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      一類“準(zhǔn)等比”數(shù)列和不等式的放縮證明

      2018-08-25 17:21:18邱東華
      西部論叢 2018年5期
      關(guān)鍵詞:清流縣公比證法

      我們知道,首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)為,前項(xiàng)和。本文把數(shù)列(其中均為常數(shù))稱為“準(zhǔn)等比”數(shù)列,對(duì)于這類數(shù)列,我們可以將其放縮為等比數(shù)列,再求其和的上(下)限,或證明與其和有關(guān)的不等式。

      例1,求證:

      證明:我們可以這樣用放縮法證明:

      因?yàn)椋裕?/p>

      證畢。

      證法很簡(jiǎn)潔清晰,由,

      得到。可是,這樣放縮是怎樣想到的呢?難到可以事先知道這個(gè)結(jié)果再進(jìn)行配湊的?確實(shí)如此,這個(gè)放大的結(jié)果確實(shí)是可以先通過(guò)分析推理得出來(lái)的!請(qǐng)看下面的分析:

      思路一:因?yàn)樽筮吅褪綗o(wú)法直接求和,但結(jié)構(gòu)形式與等比數(shù)列相似,考慮將左邊和式的各項(xiàng)分別放大為某個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng),這樣就能求和了,顯然這個(gè)等比數(shù)列的公比應(yīng)為,也就是猜想,

      即猜想,化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí),取最大值3,所以取,即,猜想成立!再按此猜想得到的放大目標(biāo)寫(xiě)出放大過(guò)程:,最后再完成證明:

      ,證畢。

      思路二:還是將放大為某個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中,即假設(shè),令,得,所以,經(jīng)驗(yàn)證成立,與之前的放縮結(jié)果一致。

      我們不妨再用這種方法驗(yàn)證下面問(wèn)題:已知數(shù)列求證:(2006福建理22(3)):

      證明:∵

      又,令,則,當(dāng)時(shí),取最大值,所以取,即,明確了放縮的目標(biāo),后續(xù)的證明自然就水到渠成了:

      作者簡(jiǎn)介:邱東華(1967.6—),男,漢,籍貫:福建省清流縣,大學(xué)學(xué)歷,職稱:中學(xué)高級(jí),研究方向:解題研究,單位:福建省清流縣第一中學(xué)。

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