重復(fù)強(qiáng)調(diào)是否還有其他用意？

若把每一小節(jié)的起始音依次提取并排列，按音高關(guān)系對其進(jìn)行歸類可組成兩個和弦，分別是c小調(diào)的主和弦與F大調(diào)的主和弦。由此發(fā)現(xiàn)，宏觀上，引子的調(diào)性結(jié)構(gòu)主要受c小調(diào)和F大調(diào)的支配，四度調(diào)性關(guān)系是初始條件上四度映射的選擇；微觀上，引子的調(diào)性共經(jīng)過c小調(diào)-bE大調(diào)-d小調(diào)-c小調(diào)，在調(diào)性音高上完全映射了初始條件，這些都是初始條件對引子調(diào)性映射的結(jié)果。

三、全曲調(diào)性布局——局部與整體的自相似性

通常，典型奏鳴曲式三個主要部分的調(diào)性布局分別是：呈示部中，主部（主調(diào)）、連接部（調(diào)性過渡）、副部（屬調(diào)）和結(jié)束部（屬調(diào)）；展開部中，導(dǎo)入、中心展開（下屬調(diào)）和屬準(zhǔn)備（屬調(diào)或?qū)俸拖遥辉佻F(xiàn)部中，主部、連接部、副部和結(jié)束部四個部分均回歸主調(diào)。在這首作品中，貝多芬，在調(diào)性布局方面沖破常規(guī)，作了一些嘗試與創(chuàng)新。

呈示部中，主部在c小調(diào)上進(jìn)行；連接部調(diào)性經(jīng)過了c小調(diào)-bA大調(diào)-bB大調(diào)，這是初始條件的倒影映射；副部由be小調(diào)開始，后依次轉(zhuǎn)入bD大調(diào)、be小調(diào)，f小調(diào)，最后在第84小節(jié)處調(diào)性轉(zhuǎn)入主調(diào)的關(guān)系大調(diào)bE大調(diào)，落于bE大調(diào)的屬和弦；結(jié)束部在？E大調(diào)上進(jìn)行，但結(jié)尾處（131-132小節(jié)）其調(diào)性卻離調(diào)到主調(diào)的同主音大調(diào)C大調(diào)上，并半終止于C大調(diào)的屬七和弦。呈示部反復(fù)一次后，其結(jié)束部末尾的調(diào)性又進(jìn)入g小調(diào)，開放終止于g小調(diào)的屬五六和弦（133-134小節(jié)）。

展開部中，導(dǎo)入部分的調(diào)性由g小調(diào)開始兩小節(jié)后轉(zhuǎn)入e小調(diào)；中心部分開始的調(diào)性繼續(xù)沿用e小調(diào)，而后在G大調(diào)上短暫進(jìn)行片刻后又進(jìn)入c小調(diào)的下屬大調(diào)F大調(diào)，然而和聲并不明確。在161小節(jié)處調(diào)性又在f小調(diào)上進(jìn)行四小節(jié)最后回到c小調(diào)，并伴隨著主調(diào)的屬持續(xù)音進(jìn)入屬準(zhǔn)備；最后，主部主題再現(xiàn)。展開部中的中心展開部分的調(diào)性一般會在主調(diào)的下屬系調(diào)上進(jìn)行，但該曲卻從主調(diào)的屬系調(diào)e小調(diào)開始，爾后才進(jìn)入下屬系調(diào)F大調(diào)，F(xiàn)大調(diào)雖已出現(xiàn)但和聲被模糊。緊接著出現(xiàn)的f小調(diào)雖然也屬于主調(diào)下屬系調(diào)，但它同時又與F大調(diào)是同主音大小調(diào)關(guān)系，在全曲多次出現(xiàn)（尤其是再現(xiàn)部），其地位甚至反超F(xiàn)大調(diào)，說明貝多芬此時對調(diào)性布局已只保留調(diào)性，不保留調(diào)式了。

再現(xiàn)部與呈示部最主要的區(qū)別就是各個部分的調(diào)性回歸，尤其是副部調(diào)性要回歸主調(diào)。在該首作品中其調(diào)性回歸卻有不同于以往的特點(diǎn)：主部在主調(diào)上再現(xiàn)但結(jié)構(gòu)被縮減；連接部承接主調(diào)后又依次進(jìn)行c-bD-be-f的上二度轉(zhuǎn)調(diào)；副部調(diào)性以f小調(diào)開始，后轉(zhuǎn)回主調(diào)；結(jié)束部調(diào)性在主調(diào)上進(jìn)行兩小節(jié)后又轉(zhuǎn)入f小調(diào)，這樣的調(diào)性交替共進(jìn)行兩次后音樂最終開放停留在c小調(diào)的重導(dǎo)七和弦。如果連同副部的調(diào)性轉(zhuǎn)換一起計(jì)算，f小調(diào)到c小調(diào)的調(diào)性交替共計(jì)三次。尾聲以c小調(diào)為主，但中間有向f小調(diào)離調(diào)。把奏鳴曲式中各部分出現(xiàn)的調(diào)性依次排列，可發(fā)現(xiàn)初始條件不僅完整或不完整的映射了全曲出現(xiàn)的主要調(diào)性，還使調(diào)性布局形成局部與整體的自相似性（見圖1）。

綜上所述，《悲愴》奏鳴曲雖然作為貝多芬的早期作品可能與他的其他鋼琴作品有相似的地方，但“相似只是瞬間”（歌德），“模仿絕不能代替發(fā)展”，⑦貝多芬在該曲中對調(diào)性布局的重新審視，如呈示部中的副部調(diào)性延遲出現(xiàn)，結(jié)束部調(diào)性到達(dá)主調(diào)的重屬方向，使整個呈示部調(diào)性隱含下屬關(guān)系；再現(xiàn)部調(diào)性雖然回歸主調(diào)，但出現(xiàn)主調(diào)和下屬系調(diào)（副部）相互交替的現(xiàn)象，突破以往傳統(tǒng)范式的調(diào)性安排并不是隨心所欲，毫無章法的，作曲家通過初始條件及其映射，層層遞進(jìn)，使調(diào)性布局形成局部與整體上的高度統(tǒng)一，進(jìn)而掌控全曲。

注釋：

① ④《混沌學(xué)傳奇》盧侃、孫建華編譯 上海翻譯出版公司1991年版（代序）

② 初始條件（initial condition）：在任何一段持續(xù)時間開始時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，這段時間的長短隨研究者的目的而定。 《混沌的本質(zhì)》（‘The Essence of Chaos）[美]E.N.洛倫茲著 劉式達(dá)、劉式適、嚴(yán)中偉譯 周秀驥審校 氣象出版社1997年版第200-204頁

③ 自相似性”（self-similarity）： 點(diǎn)集的一種性質(zhì)， 其中， 在一個尺度上的幾何性質(zhì)與另一個尺度上的相似。 《混沌學(xué)傳奇》盧侃 孫建華編譯 上海翻譯出版社1991年版401頁

⑤ 《混沌·分形與音樂——音樂作品的混沌本質(zhì)與分形研究初探》姜萬通著 上海音樂出版社2005版第80頁

⑥ 映射：是指在音樂作品的發(fā)展過程中初始條件在時間與空間序列軌道上的投射，可分為完全映射與不完全映射。完全映射是對初始條件完整影像的完全或完整的投射，如嚴(yán)格的重復(fù)、倒影和逆行、擴(kuò)大和緊縮等；不完全映射是對初始條件的部分投射，或在投射過程中發(fā)生折射、折疊現(xiàn)象，使初始條件的映射產(chǎn)生各種變化形式。《混沌·分形與音樂——音樂作品的混沌本質(zhì)與分形研究初探》姜萬通著 上海音樂出版社2005版第98頁

⑦ 《自由作曲》[奧]申克著 陳世賓譯 人民音樂出版社1997年版第5頁

參考文獻(xiàn)：

[1]盧侃，孫建華.混沌學(xué)傳奇[M].上海翻譯出版公司，1991.

[2]姜萬通.混沌·分形與音樂——音樂作品的混沌本質(zhì)與分形研究初探[M].上海音樂出版社，2005.

[3]【美】E.N.洛倫茲，劉式達(dá)，劉式適，嚴(yán)中偉，譯，周秀驥，審校.《混沌的本質(zhì)》（‘The Essence of Chaos）[M].氣象出版社，1997.

[4]【奧】申克，陳世賓，譯.由作曲[M].人民音樂出版社，1997.

[5]錢仁康，錢亦平.音樂作品分析教程[M].上海音樂出版社，2013.

[6]羅曼·羅蘭.貝多芬傳[M].人民音樂出版社，1978.

[7]于潤洋.西方音樂通史（修訂版）[M].上海音樂出版社，2009.