正則化的加權(quán)不完全魯棒主成分分析方法及其在無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點軌跡擬合中的應用

孫莞格，夏克文* ，蘭 璞

(1.河北工業(yè)大學電子信息工程學院，天津300401; 2.河北省大數(shù)據(jù)計算重點實驗室(河北工業(yè)大學)，天津300401)

(*通信作者電子郵箱19289037@qq.com)

0 引言

無線傳感器網(wǎng)絡(Wireless Sensor Network，WSN)是大量無線傳感器通過自組織的方式而組成的無線網(wǎng)絡［1－2］。在復雜多變的應用環(huán)境中，移動無線傳感器網(wǎng)絡需要根據(jù)節(jié)點的實際移動情況對數(shù)據(jù)進行采集分析，傳感節(jié)點的位置和軌跡信息多次發(fā)送會增加網(wǎng)絡的能量消耗。傳感器節(jié)點自身的能量有限的，怎樣才能延長WSN的運行時間，是WSN的重點研究問題。

無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點的軌跡擬合方法有很多，目前比較普遍的分類方法有基于頻繁路徑的軌跡擬合、基于馬爾可夫模型的軌跡擬合、基于Kalman濾波的軌跡擬合和基于線性回歸的軌跡擬合。這些方法在軌跡擬合方面各具優(yōu)勢，但仍存在一些問題:前兩種方法計算量大、算法運行時間長［3］;后兩種方法耗時少，但在節(jié)點移動軌跡的轉(zhuǎn)折處或者當數(shù)據(jù)出現(xiàn)嚴重缺失時出現(xiàn)了失真［4］。

近幾 年，低 秩 矩 陣 恢 復 技 術(shù)［5］(Low Rank Matrix Recovery，LRMR)將向量的稀疏表示模型擴展到低秩矩陣中，使它成為繼壓縮感知之后又一個有潛力的處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的信號處理方法。低秩矩陣恢復包括魯棒主成分分析(Robust Principal Component Analysis，RPCA)和矩陣補全(Matrix Completion，MC)。馮緒等［6］將矩陣補全應用到無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點的軌跡擬合當中，采用稀疏矩陣奇異值分解方法 (Sparsity Rank Singular Value Decomposition，SRSVD)方法把原問題松弛為非凸優(yōu)化問題，可將目標函數(shù)簡化為兩個矩陣的F范數(shù)之和，在降低數(shù)據(jù)采樣比例的情況下仍能有效地對移動軌跡進行恢復。魯寧等［7］對求解魯棒主成分分析的嚴格增廣拉格朗日(Exact Augmented Lagrange Multiplier，EALM)算法進行了粗尋優(yōu)和細尋優(yōu)的結(jié)合，提出了半精確增廣拉格朗日(Semi-Exact Augmented Lagrange Multiplier，SEALM)算法，提高了求解速度。然而SRSVD方法對稀疏噪聲敏感，SEALM算法在采樣比例小時能準確地擬合。此外，這兩種方法都需要假設不存在高斯噪聲，該假設往往不能嚴格符合實際情況。

為使整個系統(tǒng)在存在高斯噪聲時仍能有效且穩(wěn)定，本文先將基于魯棒主成分分析和矩陣補全的不完全魯棒主成分分析(Incomplete Robust Principal Component Analysis，IRPCA)方法應用于節(jié)點的移動軌跡擬合;再在IRPCA的基礎上進行改進，分別對低秩矩陣和稀疏矩陣進行加權(quán)，然后將高斯噪聲矩陣的F范數(shù)作為正則項，最后應用于節(jié)點的移動軌跡擬合。

1 WSN系統(tǒng)模型

設無線傳感器網(wǎng)絡中有W個節(jié)點，每個傳感器節(jié)點在相同的時間間隔移動N次，而且要在每次移動之后記錄節(jié)點當前的坐標信息。很明顯，隨著節(jié)點的不斷移動，要傳輸和存儲的坐標信息不斷增加，無線傳感器網(wǎng)絡系統(tǒng)所消耗的能量也在迅速增多，因為所有節(jié)點的坐標信息都要存儲。如果可以通過采樣降低坐標信息的傳輸量，再通過特定的恢復算法對未采樣節(jié)點的坐標信息進行恢復，就能夠很大程度地降低坐標信息的傳輸量，從而減少整個系統(tǒng)的能量消耗。

為此，用坐標信息矩陣表示模型［6－7］，如式(1)所示，其中設矩陣X為2W×N階的節(jié)點位置信息矩陣，即:

可以很容易地發(fā)現(xiàn)，當節(jié)點在勻速移動時，矩陣X擁有秩為2，因此該矩陣是一個低秩矩陣。但這僅僅是理想情況，在現(xiàn)實情境中，節(jié)點不一定可以以一個固定的速率移動，通常在此處認為它是有規(guī)律性的，所以可以判斷出來矩陣X含有低秩性［8］。

為了對節(jié)點坐標信息矩陣進行稀疏處理，對矩陣X根據(jù)節(jié)點的位置進行采樣分析，形成采樣矩陣T，如式(2)與式(3)所示:

令D是經(jīng)過采樣后測量得到的節(jié)點位置信息矩陣，如式(4)所示:

其中“.×”表示矩陣之間的點乘。

在WSN中，可以在真實測量中獲取矩陣D，其中矩陣D只擁有并不完全的節(jié)點坐標信息。通過D恢復出原始完整的坐標信息矩陣X就可使用低秩矩陣恢復算法，主要是矩陣補全方法和魯棒主成分分析方法。

1)矩陣補全方法(MC)［9］:當數(shù)據(jù)矩陣D含缺失元素時，可根據(jù)矩陣的低秩結(jié)構(gòu)來恢復矩陣的全部元素。矩陣補全可描述為矩陣核范數(shù)最優(yōu)化問題:

其中:矩陣A為待求解低秩矩陣;Ω為矩陣D采樣元素對應的下標 集 合;PΩ(·) 為 正 交 投 影 算 子; ［PΩ(M)］ij=

對于優(yōu)化問題式(5)，則可以通過增廣拉格朗日算法解出原始低秩矩陣，比如文獻［6］將矩陣補全應用到無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點的軌跡擬合當中，通過SRSVD方法對非凸優(yōu)化問題進行松弛，把矩陣的秩松弛到矩陣的F范數(shù)，并轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問題，在降低數(shù)據(jù)采樣比例的情況下仍能有效地對移動軌跡進行擬合。

2)魯棒主成分分析方法(RPCA)［10－11］: 已知矩陣 D，并且D=A+E，其中A和E未知，但先驗信息A是低秩矩陣，E是稀疏矩陣且非零元素可任意大。為刻畫矩陣A的低秩性和矩陣E的稀疏性，可以極小化矩陣A的核范數(shù)和矩陣E的l1范數(shù)來構(gòu)造最優(yōu)化問題:

其中:‖X‖1等于矩陣X所有元素絕對值的和;‖X‖*等于矩陣X所有奇異值的和;λ是低秩矩陣和稀疏矩陣的折中因子。

對于優(yōu)化問題式(6)，可以通過增廣拉格朗日算法交替更新A和E，即可恢復出原始低秩矩陣。文獻［7］在求解RPCA的EALM算法中對單一低秩矩陣和噪聲矩陣作局部粗尋優(yōu)，對恢復矩陣元素作全局細尋優(yōu)，提出了SEALM算法，加快了求解速度。

上述兩種模型均存在各自的缺點，比如SRSVD方法不能準確地處理存在大量稀疏噪聲的情形，EALM算法不能處理采樣比例小的情況。為了彌補兩種模型的不足，使之能夠處理存在大量稀疏噪聲且有大量元素缺失(即采樣比例小)的情況，文獻［12］把RPCA和MC進行了結(jié)合，提出了不完全魯棒主成分分析(Incomplete RPCA，IRPCA):

然而實際工作中往往存在高斯噪聲，上述方法均不能有效地抑制高斯噪聲，本文的工作先將IRPCA應用到無線傳感器網(wǎng)絡軌跡擬合，再假設當存在高斯噪聲時，如何改進算法才能有效地通過D恢復出原始完整的坐標信息矩陣X，然后進行軌跡擬合。

2 正則化的加權(quán)IRPCA方法

2.1 正則化的加權(quán)IRPCA模型的提出

標準核范數(shù)平等地對待所有的奇異值，為了更好地刻畫低秩矩陣的低秩性，可對低秩矩陣的奇異值進行加權(quán)，較大的奇異值通常包含了較多的信息，應該分配較小的權(quán)值以減小閾值收縮幅度，較小的奇異值應該分配較大的權(quán)值來增大閾值收縮幅度。同樣地，標準l1范數(shù)平等地對待所有的矩陣元素，為了更好地描述稀疏矩陣的稀疏性，對于較大的矩陣元素應該用較小的權(quán)值來降低其影響，對于較小的矩陣元素應該用較大的權(quán)值提高其影響［13］。為此提出加權(quán)的不完全魯棒主成分分析(Weighted IRPCA，WIRPCA)的數(shù)學模型:

考慮到在實際環(huán)境中往往存在高斯噪聲，用F范數(shù)刻畫高斯噪聲作為目標函數(shù)的正則項，可對高斯噪聲有較強的抑制作用，擬合效果更加準確和穩(wěn)定。為此提出正則化的加權(quán)不完全魯棒主成分分析(Regularized WIRPCA，RWIRPCA)的數(shù)學模型:

2.2 數(shù)學模型的求解

式(9)可變形為:

為了變形求解的需要，通過引入n1×n2維實矩陣變量M，模型式(10)可重新表示為:

為求解式(11)改進的RWIRPCA模型，首先要考慮權(quán)重ωA和ωE的取值。由于權(quán)重的取值與被加權(quán)部分成反比［14］，即ωA的取值與低秩矩陣A的奇異值成反比，且ωE的取值與稀疏矩陣E的元素成反比。RWIRPCA的權(quán)值更新算法步驟如算法1所示。

算法1 權(quán)值更新算法步驟。

輸入 觀測矩陣 D ∈ Rn1×n2，采樣集合 Ω，參數(shù) λ，τ，μ，εA，εE;

輸出 最優(yōu)解A，E，Z，M。

2) 交替迭代更新矩陣A，E，Z，M。

4) 若迭代收斂或i達到最大迭代次數(shù)，輸出最優(yōu)解A，E，Z，M。

在確定了權(quán)值ωA和ωE后，在式(11)中，ωA和ωE相當于常數(shù)，接下來可采用非嚴格拉格朗日乘子法(Inexact Augmented Lagrange Multipliers，IALM)對步驟2進行求解，在求解之前先引入兩個定理。

定理1 軟閾值算子［15］:設 G是n1×n2維實矩陣，則優(yōu)化問題的最優(yōu)解是X*=Sε(G)，第(i，j) 元素為 max(|gij|－ ε，0)sgn(gij)，其中ε＞0。

定理2 奇異值收縮算子［16］:優(yōu)化問題min

X{ε‖X‖*+，具有閉解 X*=Dε(G)，其中 Dε(G)=USε(Σ)VT，UΣVT是矩陣G的奇異值分解結(jié)果。

采用IALM求解式(11)，其增廣拉格朗日函數(shù)為:

其中:μ＞0為懲罰參數(shù);Y∈Rn1×n2為增廣拉格朗日乘子矩陣。

由交替方向乘子法可知，式(12)應用變量交替更新的方式進行迭代求解，其具體過程為:

固定 E，Z，M，更新 A:

由定理2推理得:

固定 A，Z，M，更新 E:

由定理1推理得:

固定 A，E，M，更新 Z:

對式(18)求導并令導數(shù)為0，得:

易得:

固定 A，E，Z，更新 M:

其中Ω表示Ω的補集。

最后更新Y:

按照上述步驟進行交替更新，迭代收斂后可得到式(11)的最優(yōu)解。算法2給出了IALM算法求解RWIRPCA的步驟。

算法2 IALM算法求解RWIRPCA模型。

輸入 觀測矩陣 D ∈ Rn1×n2，采樣集合 Ω，參數(shù) λ，τ，μ，ωA，ωE;

輸出 最優(yōu)解A，E，Z，M。

3 實驗結(jié)果及分析

本實驗使用Matlab R2014b進行仿真分析，運行環(huán)境基于Windows10操作系統(tǒng)平臺，內(nèi)存8.00 GB，處理器為Intel Core i5 CPU，主頻參數(shù)為2.40 Ghz。在式(1)中的位置信息矩陣X中包含了任意節(jié)點在任意次移動后的橫縱坐標信息，令(xi，j，yi，j) 作為節(jié)點 i在發(fā)生了第 j次移動后獲得的橫縱坐標，(^xi，j，^yi，j)為求解得到的估計坐標，坐標信息矩陣估計值 ^X可以提供此節(jié)點使用恢復算法得到的橫縱坐標，則可定義矩陣X與^X之間的均方根誤差如式(23)所示:

式中n為觀測次數(shù)。

具體實驗流程如圖1所示。

為考察改進的RWIRPCA方法在不同情形下的性能，設計了3組不同的實驗。實驗1考察RWIRPCA方法在采樣比例小且稀疏噪聲大的條件下的擬合效果，實驗2考察RWIRPCA方法在高斯噪聲條件下的擬合效果，實驗3考察RWIRPCA方法在稀疏和高斯混合噪聲條件下的擬合效果。

3.1 實驗1:稀疏噪聲與采樣比例實驗

本實驗假設坐標信息矩陣數(shù)據(jù)僅包含稀疏噪聲，稀疏噪聲大小為5000 dB～10 000 dB隨機產(chǎn)生，稀疏噪聲比例分別設定為0%、5%、20%這3種。當稀疏噪聲比例分別設定為0%、5%、20%時，圖2顯示了在對原始坐標矩陣進行不同比例采樣情況下 SRSVD方法、SEALM方法、IRPCA方法和RWIRPCA方法擬合誤差的變化情況

圖1 實驗流程Fig.1 Experimental process

圖2 不同稀疏噪聲比例時，節(jié)點軌跡擬合誤差對比Fig.2 Comparison of node trajectory fitting error under different sparse noise ratio

由圖2可以明顯看出，SRSVD在稀疏噪聲條件下效果較差，即使當采樣比例高達80%時擬合誤差仍在0.11以上。SEALM在采樣比例較小時也就是有大量元素缺失時效果較差，即使當稀疏噪聲比例為0時擬合誤差仍在0.20以上。而對于IRPCA和RWIRPCA在稀疏噪聲大且采樣比例較小時仍能取得比較穩(wěn)定的擬合效果，尤其是RWIRPCA與其他3種方法相比，體現(xiàn)了高度的優(yōu)越性。

3.2 實驗2:高斯噪聲實驗

圖4 高斯噪聲比例50%時，不同方法的節(jié)點軌跡擬合Fig.4 Node trajectory fitting by adopting different methods under the Gaussian noise ratio is 50%

本實驗假設坐標信息矩陣數(shù)據(jù)僅包含高斯噪聲，設置其均值為0，標準差為100。在噪聲比例為10%、20%、30%、40%、50%分別采用SRSVD方法、SEALM方法、IRPCA方法和RWIRPCA方法分別進行移動WSN節(jié)點軌跡擬合。當噪聲比例為10%和50%時，通過仿真圖來表示第一個移動節(jié)點的運行軌跡。圖中節(jié)點移動次數(shù)為100，網(wǎng)絡覆蓋區(qū)域為(0，－15)～(50，15)，其擬合仿真圖形分別如圖3～4所示，圖中x與y分別代表該節(jié)點移動的橫坐標與縱坐標。

由圖3～4可以明顯看出，當噪聲比較小時(如高斯噪聲比例為10%)，方法改進前后的擬合效果差距不明顯，但隨著高斯噪聲比例增大到50%時，SRSVD、SEALM、IRPCA出現(xiàn)了明顯的失真，而改進后的RWIRPCA擬合效果仍然保持相對穩(wěn)定。

為了進一步分析對比采用 SRSVD、SEALM、IRPCA和RWIRPCA優(yōu)化WSN節(jié)點軌跡擬合問題的效果，對仿真實驗的效果通過表格和圖示的方式進行展示與分析。在不同噪聲比例下，4種方法的優(yōu)化效果比較如表1所示。

從表1中不同的誤差以及運行時間可以看出，SEALM用時最長，SRSVD擬合誤差最大。在IRPCA和RWIRPCA運行時間相近的情況下，就擬合誤差來說，RWIRPCA要比IRPCA低，擬合效果更好。尤其隨著噪聲比例不斷增長RWIRPCA的擬合效果依然優(yōu)于IRPCA，RWIRPCA的優(yōu)勢更加明顯;當噪聲比例不斷增大到50%時，IRPCA的擬合誤差高達0.17 m，而RWIRPCA的擬合效果依然保持穩(wěn)定。從而可知，當外界存在高斯噪聲時，改進的RWIRPCA可以提高移動節(jié)點擬合的準確性，從而提高整個無線傳感器網(wǎng)絡的穩(wěn)定性。

表1 不同高斯噪聲比例時采用不同方法的擬合效果比較Tab.1 Comparison of trajectory fitting results by adopting different methods under different Gaussian noise ratio

3.3 實驗3:混合噪聲實驗

本實驗假設坐標信息矩陣數(shù)據(jù)包含稀疏噪聲和高斯噪聲，稀疏噪聲大小由5000 dB～10000 dB隨機產(chǎn)生，高斯噪聲均值為0，標準差為100。不同大小混合噪聲比例情況下分別采用IRPCA方法和改進的RWIRPCA方法進行移動WSN節(jié)點軌跡擬合誤差的變化情況如圖5所示。

圖5 不同混合噪聲比例時軌跡擬合誤差對比Fig.5 Comparison of trajectory fitting error under different mixed noise ratio

由圖5可以看出，當坐標信息矩陣數(shù)據(jù)包含不同程度大小的混合噪聲時，與 SRSVD、SEALM、IRPCA相比，改進的RWIRPCA有更低的擬合誤差，擬合效果更好。當混合噪聲逐漸增大時，SRSVD、SEALM、IRPCA的擬合誤差迅速上升，而RWIRPCA的擬合誤差依然保持相對穩(wěn)定，具有更準確的擬合效果。可見當稀疏噪聲和高斯噪聲同時存在時，RWIRPCA具有更高的擬合精度，在實際應用中更具優(yōu)勢。

4 結(jié)語

在無線傳感器網(wǎng)絡軌跡擬合中，為了降低信息的傳輸量，減少無線傳感器網(wǎng)絡的能量消耗，采用LRMR是切實可行的，然而目前使用的LRMR還存在對噪聲敏感、大量元素缺失時擬合精度差等問題，為此需研究改進的LRMR模型方法。

為此，本文提出了一種改進的正則化加權(quán)IRPCA方法，即在IRPCA基礎上矩陣先進行范數(shù)加權(quán)，然后加入噪聲矩陣的F范數(shù)作為正則項。不同比例的稀疏噪聲、高斯噪聲和混合噪聲的詳細實驗與結(jié)果對比表明IRPCA和RWIRPCA都可處理采樣比例小且稀疏噪聲大的情況，而RWIRPCA在擬合效果上更具優(yōu)勢。尤其當存在高斯噪聲或混合噪聲時，RWIRPCA的優(yōu)勢更加明顯，在擬合效果和誤差上遠遠優(yōu)于SRSVD、SEALM和IRPCA，將其應用到無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點軌跡的擬合當中可以更方便地管理移動節(jié)點，減少頻繁傳輸節(jié)點的位置和軌跡信息帶來的能量消耗，從而使整個無線傳感器網(wǎng)絡系統(tǒng)更加穩(wěn)定、更加節(jié)能。