時變曲線交點(diǎn)的視覺速度和加速度

吳逸飛 胡雨晨

(武漢市黃陂第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院求真學(xué)院 浙江 湖州 313000)

在一些競賽輔導(dǎo)資料中，有這樣求運(yùn)動曲線交點(diǎn)速度的題目．兩個直桿，或者一個直桿一個圓環(huán)，或者兩個圓環(huán)，它們在運(yùn)動，求兩桿交點(diǎn)的速度．這種做法其實(shí)是沒有物理意義的，交點(diǎn)并不是真實(shí)的點(diǎn)，只是視覺意義上的交點(diǎn)．如果從更高維度來看，三維空間相隔一段距離平行放置的兩個桿，從不同角度看，可以有交點(diǎn)，也可以沒有交點(diǎn)．文獻(xiàn)[1～3]利用速度分解合成法和相對運(yùn)動法，求得了一些簡單運(yùn)動曲線交點(diǎn)視覺速度．這兩種方法，對于最一般情況下隨時間變化曲線交點(diǎn)視覺速度和加速度，很難推廣．把曲線看作桿(剛體)，那么曲線的變化只有剛體的轉(zhuǎn)動和平動，但曲線的變化還能是形狀的變化，所以我們要考慮最一般隨時間變化的曲線，而不能局限于運(yùn)動曲線．其次，文獻(xiàn)只考慮勻速或者勻速轉(zhuǎn)動的曲線，而沒有考慮到變速運(yùn)動的曲線，忽略了時變曲線交點(diǎn)的視覺加速度問題．最后，三維空間中3個曲面如果能交在同一點(diǎn)上，那么文獻(xiàn)所用的方法是否能推廣到求交點(diǎn)的視覺速度和加速度？我們發(fā)現(xiàn)，跳出文獻(xiàn)所用的框架，另起爐灶，利用時變曲線的隱含數(shù)表達(dá)式和偏導(dǎo)數(shù)的知識，可以求得時變曲線交點(diǎn)視覺速度和加速度的解析表達(dá)式．

先考慮兩維曲線，設(shè)兩個時變曲線的隱函數(shù)表達(dá)式為

f(x,y,t)=0g(x,y,t)=0

(1)

式(1)理論上可以求出這兩個時變曲線依賴于時間的交點(diǎn)坐標(biāo)x=x(t),y=y(t)，由這個形式解，定義交點(diǎn)的視覺速度和加速度為

(2)

但是一般情況下，這個交點(diǎn)坐標(biāo)的顯式解析表達(dá)式很難得到．給定參數(shù)，交點(diǎn)的數(shù)值解是可以求得的．先定義以下矩陣，其具體含義在下文的推導(dǎo)中可以看出

(3)

定義形式上的曲線速度

加速度為

對式(1)中兩個等式兩邊做全微分，得到

(4)

式(4)中兩個等式兩邊除以dt，再移項，得到

(5)

式(3)可以寫成Av=-vcur

(6)

于是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺速度有形式意義上的解

v=-A-1vcur

(7)

式(5)繼續(xù)對時間t求偏導(dǎo)，得到

(8)

(9)

定義一個矢量C=(vTFv,vTGv)， 那么(8)、(9)兩式可以寫成矩陣形式

t=0

Aa=-acur-2Bv-C

(10)

于是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺加速度有形式意義上的解

a=-A-1acur-2A-1Bv-A-1C

(11)

式(7)和式(11)就是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺速度和加速度的一般表達(dá)式．

以上處理方法的一個好處是很容易能推廣到3個時變曲面交點(diǎn)的視覺速度和加速度計算，不需要畫圖．我們以一個具體的例子來說明如何計算. 設(shè)有兩個時變平面和一個時變球面, 它們的方程是

(12)

上式兩邊對時間求導(dǎo)，得到

(13)

在時間t=0時3個面的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1,1)，代入式(13)，解得交點(diǎn)的視覺速度為

(14)

式(13)繼續(xù)對時間求導(dǎo)，得到

(15)

代入t=0時交點(diǎn)的坐標(biāo)和視覺速度，計算得到此時交點(diǎn)的視覺加速度為

(16)

現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號計算軟件非常發(fā)達(dá)，很容易編程計算以上表達(dá)式．有興趣的讀者不妨利用本文的方法和結(jié)論來出一些相關(guān)的物理競賽模擬題．