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    集合語(yǔ)言在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用

    2018-08-28 06:50:34張安玲
    關(guān)鍵詞:集合論特征函數(shù)洛夫

    張安玲

    (長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長(zhǎng)治 046011)

    1 引言

    實(shí)變函數(shù)的一個(gè)典型特征是常常需要用集合論的語(yǔ)言描述函數(shù)的性質(zhì),并懂得兩種不同語(yǔ)言之間如何進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。掌握函數(shù)論語(yǔ)言與集合論語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,有助于學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)知識(shí)[1]。

    連接函數(shù)與集合之間最基本的橋梁是集合的特征函數(shù):

    函數(shù)χE(x)稱(chēng)為集合E的特征函數(shù),利用這個(gè)函數(shù)可以在函數(shù)的性質(zhì)與集合的性質(zhì)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。例如集合序列的極限所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)與特征函數(shù)的極限是相同的,前者是集合極限的語(yǔ)言,后者則是函數(shù)極限的語(yǔ)言。

    2 用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)

    用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì),是實(shí)變函數(shù)中的常用方法之一。

    例:若f(x)在R上有定義,且在[a,b]上有上界M,即任意對(duì)x∈[a,b]有f(x)≤M。

    上述函數(shù)性質(zhì)用集合語(yǔ)言表示為:[a,b]?{x:f(x)≤M}。

    例:若f(x)在R上連續(xù),即任意取定x0∈R,對(duì)?ε>0,?δ>0,當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),有|f(x)-f(x0)|<ε。

    用集合語(yǔ)言表示為:

    例:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

    用集合語(yǔ)言表示為:。

    例:在集合E上f(x)≠g(x)。

    f(x)=g(x)在集合E上幾乎處處成立。

    3 用集合運(yùn)算的語(yǔ)言描述函數(shù)列性質(zhì)

    需要搞清楚分析語(yǔ)言中的“存在”、“任意”與集合運(yùn)算之間的關(guān)系。所謂存在,只需有一個(gè)成立就可以,所謂任意則是指對(duì)所有的都成立。所以“存在”對(duì)應(yīng)集合的“并”運(yùn)算,“任意”對(duì)應(yīng)集合的“交”運(yùn)算[2]。

    例:設(shè){fn(x)}是定義在E上的函數(shù)列。若x∈E,則{fn(x)}有界的充要條件是存在M>0,使得對(duì)任意n,|fn(x)|≤M。

    注:與“存在”相對(duì)應(yīng)的是并集運(yùn)算,與“任意”相對(duì)應(yīng)的交集運(yùn)算。

    用集合語(yǔ)言表示為:{有界

    數(shù)學(xué)分析中的很多定義、命題涉及“任意”和“存在”這兩個(gè)邏輯量詞,它們的否定說(shuō)法是把“任意”改為“存在”,而把“存在”改為“任意”。在集合論中,德摩根公式很好地反映了數(shù)學(xué)分析中這種論述的合理性[2]。

    例:設(shè){fn(x)}是定義在E上的函數(shù)列,若x是使{fn(x)}收斂于0的點(diǎn),則對(duì)任意ε>0,存在N∈¥,使得對(duì)任意n≥N,{fn(x)}<ε。

    用集合語(yǔ)言表示為:

    上述的ε>0可以取任意的值,但是集合的運(yùn)算通常僅限于最多可數(shù)次,所以需要用一個(gè)可數(shù)的序列去替換。事實(shí)上,如果a>ε>0,只要k充分大,必有,反之,如果存在k,使得,只要取就可以有a>ε了。

    所以上述兩個(gè)分別可以寫(xiě)成

    用集合語(yǔ)言表示為:

    例:若{f(nx)}是定義在R上的一列函數(shù),(x)=+∞,則對(duì)任意的M>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n≥N時(shí),有fn(x)>M。

    用集合語(yǔ)言表示為:

    也可以描述為:

    4 用集合語(yǔ)言描述不收斂點(diǎn)集

    在實(shí)變函數(shù)中有幾個(gè)重要定理,一個(gè)是反映一致收斂與幾乎處處收斂關(guān)系的葉果洛夫定理,另一個(gè)是反映依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂關(guān)系的里斯定理,再一個(gè)是幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂關(guān)系的勒貝格定理。這三個(gè)定理都與函數(shù)的逼近有關(guān),所有這些定理的證明都涉及一個(gè)基本問(wèn)題:函數(shù)序列的收斂狀況如何?換句話說(shuō),函數(shù)序列在哪些點(diǎn)是收斂的,在哪些點(diǎn)是不收斂的。

    要完成上述諸定理的證明,最關(guān)鍵的一個(gè)步驟是需要將上述函數(shù)論語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成集合論語(yǔ)言,也就是說(shuō),需要用集合的方式將不收斂的點(diǎn)集表示出來(lái)[3]。

    在E上{fn(x)}不收斂于f(x)用集合語(yǔ)言描述為或極限不存在

    葉果洛夫定理?xiàng)l件:{fn}是E上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)f的可測(cè)函數(shù)。{fn}不收斂于函數(shù)f的點(diǎn)集是

    {fn}a.e.收斂于函數(shù)f,用集合語(yǔ)言表示為:對(duì)任意固定的 k,有

    a.e.有限的函數(shù)f用集合語(yǔ)言表示為

    里斯定理:設(shè)在E上{fn(x)}依測(cè)度收斂于f(x),則存在子列在E上a.e.收斂于f(x)。證明思路:

    勒貝格定理與葉果洛夫定理的條件是一樣的,由葉果洛夫定理可知,對(duì)?ε>0,存在可測(cè)子集e?E,使得me<ε 且在Ee上一致收斂于f(x)。由一致收斂定義可知,對(duì)?σ>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n≥N 時(shí),對(duì)?x∈Ee,恒有成立,從而。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)以及用集合運(yùn)算語(yǔ)言描述函數(shù)列性質(zhì)是實(shí)變函數(shù)中常用的方法,掌握好這種方法,能理解實(shí)變函數(shù)中許多定理的證明,有助于學(xué)好實(shí)變函數(shù)。

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