高精密機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)模型降階技術(shù)*

宣 賀，華青松，張洪信，程聯(lián)軍，趙清海，毛新凱

(青島大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.動(dòng)力集成及儲(chǔ)能系統(tǒng)工程技術(shù)中心，山東 青島 266071)

0 引言

機(jī)床工業(yè)是我國(guó)加工制造業(yè)的根本。機(jī)床工作時(shí)振動(dòng)可產(chǎn)生較大的誤差，機(jī)床的模型降階可以減小振動(dòng)，提高機(jī)床的生產(chǎn)效率。

高精密機(jī)床的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度越高，分析時(shí)的時(shí)間和費(fèi)用增加的越快。這就需要對(duì)高精密機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階，進(jìn)幾年，動(dòng)力縮減技術(shù)被廣泛應(yīng)用到模型的降階研究和相關(guān)領(lǐng)域，在振動(dòng)分析中具有特別重大的意義[1-2]。

動(dòng)力減縮技術(shù)模型降階主要包括兩類：①整體降階法，包括動(dòng)力縮聚，模態(tài)法、Lanozos等法。②局部降階法，包括動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法或模態(tài)綜合法[3-4]。控制理論中的降階方法主要有：平衡降階法(Balanced Reduction)、代價(jià)分析法(Cost Analysis)、最優(yōu)投影法(Optimal Projection)，但是這些方法對(duì)于降低維數(shù)過(guò)高的機(jī)床模型的階數(shù)有一定的困難。因此，本文應(yīng)用動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法，即對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，首先對(duì)物理空間模型降階，然后與物理模型和平衡降階法聯(lián)系起來(lái)，得到的降階模型不僅階數(shù)低，而且所得狀態(tài)空間方程具有可觀性和可控性，這樣就能保證控制器的設(shè)計(jì)與分析。

1 動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法

動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階技術(shù)把主自由度分為自由度和副自由度，利用主、副自由度之間的動(dòng)力縮聚矩陣把原系統(tǒng)的剛度矩陣，阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣投影到一個(gè)只有主自由度的物理空間中[5]。從數(shù)學(xué)角度上看，動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法是一種物理變換，降階后的模型仍在物理空間。

如圖1所示，為了對(duì)機(jī)床實(shí)時(shí)進(jìn)給位置進(jìn)行建模，需要在進(jìn)給部件柔性體1和2之間實(shí)時(shí)定義聯(lián)接單元，并刪除前一時(shí)間點(diǎn)已建立的聯(lián)接單元，以獲得該位置的多體耦合模型。柔性體之間聯(lián)接單元的生成和刪除通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，最重要的是快速搜尋所需的聯(lián)接單元節(jié)點(diǎn)。常用聯(lián)接單元是彈簧——阻尼單元[6-7]。采用這種單元聯(lián)接兩個(gè)自由子結(jié)構(gòu)時(shí)，要求1、2自由子結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)的位置、序號(hào)一一對(duì)應(yīng)，這給有限元網(wǎng)格劃分提出了很高的要求；如果接合面上節(jié)點(diǎn)單元比較多，并且是非等距分布，則無(wú)法通過(guò)節(jié)點(diǎn)生成聯(lián)接單元[8]。同時(shí)，如果接合面上節(jié)點(diǎn)數(shù)目很大，則尋找聯(lián)接單元節(jié)點(diǎn)的所需時(shí)間會(huì)很長(zhǎng)，導(dǎo)致系統(tǒng)耦合建模時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，不能滿足高效建模的要求。

圖1 采用彈簧-阻尼鏈接單元聯(lián)接的柔性體系統(tǒng)

本文將研究高效的節(jié)點(diǎn)搜尋域floor方法。將進(jìn)給路線長(zhǎng)度進(jìn)行一維等距離劃分，長(zhǎng)度為最近兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離[9-10]。將等距的域按順序生成一個(gè)向量，每個(gè)向量元素包含該域中的所有單元節(jié)點(diǎn)。實(shí)時(shí)域中序號(hào)為m的元素表達(dá)方式為：

(1)

xact表示進(jìn)給裝置(自由子結(jié)構(gòu)2)在y方向上的實(shí)時(shí)位置，l為導(dǎo)軌(自由子結(jié)構(gòu))長(zhǎng)度。建立實(shí)時(shí)位置xact的彈簧——阻尼聯(lián)接單元時(shí)，直接選取該時(shí)間點(diǎn)離MASTER節(jié)點(diǎn)最近的對(duì)應(yīng)域中的節(jié)點(diǎn)作為單元節(jié)點(diǎn)[11]。通過(guò)定義節(jié)點(diǎn)搜尋域的方法，避免了花很長(zhǎng)時(shí)間找聯(lián)接單元節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題，從而確?？焖俳５囊?。根據(jù)實(shí)際模型中機(jī)床結(jié)合部的實(shí)際情況，也可將節(jié)點(diǎn)搜尋域定義為二維、或者三維的向量，在公式(1) 中添加yact和zact即可。搜尋節(jié)點(diǎn)的算法等同于一維算法。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程可用如下方程表示：

(2)

式中，M、C和K分別為機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，它們均以n×n階對(duì)稱矩陣，X為位移向量，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)受到的外作用力向量。把該結(jié)構(gòu)的總自由度n分為主自由度m和副自由度兩部分，則式(2)可用分塊的形式表示為：

(3)

假定結(jié)構(gòu)主、副自由度之間的關(guān)聯(lián)矩陣為R，即:

(4)

關(guān)聯(lián)矩陣R可由下式來(lái)解，

R=Kss-1[(Msm+MssR)MR-1KR-Ksm]

(5)

關(guān)聯(lián)矩陣R包含了降階模型的參數(shù)，而這些參數(shù)與關(guān)聯(lián)矩陣R有關(guān)，因此常用迭代法求解，當(dāng)引入迭代法后，經(jīng)過(guò)(i)次迭代后降階系統(tǒng)動(dòng)力方程為：

(6)

其中，

MR(i)=Mmm+(R(i))TMsm+
MmsR(i)+(R(i))TMssR(i)

(7)

DR(i)=Dmm+(R(i))TDsm+
DmsR(i)+(R(i))TDssR(i)

(8)

KR(i)=Kmm+(R(i))TKsm+
KmsR(i)+(R(i))TKssR(i)

(9)

FR(i)(t)=Fm(t)+(R(i))TFs(t)

(10)

R的初始值R(0)=-Kss-1Ksm。

主自由度的選擇和主自由度的多少對(duì)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法尤為重要，因?yàn)樗鼈冎苯佑绊懙浇惦A方法的精度和適用范圍[12-14]。一般而言，從定性的角度出發(fā)，應(yīng)該遵循以下規(guī)則，①所選擇的主自由度應(yīng)該是質(zhì)量陣中最大元素所對(duì)應(yīng)的自由度，或是在所選的振動(dòng)幅值中，幅值變化最大的自由度。②對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)而言，主自由度應(yīng)選擇線位移，而不是轉(zhuǎn)角位移。③對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)該是慣性和柔度均較大的區(qū)域。④從定量的角度出發(fā)，Matta和Shah直接選擇m個(gè)對(duì)角元素的最小比值ri=kii/Mii所對(duì)應(yīng)的自由度為主自由度。⑤對(duì)于主自由度的選擇和多少，應(yīng)該根據(jù)問(wèn)題實(shí)際情況而定。

2 高精密機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)降階分析

在進(jìn)行一般動(dòng)力學(xué)仿真分析時(shí)，一些螺栓連接往往用固定副約束，但進(jìn)行振動(dòng)分析尤其想考慮振動(dòng)通過(guò)螺栓連接進(jìn)行傳遞時(shí)需要使用彈性連接描述部件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。這時(shí)使用Adams/Vibration提供了兩種阻尼器的連接方式，一種是FD阻尼器，另一種是FD 3D阻尼器，其中FD阻尼器只阻礙兩個(gè)構(gòu)件間在一個(gè)自由度上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而FD 3D阻尼器可以同時(shí)阻礙兩個(gè)構(gòu)件在多個(gè)自由度上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

圖2 進(jìn)給系統(tǒng)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在ADAMS中對(duì)Adams/Vibration模塊進(jìn)行加載，然后進(jìn)行如下操作。

輸入通道：在進(jìn)給系統(tǒng)模型中，主要考慮工作臺(tái)上的零件在切削力的作用下所導(dǎo)致的進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)，所以在工作臺(tái)的x方向上添加激勵(lì)力。力的大小為600N，相位為0o、方向沿x軸的激勵(lì)力。

輸出通道：絲杠的振動(dòng)是影響加工精度的一個(gè)至關(guān)重要的因素，所以輸出通道選擇絲杠上的中間點(diǎn)，以便更加細(xì)致入微的觀察，故對(duì)絲桿的中間點(diǎn)定義的輸出通道為z方向[15]。

3 降階仿真分析

對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析，運(yùn)行ADAMS/Vibration模塊，點(diǎn)擊Test，然后點(diǎn)擊Vibration Analysis，在ADAMS中將絲杠的柔性體轉(zhuǎn)換為剛性體，得到剛性體全模型絲杠上中點(diǎn)的幅頻特性和相頻特性[16]。然后在全模型的基礎(chǔ)上添加FD 3D阻尼器，設(shè)置C1=0.006，K1=1.25，對(duì)其進(jìn)行模型仿真，進(jìn)入后處理模塊，得到降階模型絲杠中點(diǎn)的幅頻特性和相頻特性。圖3是原始模型與降階模型的幅頻特性曲線，圖4是原始模型與降階模型的相頻特性曲線。

圖3 原始模型與降階模型的幅頻特性曲線

圖4 原始模型與降階模型的相頻特性曲線

從圖3和圖4可以看出，在模型仿真運(yùn)行中，降階模型能夠很好的逼近剛?cè)嵩寄Ｐ?。平衡降階模型基本上重現(xiàn)了原始模型的動(dòng)態(tài)特性，既說(shuō)明了柔性體的仿真準(zhǔn)確性，又說(shuō)明本文中動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法能夠準(zhǔn)確、可靠地實(shí)現(xiàn)主動(dòng)約束層阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型降階[17]。在狀態(tài)空間對(duì)原始模型進(jìn)行子結(jié)構(gòu)降階。不僅能夠降低模型階數(shù)，而且所得狀態(tài)空間方程可觀且可控，這在振動(dòng)主動(dòng)控制中具有特別重要的意義。

對(duì)于二階線性系統(tǒng)(a,b,c,d)，定義可控矩陣，可觀矩陣如下：

根據(jù)以上公式可以得出，平衡降階模型可控矩陣及可觀矩陣的秩為16。當(dāng)系統(tǒng)可控時(shí)，可控矩陣gc滿秩；當(dāng)系統(tǒng)可觀時(shí)，可觀矩陣go滿秩[18]，降階模型即可控又可觀，由于兩次降階后模型階數(shù)很低，使得實(shí)時(shí)振動(dòng)變主動(dòng)控制成為可能。

在ADAMS仿真模型中，以絲杠的中點(diǎn)為研究對(duì)象，進(jìn)行仿真分析，再轉(zhuǎn)換為剛性體，進(jìn)行仿真[19]。得到模型降階前后的脈沖響應(yīng)，如圖6所示。表1反映的是降階前后仿真計(jì)算時(shí)間對(duì)比。

圖5 絲杠中心速度時(shí)間歷程

圖6 模型降階前后的脈沖響應(yīng)

方法求解時(shí)間t/s效率比原始模型1201降階模型85.81.39

通過(guò)圖5、圖6和表1可以看出，降階模型和原始模型的計(jì)算結(jié)果吻合極好，從仿真計(jì)算時(shí)間上來(lái)看，模型降階后的計(jì)算時(shí)間更短，降階后模型的精確度更高，說(shuō)明本文提出的降階模型比全模型具有更高的計(jì)算效率和仿真精確效率。

4 結(jié)論

(1)提出在動(dòng)態(tài)仿真軟件ADAMS通過(guò)添加FD 3D阻尼器對(duì)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)模型進(jìn)行降階。

(2)通過(guò)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)降階法和ADAMS動(dòng)態(tài)仿真分析，降階后的幅頻特性和脈沖響應(yīng)極好地吻合，說(shuō)明此降階方法的準(zhǔn)確性。

(3)降階后機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)模型的仿真精確效率更高。

(4)高精密機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)降階后的仿真計(jì)算時(shí)間更短，效率提高了39%。