點(diǎn)電荷落至無(wú)限大接地導(dǎo)體平板的時(shí)間

陳向正

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

曹 鵬

(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 重慶 401320)

李 力

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

文獻(xiàn)[1,2]里研究了如下問(wèn)題：一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為q的點(diǎn)電荷，靜置于一塊無(wú)限大的接地導(dǎo)體板附近，二者的間距為d.釋放點(diǎn)電荷后，在不計(jì)點(diǎn)電荷所受重力、空氣阻力以及相對(duì)論效應(yīng)的情況下，求點(diǎn)電荷到達(dá)導(dǎo)體板需要的時(shí)間.

在點(diǎn)電荷附近的無(wú)限大接地導(dǎo)體板，由于點(diǎn)電荷電場(chǎng)的作用，導(dǎo)體表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力等于鏡像電荷對(duì)點(diǎn)電荷的庫(kù)侖力.在其作用下，點(diǎn)電荷將被曳引到導(dǎo)體板的上表面.因?yàn)橄耠姾傻碾姾闪坎蛔?，而位置與運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷關(guān)于平面鏡像對(duì)稱變化，容易轉(zhuǎn)化為固定力心的開(kāi)普勒問(wèn)題，從而可用開(kāi)普勒第三定律解決.

遵循上述思路，文獻(xiàn)[1，2]給出了解答.然而文獻(xiàn)[1]的解答過(guò)于簡(jiǎn)略，沒(méi)有詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程.文獻(xiàn)[2]則缺少“作固定力心處理”這一關(guān)鍵細(xì)節(jié)的交待，以至于難以理解將庫(kù)侖力變換為萬(wàn)有引力后，點(diǎn)電荷m(q)的施力物體質(zhì)量M的表達(dá)式是如何得出的.現(xiàn)遵循文獻(xiàn)[1，2]的思路，詳細(xì)、完整地解答如下.

如圖1所示，以點(diǎn)電荷q在板上的投影點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平向右為正方向，建立x軸.設(shè)某時(shí)刻點(diǎn)電荷q和像電荷-q的坐標(biāo)分別為x，-x，對(duì)q用牛頓第二定律，有

(1)

圖1 點(diǎn)電荷在鏡像電荷引力作用下的運(yùn)動(dòng)

(2)

質(zhì)點(diǎn)m(q)的運(yùn)動(dòng)可視為一個(gè)極“扁”退化后呈直線段的橢圓軌道運(yùn)動(dòng).由于釋放點(diǎn)v=0(最小)，而落至O點(diǎn)時(shí)的速度v最大，故這兩點(diǎn)相當(dāng)于橢圓長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，從而半長(zhǎng)軸為

設(shè)質(zhì)點(diǎn)m(q)到達(dá)金屬板的時(shí)間為Td，正好為軌道周期T的一半.將

代入開(kāi)普勒第三定律

得

文獻(xiàn)[3]研究了在大范圍內(nèi)質(zhì)點(diǎn)僅受地球萬(wàn)有引力時(shí)，自離地面H遠(yuǎn)處自由下落至地面的時(shí)間.在這個(gè)新問(wèn)題中，地球應(yīng)視為質(zhì)量分布均勻的球體而非質(zhì)點(diǎn)(圖2)，則受力物體m的運(yùn)動(dòng)軌跡為退化的橢圓軌道上一段長(zhǎng)短任意的弧，落地時(shí)間也就不等于橢圓軌道周期的一半了.如硬要用前述方法求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則需用繁瑣而難懂的初等幾何技巧求出矢徑掃過(guò)的面積，再用開(kāi)普勒第三定律聯(lián)立求解[4]，整個(gè)過(guò)程非常復(fù)雜.

圖2 質(zhì)點(diǎn)在地球萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)

鑒于此，本文針對(duì)文獻(xiàn)[1,2]的問(wèn)題再介紹兩種方法，它們對(duì)于文獻(xiàn)[1,2] 包括文獻(xiàn)[4]的問(wèn)題，都同樣的簡(jiǎn)捷而普適.

另解一(大范圍自由落體運(yùn)動(dòng)公式法)：文獻(xiàn)[3]得出了大范圍的自由落體運(yùn)動(dòng)落地時(shí)間T的表達(dá)式

(3)

其中M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，H為靜止下落的初始高度.只需令

由H=d且R=0(即M縮為一個(gè)質(zhì)點(diǎn))，代入式(3)，化簡(jiǎn)即得

另解二(動(dòng)力學(xué)方程積分法)：利用

把式(1)化為

則

積分得

作變換

得

最后順便指出，現(xiàn)在的中學(xué)奧賽輔導(dǎo)中有不少技巧性很高的初等方法，但多局限于解決一些特殊簡(jiǎn)單的情況.其實(shí)現(xiàn)行人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2》對(duì)“導(dǎo)數(shù)”、“微積分的基本原理”及“定積分在幾何、物理中的應(yīng)用”已有不少介紹，許多省市的高考數(shù)學(xué)試題的壓軸題也涉及導(dǎo)數(shù)知識(shí)，甚至對(duì)定積分也有相應(yīng)的考查.在這樣的背景下，不妨向優(yōu)秀學(xué)生介紹一些力所能及的微積分方法，畢竟學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中使用微積分方法處理問(wèn)題是大勢(shì)所趨，更有意義的是盡量規(guī)避由初等技巧帶來(lái)的對(duì)思維的束縛，讓學(xué)生在以后高等知識(shí)的學(xué)習(xí)、研究中更具活力和創(chuàng)造性.