剛體轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀在教學(xué)上的應(yīng)用

楊振清 宋 頂 林春丹 周廣剛 張萬松

(中國石油大學(xué)(北京) 1理學(xué)院； 2 機(jī)械與儲運(yùn)工程學(xué)院，北京 102200)

轉(zhuǎn)動慣量是反映剛體繞軸轉(zhuǎn)動時(shí)慣性量度的重要物理量，在工程、工業(yè)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。大學(xué)物理中剛體轉(zhuǎn)動慣量部分是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)[1,2]。目前轉(zhuǎn)動慣量演示實(shí)驗(yàn)主要是外形相同質(zhì)量分布不同的圓柱體在斜面上滾動快慢來研究轉(zhuǎn)動慣量對滾動速度的影響，因其形狀單一，難以進(jìn)行定量分析。為此我們設(shè)計(jì)了能夠演示并定量比較典型形狀包括薄圓筒、圓柱體、薄球殼、實(shí)心球體在斜面上滾動快慢的轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀，同時(shí)能夠測量桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸位置變化引起桿狀剛體轉(zhuǎn)動速度變化,從而有助于學(xué)生理解剛體轉(zhuǎn)軸位置變化會導(dǎo)致轉(zhuǎn)動慣量大小變化的平行軸定理[3-6]。通過該裝置的演示加強(qiáng)學(xué)生對轉(zhuǎn)動慣量的理解。

1 裝置的組成結(jié)構(gòu)及原理

1.1 剛體轉(zhuǎn)動慣量演示儀的組成

實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由斜面基座、豎直基座、光電計(jì)時(shí)器組成。豎直基座用于觀察桿狀剛體繞軸轉(zhuǎn)動情況。轉(zhuǎn)軸用于固定桿狀剛體，繞在滑輪上的繩索設(shè)有擋光片且其自由端連接重錘，滑輪在重錘的作用下轉(zhuǎn)動，擋光片在下降過程中依次經(jīng)過光電門A1和光電門A2，使光電計(jì)時(shí)器A隨之啟動計(jì)時(shí)和停止計(jì)時(shí)并顯示下落時(shí)間。斜面基座用于觀察剛體在斜面滾動的快慢。剛體初時(shí)被第一擋剛體板固定在斜面頂部，當(dāng)向上抬起擋剛體板的瞬間，第一擋光門桿通過光電門B1，使光電計(jì)時(shí)器B開始計(jì)時(shí)，剛體開始沿斜面滾落；隨著剛體滾落至下面，第二擋光門桿轉(zhuǎn)動后通過第二光電門B2時(shí)停止計(jì)時(shí),光電計(jì)時(shí)器B顯示剛體滾動時(shí)間。滾動斜面的底端設(shè)有制動擋板,以防止剛體滾出斜面基座外。

圖2是制作完成的剛體轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀實(shí)物圖，光電計(jì)時(shí)器A 和B的計(jì)時(shí)單位可以分別調(diào)整為秒或毫秒。桿狀剛體下落時(shí)間較短，所以以毫秒為單位來顯示。剛體在斜面滾動時(shí)間相對較長,所以以秒為單位顯示。

1.2 實(shí)驗(yàn)測量原理

實(shí)驗(yàn)分為半徑相同的圓柱、球形剛體沿斜面純滾動時(shí)間(斜面夾角滿足純滾動)的測量和桿狀剛體繞不同的軸轉(zhuǎn)動時(shí)系統(tǒng)在垂直轉(zhuǎn)動架中下落的時(shí)間測量兩部分。半徑相同的圓柱、球形剛體在斜面頂部由靜止開始滾動到底部光電計(jì)時(shí)器B記錄滾動時(shí)間。第二部分實(shí)驗(yàn)滑輪轉(zhuǎn)軸中心與桿狀剛體中心連接或與剛體一端連接以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸在桿狀剛體中心或轉(zhuǎn)軸在剛體一端的兩種情況。光電計(jì)時(shí)器A記錄上述兩種情況下系統(tǒng)從光電門A1到A2的所需時(shí)間。通過上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證質(zhì)量分布對滾動速度的影響及桿狀剛體系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸位置對轉(zhuǎn)動慣量的影響。

1.2.1 圓柱、球形剛體實(shí)驗(yàn)

如圖3所示，半徑為R,

質(zhì)量為m的剛體在傾角為θ的斜面上作純滾動。質(zhì)心為O點(diǎn)。過質(zhì)心平行于斜面的坐標(biāo)軸為y軸,過質(zhì)心垂直斜面的坐標(biāo)軸為x軸，建立坐標(biāo)軸并進(jìn)行受力分析。設(shè)質(zhì)心滾動距離為L,滾動時(shí)間為t1，剛體轉(zhuǎn)動慣量為J。(設(shè)靜摩擦力f沿斜面向上)

圖1 剛體轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀結(jié)構(gòu)圖

圖2 剛體轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀實(shí)物圖

圖3 斜面滾動剛體受力分析圖

由質(zhì)心運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理可得剛體的動力學(xué)方程[7,8]：

解方程組可得

(6)

1.2.2 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)

如圖4所示,質(zhì)量為m，長度為l的桿狀剛體固定在轉(zhuǎn)軸上，繞在半徑為r的轉(zhuǎn)軸上的細(xì)線與質(zhì)量為M1的重錘連接，滑輪質(zhì)量為M2,擋光門桿依次經(jīng)過光電門A1和A2所花費(fèi)時(shí)間為t，下落的距離為H。設(shè)下落的加速度為a，滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度為α。

圖4 桿狀剛體系統(tǒng)受力分析圖

圖4中，M1受到的拉力T2和滑輪受到的拉力T1大小相等，以T表示。定滑輪和桿狀剛體組成的系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量為J*。對軸O,有

對細(xì)繩受力分析,得

M1a=M1g-T

(9)

同時(shí)有

(10)

解此方程組可得

(11)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析

2.1 圓柱、形球形剛體實(shí)驗(yàn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)動慣量時(shí)，常常認(rèn)為剛體在斜面上滾動的快慢與質(zhì)量有關(guān)；半徑小的球體或短的柱體滾動比半徑大、較長的柱體要滾動得快。因此我們針對學(xué)生在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)動慣量時(shí)存在的理解誤區(qū)，利用該轉(zhuǎn)動慣量演示儀做了對比實(shí)驗(yàn)。

為了定性地了解剛體在斜面做無滑動滾動的快慢與哪些因素有關(guān)，如表1中所示相鄰兩個(gè)為一組，共進(jìn)行了4組對比實(shí)驗(yàn)：除對比因素外，其他條件相同。

表1 材質(zhì)、半徑及長度不同時(shí)的滾動對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

前3組實(shí)驗(yàn)中滾動時(shí)間幾乎相同，說明了剛體在斜面上純滾動快慢與剛體的材質(zhì)(即質(zhì)量)、長度、半徑無關(guān)。而第4組半徑不同的球殼滾動時(shí)間有偏差，這是因?yàn)榍驓び幸欢ǖ暮穸?，若按球殼處理半徑小的比半徑大?nèi)徑厚度的影響更大,所以兩個(gè)半徑不同的薄球殼滾動時(shí)間有一定的偏差。因此半徑不同的實(shí)心剛體如第1組實(shí)驗(yàn)演示滾動時(shí)間與半徑無關(guān)的現(xiàn)象效果更為理想。

為了進(jìn)一步探究說明不同形狀對剛體滾動快慢有何影響，半徑相同的薄球殼、球體, 底面圓半徑相同的薄圓環(huán)、圓盤圓形在斜面無滑滾動測得時(shí)間如表2所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示薄球殼與薄圓筒的質(zhì)量及半徑相同,但二者滾動時(shí)間不相同。而形狀半徑相同的球殼與球體、薄圓筒與圓柱體滾動時(shí)間仍然不相同，但是球殼比實(shí)心球體、薄圓筒比圓柱體需要的時(shí)間長，這是因?yàn)榍罢叩馁|(zhì)量分布相對于轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)一些。

表2 不同形狀、半徑相同時(shí)的剛體滾動對比

設(shè)測量剛體標(biāo)準(zhǔn)J/m剛R2為λ，將式(6)兩邊同時(shí)平方可得：

(12)

根據(jù)測量的剛體滾動時(shí)間計(jì)算對應(yīng)的λ(J/m剛R2) 數(shù)據(jù)如表3所示，與理論值偏差在3.0%以內(nèi)。

表3 轉(zhuǎn)動慣量系數(shù)比較

利用最小二乘法處理數(shù)據(jù)擬合得曲線如圖5所示，其方程為

t2=0.7898λ+0.8095

(13)

圖5 t2與J/m剛R2擬合圖

2.2 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)

常有學(xué)生誤認(rèn)為一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動慣量是一個(gè)定值。本裝置通過巧妙的設(shè)計(jì)可以改變桿狀剛體轉(zhuǎn)軸的位置:轉(zhuǎn)軸在桿狀剛體中心和在剛體一端兩種情況。假設(shè)定滑輪和桿狀剛體組成的系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量J*可表示為

(14)

(15)

由此得桿狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量

(16)

我們進(jìn)行了無桿狀剛體、桿狀剛體中心安裝在滑輪中心及剛體一端連在滑輪中心3種情況下的實(shí)驗(yàn)。本實(shí)驗(yàn)剛體下落高度H=58.30cm,M1=105g,r=18.14mm。通過改變其轉(zhuǎn)軸位置測量的系統(tǒng)下落時(shí)間及根據(jù)式(16)求出的轉(zhuǎn)軸在中心及轉(zhuǎn)軸在桿一端時(shí)的桿狀下落高度剛體的轉(zhuǎn)動慣量值見表4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改變轉(zhuǎn)軸位置,引起了轉(zhuǎn)動慣量的變化,從而影響了桿狀剛體轉(zhuǎn)動速度。

表4 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出的轉(zhuǎn)軸在桿的中心位置和轉(zhuǎn)軸在桿一端時(shí)的轉(zhuǎn)動慣量滿足1∶4的關(guān)系,說明剛體的轉(zhuǎn)動慣量大小隨著轉(zhuǎn)軸位置改變而發(fā)生變化，同時(shí)也驗(yàn)證了剛體的平行軸定理,該裝置可以用于實(shí)現(xiàn)定量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測量。

3 結(jié)語

我們設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)動慣量綜合演示儀可以演示幾種典型形狀的剛體在斜面上的純滾動現(xiàn)象，既可以定性比較滾動時(shí)間長短與剛體轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系，同時(shí)還可以進(jìn)行轉(zhuǎn)動慣量的定量測量。通過改變桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸位置從而改變其轉(zhuǎn)動慣量的大小，可以用于驗(yàn)證平行軸定理。該設(shè)備桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)非常巧妙，演示現(xiàn)象直觀生動，不僅能夠幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)動慣量概念及影響其大小的相關(guān)因素，顯著提高教學(xué)效果。由于該設(shè)備具備定量測量系統(tǒng)，所以可以開發(fā)新的力學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。

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