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    多角度論述洛倫茲力做功問(wèn)題

    2018-08-31 07:45:58鄧欣宇
    物理通報(bào) 2018年9期
    關(guān)鍵詞:細(xì)管洛倫茲外力

    鄧欣宇

    (南京市金陵中學(xué) 江蘇 南京 210005)

    洛倫茲力是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力,是研究帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ),正確認(rèn)識(shí)洛倫茲力,對(duì)于理解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)有重要作用.關(guān)于洛倫茲力做功高中《物理·選修3-1》中僅輕描淡寫地說(shuō)洛倫茲力總是與粒子的運(yùn)動(dòng)方向垂直,不對(duì)粒子做功.

    但下面的問(wèn)題中,似乎洛倫茲力又做了功.為了徹底搞清楚洛倫茲力是否做功,本文多角度地進(jìn)行了論述.

    1 問(wèn)題描述

    在空間有豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里.在磁場(chǎng)中有一長(zhǎng)L,內(nèi)壁光滑且絕緣的細(xì)筒水平放置,筒底部有一質(zhì)量為m,帶正電荷q的小球.現(xiàn)使細(xì)管在水平面內(nèi)以u(píng)的速度向右勻速運(yùn)動(dòng).問(wèn)帶電小球離開細(xì)筒時(shí)其動(dòng)能增加多少?洛倫茲力所起的作用是什么?

    2 受力分析

    為了清晰地分析小球的運(yùn)動(dòng),現(xiàn)建立直角坐標(biāo)系xOy,小球初始靜止位置為坐標(biāo)原點(diǎn),細(xì)管運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤方向,垂直方向?yàn)閥方向,如圖1所示.

    圖1 直角坐標(biāo)系

    小球隨細(xì)管一起沿x正向運(yùn)動(dòng),磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)的帶電小球有力的作用,這個(gè)力叫洛倫茲力.對(duì)于運(yùn)動(dòng)的正電荷,洛倫茲力的方向確定是正電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向所在的平面內(nèi),右手四指由正電荷運(yùn)動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)至磁場(chǎng)方向,大拇指所指的方向即是洛倫茲力的方向.如果是負(fù)電荷,大拇指所指方向的反方向即是洛倫茲力的方向.本例中,四指由u旋轉(zhuǎn)至B方向,確立了因u而產(chǎn)生的洛倫茲力f1指向y的正方向.在洛倫茲力f1作用下,小球在y方向運(yùn)動(dòng),速度為v,因v又產(chǎn)生洛倫茲力f2,f2指向x的負(fù)方向,如圖2(a)所示.

    圖2 受力分析

    本例B和u垂直,洛倫茲力f1和f2的大小

    f1=qBuf2=qBv

    (1)

    由于小球沿x方向做勻速運(yùn)動(dòng),小球在x方向的受力是平衡的,說(shuō)明細(xì)管的管壁對(duì)小球有x正方向的彈性力f3,有

    f2=-f3

    由牛頓第三定律作用力與反作用力關(guān)系知道,細(xì)管的管壁對(duì)小球有x負(fù)方向的彈性力,同時(shí)細(xì)管的管壁受到小球?qū)ζ鋢正方向的彈性力f4,如圖2(b)所示,有

    f4=-f3=f2

    (2)

    由于細(xì)管沿x方向做勻速運(yùn)動(dòng),其x方向受力是平衡的,則細(xì)管還要受到外力f5作用

    f5=-f4

    (3)

    由式(2)和式(3)知道,f5=-f2.這說(shuō)明外力f5與洛倫茲力f2大小相等,方向相反.

    上面的分析中出現(xiàn)了兩個(gè)洛倫茲力,它們與小球運(yùn)動(dòng)速度存在“先后”關(guān)系,如圖3所示.

    圖3 力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

    圖中可見:力產(chǎn)生了運(yùn)動(dòng),此時(shí)力是“母”,運(yùn)動(dòng)是“子”,兩者相平行.運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生洛倫茲力,此時(shí)運(yùn)動(dòng)是“母”, 洛倫茲力是“子”,兩者相垂直.

    3 運(yùn)動(dòng)分析

    將x,y方向分別應(yīng)用牛頓第二定理,得

    (4)

    小球沿x軸做勻速運(yùn)動(dòng),沿y軸做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng).

    小球離開細(xì)管時(shí)速度

    (5)

    小球離開細(xì)管時(shí)動(dòng)能增加

    (6)

    小球運(yùn)動(dòng)方程

    (7)

    消去式(7)中的t,得小球軌跡方程

    (8)

    這是一個(gè)二次函數(shù).

    4 做功分析

    本文從功的定義、功率、力與速度關(guān)系及運(yùn)動(dòng)軌跡4個(gè)角度分析洛倫茲力做功情況.

    4.1 功的定義角度

    功的定義為W=Fscosθ,一個(gè)力做功與否,取決于力和物體在力的方向上發(fā)生的位移,與力的名稱、性質(zhì)無(wú)關(guān).對(duì)于本例中,在洛倫茲力f1的方向上,小球有位移,所以洛倫茲力f1對(duì)小球是做功的.f1大小不變,在小球離開細(xì)管時(shí),其位移為L(zhǎng).f1做功

    Wf1=f1L=qBuL

    (9)

    洛倫茲力f2的反方向上,小球也有位移,所以洛倫茲力f2對(duì)小球也做功,為負(fù)功.f2大小是變化的,f2做功的計(jì)算需用積分,在小球離開細(xì)管時(shí),f2反方向位移為s.f2所做的功

    (10)

    洛倫茲力f1與f2做功總和

    Wf1+Wf2=0

    (11)

    洛倫茲力f1與f2做功總和為零.

    4.2 功率角度

    功率是指力在單位時(shí)間內(nèi)做的功,功率=力×速度.

    f1和f2的功率

    Pf1=f1v=qBuv

    Pf2=-f2u=-qBvu

    (12)

    所以

    Pf1+Pf2=0

    (13)

    洛倫茲力f1與f2每個(gè)時(shí)刻功率之和為零,則f1與f2一段時(shí)間內(nèi)做功總和必為零,即洛倫茲力f1與f2做功總和為零.

    4.3 力與速度關(guān)系角度

    圖2(a)中f1和f2的合力與u和v的合速度有何關(guān)系?

    (14)

    α=ββ+γ=α+γ=90°

    (15)

    可見f1,f2的合力與u,v的合速度垂直.也就是說(shuō)洛倫茲力的合力與小球的合運(yùn)動(dòng)方向垂直.所以洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零.

    4.4 運(yùn)動(dòng)軌跡角度

    小球在y方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),y方向速度v滿足下列關(guān)系

    (16)

    所以

    (17)

    對(duì)小球軌跡方程式(8)求導(dǎo),得出

    所以

    f1dy=f2dx

    (18)

    Wf1+Wf2=

    (19)

    式中xL是小球在y方向運(yùn)動(dòng)的位移L對(duì)應(yīng)的x方向的位移.

    以上從4個(gè)角度分析了洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零.

    4.5 洛倫茲力的作用

    既然洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零,那么小球離開細(xì)管時(shí)動(dòng)能為什么會(huì)增加?下面來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題.

    前面已證明得出外力f5與洛倫茲力f2大小相等,方向相反,f5=-f2.則外力f5在x方向做正功,考慮到式(6)、式(9)和式(11)得

    Wf5=-Wf2=Wf1=ΔEk

    (20)

    說(shuō)明外力克服洛倫茲力f2,通過(guò)洛倫茲力f1做功轉(zhuǎn)化,外力做功轉(zhuǎn)變?yōu)樾∏騽?dòng)能的增加.

    也就是說(shuō)小球動(dòng)能的增加完全來(lái)源于外力做功,洛倫茲力在其中只是起到“二傳手”作用,對(duì)小球動(dòng)能的增加沒有本質(zhì)來(lái)源作用.

    5 結(jié)論

    (1)細(xì)管中帶電小球在磁場(chǎng)中隨細(xì)管做勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí),還做勻加速直線運(yùn)動(dòng),帶電小球運(yùn)動(dòng)軌跡為二次函數(shù).

    (2)洛倫茲力的合力與小球的合運(yùn)動(dòng)方向垂直.

    (3) 從功的定義、功率、力與速度關(guān)系及運(yùn)動(dòng)軌跡4個(gè)角度分析得出洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零.

    (4)小球動(dòng)能的增加完全來(lái)源于外力做功,洛倫茲力分力做功在能量轉(zhuǎn)換中只是起到“二傳手”作用,對(duì)小球動(dòng)能的增加沒有本質(zhì)來(lái)源作用.

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