微型抗磁懸浮振動能量采集器靜平衡研究

蘇宇鋒，秦立振

1 引言

Earnshaw定理[1]指出，永磁體不能在外界靜磁場中實現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮，除非有外力使其保持平衡。隨著抗磁性材料的發(fā)現(xiàn)，抗磁懸浮系統(tǒng)的可行性[2]得到了論證，并且在1939年，Braunbek在不均勻的強電磁場（2.1～2.4）T中利用微小片狀石墨和鉍建立起來懸浮[3]。此后，抗磁懸浮的研究一直在不斷的發(fā)展。

利用抗磁懸浮能夠在常溫下獲得穩(wěn)定無摩擦懸浮這一特點，很多學者將抗磁懸浮系統(tǒng)應用到不同的研究領域中。文獻[4]將一個包含小型懸浮永磁體的抗磁懸浮系統(tǒng)應用在磁驅(qū)動薄膜執(zhí)行機構(gòu)中，通過懸浮永磁體的穩(wěn)定懸浮來調(diào)節(jié)磁驅(qū)動薄膜的中間位置，在感應線圈內(nèi)通入交流信號，則會改變懸浮永磁體所處環(huán)境的磁場，進而驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)運動。文獻[5]則利用磁偶極子模型和圖形法對垂直方向上的抗磁懸浮系統(tǒng)進行了理論分析，利用半解析法和離散體積法對系統(tǒng)中提升永磁體、懸浮永磁體和圓柱型熱解石墨材料薄板進行參數(shù)化研究，以分析這些參數(shù)對懸浮永磁體懸浮間隙、系統(tǒng)的尺寸以及固有頻率的影響，在此基礎上設計出的振動式能量采集器，在加速度為0.081m/s2，頻率為2.1Hz的外界激勵下，產(chǎn)生的有效輸出功率為1.72μW。文獻[6]將通電導線圈包覆在環(huán)形永磁鐵外，并且不同的位置包覆的線圈匝數(shù)不同，這樣就得到了外形上近似為圓錐，倒圓錐和菱形的等效提升永磁體，通過改變通電導線圈內(nèi)的電流來改變懸浮永磁體所受外界磁場的磁場強度，進而得到懸浮永磁體在垂直方向上穩(wěn)定懸浮空間的變化，并通過理論分析，發(fā)現(xiàn)要獲得更大的穩(wěn)定空間就需要距離提升永磁體更遠，或者能夠使得在懸浮永磁體處的磁感應強度關于位置變化的二階導數(shù)更小。文獻[7]則分析了非垂直方向上實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的條件，通過理論分析，模擬仿真以及實驗驗證，實現(xiàn)了在水平方向上的穩(wěn)定懸浮。文獻[8]則利用這一方案實現(xiàn)了在低頻外界振動作用下的能量采集器的設計，所設計的能量采集器的共振頻率為1.2Hz，輸出功率為3.6μW。

文獻[9]利用在垂直方向上比較容易實現(xiàn)抗磁懸浮設計出了一種能量采集器，但只分析了在兩熱解石墨板間距一定時的懸浮狀態(tài)，并未就兩熱解石墨板間距變化對懸浮永磁體懸浮狀態(tài)的影響予以深入討論。在文獻[9]提出的抗磁懸浮能量采集器結(jié)構(gòu)基礎上，通過有限元軟件仿真計算，分析了懸浮永磁體平衡位置和兩熱解石墨板間距的關系，并通過實驗予以驗證。

2 裝置模型與理論分析

抗磁懸浮系統(tǒng)中永磁體的磁場強度以及抗磁性材料的磁化率是影響懸浮系統(tǒng)的兩個關鍵的參數(shù)。永磁體的磁場強度越大，抗磁性材料的磁化率越大，兩者之間相互作用的抗磁力也越大。因此，選擇磁能積和矯頑力比較大的釹鐵硼（NdFeB）作為懸浮系統(tǒng)中永磁體材料，選擇磁化率很大的熱解石墨（磁化率χ=-450×10-6）作為抗磁性材料?？勾艖腋∧芰坎杉髯陨隙率怯商嵘来朋w、上熱解石墨板、懸浮永磁體、下熱解石墨板以及鍍在兩熱解石墨板上線圈組成，其模型側(cè)重受力分析，沒有畫出線圈，如圖1所示。其中，懸浮永磁體受力分析，如圖2所示。

圖1 抗磁懸浮能量采集器結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The Structure Model of Energy Harvester Based on Diamagnetic Levitation

圖2 懸浮永磁體受力分析圖Fig.2 The Force Analysis of Floating Magnet

在豎直方向上，懸浮永磁體受到提升永磁體對其作用的吸引力F，上下熱解石墨板對其作用的抗磁力F2、F1以及其所受到的重力G，因此，懸浮永磁體所受合力：

在穩(wěn)定狀態(tài)下，懸浮永磁體所受合力F合=0，懸浮永磁體在實驗中穩(wěn)定時的懸浮狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 實驗裝置圖Fig.3 The Experimental Setup for This Study

當外界對懸浮裝置施加振動激勵時，由于熱解石墨板上的銅線圈和懸浮永磁體振動不同步而發(fā)生相對運動，進而切割磁感線，在線圈內(nèi)產(chǎn)生感應電動勢。

為求得懸浮永磁體所受合力和系統(tǒng)各參數(shù)之間的關系，需要將懸浮永磁體所受各個力進行參數(shù)化表示。提升永磁體對懸浮永磁體在豎直方向上的作用力可用如下表達式計算。

式中：d1、h1、d3、h3—提升永磁體和懸浮永磁體的直徑和厚度；μ0=4π×10-7H/m，為真空中磁導率；M1、M2—提升永磁體和懸浮永磁體磁化強度。

下熱解石墨板對懸浮永磁體在豎直方向上的作用力可從文獻[10]推導如下：

相似地，上熱解石墨板懸浮永磁體作用力為：

從圖1中模型的幾何關系可知，兩熱解石墨板間距L為：

不難看出，當h=h′時，兩熱解石墨板對懸浮永磁體作用力大小相等，方向相反，如果此時提升永磁體對懸浮永磁體作用的引力和懸浮永磁體所受重力相等，即F=G，那么F合=0?？汕蟮茫?/p>

式中：ρ=7.4×103kh/m3，為永磁體材料釹鐵硼（NdFeB）的密度。

以H0作為運動初始位置，向下為正方向，位移x，其作用力隨位置變化關系式為：

從式（7）可以看出，兩熱解石墨板間距L對懸浮永磁體在偏離初始位置x時所受合力有很大影響。為便于計算，利用有限元軟件COMSOLMultiphysicsTM建立裝置模型，進行受力計算，并通過MATLAB進行多項式擬合，進而求得平衡位置與兩熱解石墨板間距的關系表達式。

3 抗磁懸浮裝置模型仿真分析

在有限元軟件COMSOLMultiphysicsTM下建立抗磁懸浮裝置模型，模型參數(shù)，如表1所示。對該模型進行靜力分析，通過消除磁力計算的累積誤差[11]后進行數(shù)據(jù)處理，得到提升永磁體與懸浮永磁體之間作用力隨其間距H變化曲線，如圖4所示。懸浮永磁體受到的單塊熱解石墨板對其的抗磁力隨兩者之間間距h變化曲線，如圖5所示。

表 1抗磁懸浮裝置有限元模型建模參數(shù)Tab.1 Parameter for the Finite Element Model of the Diamagnetic Levitation Structure

圖4 磁力隨間距H變化曲線Fig.4 Curve of Magnetic Force Varying with Gap H

圖5 抗磁力隨間距h變化曲線Fig.5 Curve of Diamagnetic Force Varying with Gap h

通過對圖4和圖5中仿真得到的力分別進行多項式擬合可得：

這樣得到懸浮永磁體的受力與兩熱解石墨板間距L和位移x的關系表達式為：

為便于分析，令：

顯然，x=0是方程F合=0的一個根。方程是否還有其它實根，則需要分析：

4 懸浮永磁體靜平衡位置分析與實驗驗證

由以上分析可知，在兩熱解石墨板間距L在L＞5.54mm時，懸浮永磁體所受合力有3個零點，但這3個零點并非全是平衡位置。選擇兩熱解石墨板中間對稱平面為勢能為0的平面，繪制懸浮永磁體在兩熱解石墨板間距為5mm和7.4mm時，和對稱平面相距x的受力和勢能曲線，如圖6所示。由勢能變化曲線可以看出，當熱解石墨板間距L=5mm時，勢能在懸浮永磁體活動空間內(nèi)只有一個最低點，由能量最小原理可知這個點即是懸浮永磁體的平衡位置。而當L=7.4mm時，在x=0處，即兩熱解石墨板對稱平面上，懸浮永磁體勢能并不是最低，懸浮永磁體并不能夠穩(wěn)定靜止，它會向能量更低的方向運動。因此x=0點并非其運動的平衡位置，通過之前分析得到受力的另外兩個零點才能夠保證懸浮永磁體穩(wěn)定懸浮。

圖6 熱解石墨板間距分別為5mm、7.4mm時懸浮永磁體受力和勢能變化Fig.6 The Resultant Force and Potential Energy of Floating Magnet Varying with Distance x when the Gap of Two Pyrolytic Graphite Plates are 5mm and 7.4mm

為了驗證上述關于懸浮永磁體靜平衡位置的研究結(jié)論，我們搭建了如圖3所示的實驗裝置對抗磁懸浮裝置中懸浮永磁體的平衡位置加以研究。兩熱解石墨板間距分別為7.4mm和5mm時懸浮永磁體懸浮狀態(tài)，如圖7所示。通過實驗發(fā)現(xiàn)在兩熱解石墨板間距為5mm時，懸浮永磁體能夠穩(wěn)定懸浮在兩熱解石墨板中間對稱面上，給懸浮永磁體一微小擾動，經(jīng)過一段時間后，其仍能回到初始位置，因此，在板間距為5mm時，懸浮永磁體呈現(xiàn)出單平衡現(xiàn)象。當兩熱解石墨板間距為7.4mm時，懸浮永磁體并不能夠在兩熱解石墨板對稱面處懸浮，它會朝著其中一個熱解石墨板運動，然后逐漸穩(wěn)定懸浮下來，給予懸浮永磁體以擾動，懸浮永磁體會越過兩熱解石墨板對稱平面在接近另一個熱解石墨板處穩(wěn)定懸浮下來，也即懸浮永磁體出現(xiàn)了明顯的雙平衡位置現(xiàn)象。圖8則給出了理論曲線和通過實驗觀測到的數(shù)據(jù)點，可以看出，在雙平衡位置處，通過仿真計算得到的關系曲線和實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢是相同的，只是在數(shù)據(jù)的契合程度上比較大的偏差，這是因為：（1）實驗中所用的永磁體會和其所標定的規(guī)格有偏差。（2）實驗中熱解石墨板厚度并不均勻（2.8～3.1）mm。（3）實驗環(huán)境達不到仿真環(huán)境的理想程度。

圖7 熱解石墨板間距分別為7.4mm和5mm時懸浮永磁體懸浮狀態(tài)Fig.7 The States of Suspension of Floating Magnet when the Gap of Two Pyrolytic Graphite Plates are 7.4mm and 5mm

圖8 平衡位置x隨兩熱解石墨板間距L變化Fig.8 The Equilibrium Position x Varying with the Gap L of Two Pyrolytic Graphite Plates

5 結(jié)論

通過對抗磁懸浮裝置中懸浮永磁體受力的理論分析和仿真計算，發(fā)現(xiàn)當兩個熱解石墨板間距變化時，懸浮永磁體在兩熱解石墨板間的平衡位置會發(fā)生變化，并且會出現(xiàn)多個平衡位置的現(xiàn)象。對抗磁懸浮能量采集器，當兩塊熱解石墨板間距L處在時，懸浮永磁體只有一個平衡位置，平衡位置位于兩熱解石墨板中間對稱面上。當兩塊熱解石墨板間距處在時，懸浮永磁體有兩個平衡位置，這兩個平衡位置相距兩熱解石墨板對稱面的間距呈對稱分布。搭建實驗平臺，通過實驗驗證了懸浮永磁體平衡位置的存在。在實驗中發(fā)現(xiàn)會實驗結(jié)果和理論曲線變化趨勢相同，但數(shù)據(jù)點會有誤差，分析了這種誤差產(chǎn)生的原因，進一步驗證了理論分析的合理性。

抗磁懸浮振動能量采集器的平衡位置的確定是能量采集器的設計和應用上很重要的前提，但由于能量采集器的工作過程中其懸浮是動態(tài)的，因此研究工作過程的平衡位置的影響因素對分析能量采集器的穩(wěn)定性、安全性以及輸出特性上都有很大的價值。研究為抗磁懸浮能量采集器工作過程的平衡位置的研究提供了理論基礎和實驗依據(jù)。