基于齒輪箱故障診斷的AR模型中Burg法的優(yōu)化

郭幸胥飛

（上海電機(jī)學(xué)院電氣學(xué)院，上海201306）

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)設(shè)備功能越來越多，結(jié)構(gòu)也越來越復(fù)雜，設(shè)備傳動(dòng)部分的故障診斷技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。復(fù)雜的工作環(huán)境下齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)變得復(fù)雜無規(guī)律，齒輪出現(xiàn)微小的瑕疵會(huì)在振動(dòng)信號(hào)中產(chǎn)生諧波，使得信噪比變低，幅值成分增多。所以高分辨率、高抗噪能力的功率譜估計(jì)法在處理復(fù)雜振動(dòng)信號(hào)的領(lǐng)域尤為重要[1]。現(xiàn)代功率譜估計(jì)法為基于參數(shù)模型的方法，其中基于AR模型的功率譜估計(jì)是現(xiàn)代功率譜估計(jì)中常用的一種方法[2]。

1 AR模型的建立

在功率譜估計(jì)的參數(shù)模型法中，隨機(jī)信號(hào)x（n）可看作是一個(gè)白噪聲u（n）經(jīng)過一個(gè)線性系統(tǒng)得到的輸出。AR（P）模型可用如下差分方程來表示[3]：

式中，u（n）是均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲序列；P是AR模型的階數(shù)；ap（i）是P階AR模型的參數(shù)。

在利用AR模型進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)，必須計(jì)算出AR模型的參數(shù)和激勵(lì)白噪聲序列的方差。

2 AR模型參數(shù)估計(jì)的Burg法

在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)信號(hào)的有限個(gè)取樣值來估計(jì)AR模型的各階參數(shù)，應(yīng)用較多的主要有以下三種方法：Yule-Walker法、協(xié)方差法、Burg法。Burg法使用的準(zhǔn)則是前向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)和后向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)的平均值最小準(zhǔn)則，表示為：

式中，ε是前向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)和后向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)的和n）2是P階的前向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)n）2是P階的后向預(yù)測(cè)誤差功率估計(jì)。

當(dāng)前預(yù)測(cè)誤差與前向后向預(yù)測(cè)誤差的關(guān)系為：

在式（2）中對(duì)ε求γp的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，求得反射系數(shù)γp為：

3 對(duì)Burg法的優(yōu)化

文獻(xiàn)[4]提出了二階（PEF）系數(shù)倒推法，基本思想是從二階PEF平均誤差總功率入手，先計(jì)算二階PEF系數(shù)，再倒推回來計(jì)算一階PEF系數(shù)即一階反射系數(shù)γ1）；文獻(xiàn)[5]對(duì)前向、后向預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，從而提高估計(jì)精度。它們分別從減小估計(jì)參數(shù)的誤差和減小前后向的誤差角度入手，實(shí)現(xiàn)對(duì)Burg法的優(yōu)化。

在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)計(jì)算時(shí)，每一階的參數(shù)都是從前一階參數(shù)估計(jì)而來，由于每階的計(jì)算都存在預(yù)測(cè)誤差，導(dǎo)致累積誤差越來越大。為減小這種累積誤差，本文對(duì)式（3）、（4）中P階前后向預(yù)測(cè)誤差的計(jì)算方法做如下修改：將P階的前后向預(yù)測(cè)誤差計(jì)算中的相鄰階預(yù)測(cè)誤差替換為P階之前所有階的預(yù)測(cè)誤差的平均值。這樣就避免了相鄰階預(yù)測(cè)誤差過大時(shí)，對(duì)下一階的預(yù)測(cè)值波動(dòng)造成較大的影響，提高了功率譜估計(jì)的計(jì)算精度。

因此，式（3）、（4）可改寫為：

現(xiàn)將反射系數(shù)γp重新推導(dǎo)如下：

已知式（2）、（6），在式（2）中對(duì)ε求γp的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，得：將式（6）代入式（7）求得優(yōu)化后的反射系數(shù)：

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)采用QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)系統(tǒng)，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)可模擬滾動(dòng)軸承故障和齒輪故障。主要參數(shù)為：0.75 kW馬達(dá)，最大轉(zhuǎn)速1 450 r/min；大齒輪3只（正常、點(diǎn)蝕、斷齒），齒數(shù)75；小齒輪3只（正常、點(diǎn)蝕、斷齒），齒數(shù)55。本次實(shí)驗(yàn)使用點(diǎn)蝕大齒輪做實(shí)驗(yàn)對(duì)象，轉(zhuǎn)速為880 r/min，分兩次采集輸出軸負(fù)載側(cè)軸承的加速度信號(hào)，采樣頻率為1 kHz。

將實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab，分別使用Burg法和優(yōu)化后的Burg法繪制同一信號(hào)的功率譜。為避免階次誤差對(duì)對(duì)比結(jié)果產(chǎn)生影響，統(tǒng)一采用FPE準(zhǔn)則進(jìn)行AR模型階的估計(jì)。在同一采樣頻率和同一階次的情況下對(duì)比兩種方法所得的結(jié)果，圖1為原始振動(dòng)信號(hào)，圖2為兩種方法的功率譜估計(jì)結(jié)果。

由圖2可知，采樣頻率為1 kHz時(shí)，在FPE準(zhǔn)則定階下，傳統(tǒng)的Burg法得到的功率譜含有較多的邊頻成分；優(yōu)化后的Burg法在體現(xiàn)出真實(shí)譜峰的情況下，邊頻成分明顯減少，譜分辨率提高。實(shí)驗(yàn)表明，優(yōu)化后的Burg法在齒輪箱故障診斷應(yīng)用上能夠得到較好的結(jié)果。

圖1 振動(dòng)信號(hào)

圖2 功率譜圖

5 結(jié)語(yǔ)

AR模型作為功率譜估計(jì)方法中最常用的方法之一，多年來不斷得到完善和發(fā)展，廣泛應(yīng)用于航行軌跡、特征提取、故障識(shí)別、負(fù)荷預(yù)測(cè)等工程實(shí)際問題[6]。但由于其自身固有特性，既要估計(jì)模型的參數(shù)，又要估計(jì)模型的階次，因此很難評(píng)價(jià)一個(gè)模型的優(yōu)劣。本文將傳統(tǒng)Burg法的P階前后向預(yù)測(cè)誤差只考慮相鄰階的預(yù)測(cè)誤差改為考慮所有階次的預(yù)測(cè)誤差的平均值，不再只關(guān)注局部誤差，而是綜合考慮整體誤差，提高了功率譜的譜分辨率，也減小了在迭代過程中因某一階預(yù)測(cè)誤差過大而對(duì)其后面階次的預(yù)測(cè)誤差產(chǎn)生較大影響，