一類“準(zhǔn)等比”數(shù)列和不等式的放縮證明

我們知道，首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和。本文把數(shù)列（其中均為常數(shù)）稱為“準(zhǔn)等比”數(shù)列，對(duì)于這類數(shù)列，我們可以將其放縮為等比數(shù)列，再求其和的上（下）限，或證明與其和有關(guān)的不等式。

例1，求證：

證明：我們可以這樣用放縮法證明：

因?yàn)椋裕?/p>

證畢。

證法很簡(jiǎn)潔清晰，由，

得到。可是，這樣放縮是怎樣想到的呢？難到可以事先知道這個(gè)結(jié)果再進(jìn)行配湊的？確實(shí)如此，這個(gè)放大的結(jié)果確實(shí)是可以先通過(guò)分析推理得出來(lái)的！請(qǐng)看下面的分析：

思路一：因?yàn)樽筮吅褪綗o(wú)法直接求和，但結(jié)構(gòu)形式與等比數(shù)列相似，考慮將左邊和式的各項(xiàng)分別放大為某個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，這樣就能求和了，顯然這個(gè)等比數(shù)列的公比應(yīng)為，也就是猜想，

即猜想，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，取最大值3，所以取，即，猜想成立！再按此猜想得到的放大目標(biāo)寫(xiě)出放大過(guò)程：，最后再完成證明：

，證畢。

思路二：還是將放大為某個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中，即假設(shè)，令，得，所以，經(jīng)驗(yàn)證成立，與之前的放縮結(jié)果一致。

我們不妨再用這種方法驗(yàn)證下面問(wèn)題：已知數(shù)列求證：（2006福建理22（3））：

證明：∵

又，令，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以取，即，明確了放縮的目標(biāo)，后續(xù)的證明自然就水到渠成了：

作者簡(jiǎn)介：邱東華（1967.6—），男，漢，籍貫：福建省清流縣，大學(xué)學(xué)歷，職稱：中學(xué)高級(jí)，研究方向：解題研究，單位：福建省清流縣第一中學(xué)。