高中物理圖像中“面積”的意義和應(yīng)用

(江蘇省啟東中學(xué)，江蘇 南通 226200)

圖1

高中物理中第一次接觸到圖像“面積”的意義,是在推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間關(guān)系時(shí),教材中利用“微元法”說明v-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示位移。圖1為一勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,當(dāng)把時(shí)間分割為無限個(gè)無限小的時(shí)間元Δt,每一個(gè)Δt時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為物體做勻速運(yùn)動(dòng),則小矩形的“面積”可表示該段時(shí)間內(nèi)物體的位移元Δx,然后對(duì)這些位移元求和,就可以用圖線與坐標(biāo)軸包圍的梯形“面積”來表示t時(shí)間內(nèi)物體的位移。這種利用微元法處理,看圖線與橫軸包圍“面積”的方法,還適用于a-t、F-t、P-t、i-t、F-x、E-x、p-V圖像，現(xiàn)將高中階段常見的圖形的“面積”的意義總結(jié)如下。

1 v-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示位移

例1：某同學(xué)欲估算飛機(jī)著陸時(shí)的速度,他假設(shè)飛機(jī)在平直的跑道上做勻減速運(yùn)動(dòng),飛機(jī)在跑道上滑行的距離為x,從著陸到停下來所用的時(shí)間為t。實(shí)際上,飛機(jī)的速度越大,所受的阻力也越大,則飛機(jī)著陸時(shí)的速度應(yīng)是( )。

圖2

2 a-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示速度變化量

例2：一質(zhì)量為2kg的物體受水平拉力F的作用,在粗糙水平面上做加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的a-t圖像如圖3所示,t=0時(shí)其速度大小為2m/s,滑動(dòng)摩擦力大小恒為2N,求0～6s內(nèi)合力的功和6s時(shí)拉力的瞬時(shí)功率。

圖3

3 F-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示沖量

例3：原來靜止的物體受合外力作用時(shí)間為2t0,作用力隨時(shí)間變化情況如圖4所示,求0～2t0時(shí)間內(nèi)合外力的功和合外力的沖量。

圖4

4 i-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示電量

例4：如圖5所示為一電流隨時(shí)間的變化圖像,求電流的平均值。

圖5

5 E-x圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示電勢(shì)差

令電場中兩點(diǎn)沿電場線方向的距離為Δx,當(dāng)Δx很小時(shí),可認(rèn)為兩點(diǎn)間的電場為勻強(qiáng)電場,再根據(jù)公式U=Ed應(yīng)用微元求和可分析得出E-x圖像與x軸所圍的“面積”代表電勢(shì)差。

例5：空間有一沿x軸對(duì)稱分布的電場,其電場強(qiáng)度E隨x變化的圖像如圖6所示，試判斷(x1，0)和(-x1，0)兩點(diǎn)的電勢(shì)高低以及(x1，0)和(x3，0)兩點(diǎn)的電勢(shì)高低。

圖6

解析：(x1，0)和(-x1，0)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的E-x圖線與橫軸包圍的“面積”相等,表示兩點(diǎn)與O點(diǎn)的電勢(shì)差相同,所以它們的電勢(shì)相等。(x1，0)和(x3,0)兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相等,由于與橫軸包圍的“面積”不相等,所以兩點(diǎn)電勢(shì)不等,由于沿著電場的方向電勢(shì)降低，所以(x1，0)的電勢(shì)高于(x3，0)的電勢(shì)。

6 P-t圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

例6：放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用,在0～6s內(nèi)該拉力的功率與時(shí)間的圖像如圖7所示,求0～6s內(nèi)拉力做的功。

圖7

解析：由W=Pt得P-t圖像與橫軸包圍的“面積”表示功。所以0～2s內(nèi)拉力做的功等于圖像與橫軸包圍的三角形“面積”,2～6s內(nèi)拉力做的功等于圖像與橫軸包圍的矩形“面積”,所以0～6s內(nèi)拉力做的功等于兩個(gè)“面積”之和,即為70J。

7 F-x圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

如作用力F為恒力,則F-x圖像中,圖線與橫軸包圍的矩形“面積”表示恒力所做的功。如作用力是變力,在高中階段利用F-x圖像定量計(jì)算的變力是隨位移成線性變化的力。把位移進(jìn)行無限等量分割,在極短位移Δx內(nèi)可以認(rèn)為作用力是恒定的,其所做的功可以用如圖8的矩形面積表示,此面積稱為該段位移內(nèi)的元功ΔW,在發(fā)生位移為x的整個(gè)過程中,力F所做的功等于所有元功之和,即梯形的“面積”, 。

圖8

例7：請(qǐng)利用彈簧彈力做功和功能關(guān)系，推導(dǎo)勁度系數(shù)為k的彈簧在其彈性限度內(nèi)的彈性勢(shì)能公式。

圖9

8 p-V圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功

由W=FΔL，得W=pSΔL=pΔV,在p-V圖像中圖線與橫軸包圍的“面積”表示功。

例8：如圖10所示,一定質(zhì)量某一理想氣體從狀態(tài)A經(jīng)ABCA循環(huán)回到狀態(tài)A,試判斷這一循環(huán)過程中氣體從外界吸熱還是放熱?并求出吸收或放出多少熱量?

圖10

解析：氣體A→B過程等容變化,氣體對(duì)外不做功;B→C過程等壓膨脹,氣體對(duì)外做功的值等于BC圖線與橫軸所包圍的矩形“面積”,即W1=pΔV=2×105J;C→A過程外界對(duì)氣體所做的功等于CA圖線與橫軸所包圍的梯形“面積”,即W2=4×105J。整個(gè)循環(huán)過程外界對(duì)氣體所做的功等于循環(huán)過程的曲線所包圍的三角形“面積”,即W=W2-W1=2×105J。由于整個(gè)循環(huán)過程氣體溫度不變,內(nèi)能不變,根據(jù)熱力學(xué)第一定律ΔU=W+Q，得Q=-2×105J,即氣體向外界放出2×105J的熱量。

在p-V圖像中,按順時(shí)針方向的循環(huán)過程中,循環(huán)曲線所包圍的“面積”表示氣體對(duì)外界做功的多少,按逆時(shí)針方向的循環(huán)過程中,循環(huán)曲線所包圍的“面積”表示外界對(duì)氣體做功的多少。

從以上例題及其解析可以知道,速度、加速度、力、功率、電流對(duì)時(shí)間元的累積分別是位移、速度變化量、沖量、功、電量,力、電場強(qiáng)度對(duì)位移元的累積分別是功、電勢(shì)差,壓強(qiáng)對(duì)體積元的累積是功。在物理圖像中,這些累積的效應(yīng)表示為圖線和橫軸所包圍的“面積”,如果圖線是線性的,則其面積在高中階段利用初等數(shù)學(xué)可求;如果圖線是非線性的,在高中階段可進(jìn)行定性分析,但定量計(jì)算需采用微積分處理。