改進拉丁超立方蒙特卡洛模擬

張建波, 張忠偉, 楊 洋

(1. 東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318; 2. 中國石油集團電能公司 中油電能電力技術(shù)服務(wù)公司, 黑龍江 大慶 163453)

0 引 言

近年來, 隨著太陽能(PV: Photovoltaic)和風(fēng)能(WG: Wind Generation)發(fā)電技術(shù)日益成熟[1,2], 極大地降低了發(fā)電成本, 但也為電網(wǎng)帶來了明顯的隨機性、 間歇性和相關(guān)性； 電動汽車(PEV： Plug-In Electric Vehicle)的大規(guī)模普及, 其充放電方式也增加了電力系統(tǒng)的不確定性。傳統(tǒng)的潮流計算方法沒有涉及電力系統(tǒng)中負荷和分布式電源(DG： Distributed Generation)出力的不確定性, 而概率潮流通過概率統(tǒng)計方法處理電力系統(tǒng)中不確定因素更能符合電力系統(tǒng)實際運行狀態(tài)。

概率潮流算法作為概率潮流分析中的重點, 近年來國內(nèi)外學(xué)者對其進行了充分的研究。目前概率潮流算法主要包括點估計法、 解析法和蒙特卡洛模擬法(MCS: Monte Carlo Simulation)。文獻[3]針對多風(fēng)電場相關(guān)性的概率潮流計算問題引入K-means聚類和Copula函數(shù)相結(jié)合的方法, 建立風(fēng)電場出力概率模型, 雖然考慮了風(fēng)電場之間的相關(guān)性但計算較為繁瑣。文獻[4]考慮了風(fēng)電場與光伏發(fā)電廠的不確定性, 利用無跡變換的優(yōu)勢將概率潮流問題轉(zhuǎn)化為確定性潮流計算, 雖然減少了計算時間但所求均值誤差較大。文獻[5]將中值拉丁超立方抽樣技術(shù)與蒙特卡洛模擬相結(jié)合, 雖然降低了計算復(fù)雜度, 但針對大電網(wǎng)獲得的概率分布信息存在較大誤差。文獻[6]針對含電動汽車的微電網(wǎng)概率潮流計算問題, 提出徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與無跡變換相結(jié)合的方法, 雖然改善了傳統(tǒng)方法運行時間較長的缺陷, 但分布式電源不滿足高斯分布時概率分析存在一定不足。

針對以上方法的不足, 筆者在充分考慮DG和PEV為電網(wǎng)帶來明顯不確定性的基礎(chǔ)上, 提出徑向基RBF(Radial-Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合拉丁超立方蒙特卡洛模擬(CLMCS: Correlation Latin Hypercube Sampling Monte Carlo Simulation)的方法用于計算概率潮流。CLMCS采用拉丁超立方采樣方法和蒙特卡洛相結(jié)合, 充分考慮了電網(wǎng)中隨機性、 間歇性和相關(guān)性, 對比傳統(tǒng)MCS保證了算法精度, 降低了采樣規(guī)模, 提高了采樣覆蓋率。RBF求解潮流計算方程, 避免了計算雅可比矩陣和偏導(dǎo), 極大地加快了算法運行的速度。

1 不確定分量模型

1.1 WG概率模型

雙參數(shù)(規(guī)模參數(shù)c和形狀參數(shù)k)的Weibull分布描述風(fēng)速v的變化規(guī)律, 其概率密度函數(shù)為

風(fēng)機輸出功率PWT與風(fēng)速v之間的函數(shù)關(guān)系表示為

其中Pr為風(fēng)機的額定功率；vci、vco和vn分別為切入風(fēng)速、 切出風(fēng)速和額定風(fēng)速[7]。

1.2 PV概率模型

光伏發(fā)電系統(tǒng)產(chǎn)生的功率PPV取決于太陽輻射r和溫度。太陽輻射可以用Beta分布模擬, 其概率密度函數(shù)表示為

其中α和β分別為Beta分布的2個形狀參數(shù)；rmax為某段時段內(nèi)的最大太陽輻射。光伏發(fā)電系統(tǒng)的輸出功率PPV與太陽輻射r的函數(shù)關(guān)系可以表示為

其中Prn為光伏發(fā)電系統(tǒng)額定功率；Rc為確定點的太陽輻射, 通常設(shè)置為150 W/m2；Rstd為標(biāo)準(zhǔn)測試環(huán)境下的太陽輻射, 通常設(shè)置為1 000 W/m2。

1.3 PEV概率模型

考慮到多個PEV的充電或放電為隨機現(xiàn)象, 在本文中, 對于多個PEV概率建模, 使用文獻[8]所示模型, PEV遵循二項分布。

1.4 負荷概率模型

負荷具有時變性, 可以用正態(tài)分布近似表示負荷功率的變化。節(jié)點i負荷的有功功率和無功功率概率密度函數(shù)為

2 CLMCS與RBF結(jié)合處理概率潮流

CLMCS由拉丁超立方采樣(LHS: Latin Hypercube Samplins)和蒙特卡洛模擬兩部分組成, 是一種能有效處理不確定性隨機變量的方法, 在蒙特卡洛模擬的基礎(chǔ)上, 降低了采樣規(guī)模, 極大地減少了計算量。RBF具有任何非線性函數(shù)都可以通過具有零誤差的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似的優(yōu)勢, 代替?zhèn)鹘y(tǒng)內(nèi)點法和前推回代法, 在保證精度的同時顯著增加了潮流計算的速度。

1) 拉丁超立方蒙特卡洛模擬(CLMCS)。CLMCS結(jié)合了LHS和Nataf變換處理輸入隨機變量之間的相關(guān)性。LHS是一種分層抽樣方法, 與傳統(tǒng)抽樣方法相比, 具有覆蓋空間大和魯棒性好的優(yōu)勢[10]。

為準(zhǔn)確和完整地描述隨機變量之間的依賴關(guān)系, 有必要獲得變量的聯(lián)合分布。Nataf變換利用正態(tài)Copula函數(shù)構(gòu)造隨機變量的聯(lián)合分布。一旦給出了隨機變量的邊際分布和它們的相關(guān)系數(shù), 它們的聯(lián)合分布可以通過Nataf變換構(gòu)造。下面介紹Nataf轉(zhuǎn)換的基本原理。

設(shè)輸入隨機變量X=(x1,x2,…,xn),CX為n個輸入隨機變量的相關(guān)系數(shù)矩陣, 則有

其中ρij為輸入隨機變量Xi和Xj的相關(guān)系數(shù)；σi和σj分別為輸入隨機變量Xi和Xj的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)等概率轉(zhuǎn)換原則, 引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量Z=(z1,z2,…,zn), 則Z和X滿足

)dzidzj

(11)

CLMCS算法主要步驟如下:

① 輸入n個隨機變量的累積分布函數(shù)Fk和其相關(guān)系數(shù)矩陣CX, 根據(jù)式(12)計算變換后的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ；

② 對變換后的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ進行Cholesky分解, 求得下三角矩陣B；

③ 對n個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量進行采樣, 得到樣本矩陣Wn×N, 根據(jù)LHS抽樣原理, 通過Z=BW得到變換后的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ的樣本矩陣Z, 并由矩陣Z得到順序矩陣Ls；

④ 對輸入隨機向量X進行LHS采樣, 并按順序矩陣Ls進行LHS排序, 并按順序矩陣Ls進行排序, 得到最終的樣本矩陣S=(s1,s2,…,sn);

⑤ 把樣本矩陣S的所有元素分別代入潮流計算方程中, 求得各自的潮流結(jié)果;

⑥ 求得輸出隨機變量數(shù)字特征及概率分布。

2) 在本文中, RBF用來解決DG和PEV的在系統(tǒng)中功率方程計算問題。RBF具有任何非線性函數(shù)都可以通過具有零誤差的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似的優(yōu)勢[11]。功率方程寫成非線性方程組的形式

yi=f(xi)

(12)

其中xi代表潮流計算所要求得的節(jié)點i的電壓和相角；yi表示節(jié)點i的有功功率和無功功率；f代表功率方程映射。

筆者選擇非線性高斯激活函數(shù)構(gòu)成隱含層, 采用精確擬合法[12]訓(xùn)練RBF。隱含層的神經(jīng)元數(shù)量等于輸入向量的數(shù)量, 將每個內(nèi)核的中心設(shè)定在特定的輸入向量上, 忽略了隱含層的優(yōu)化, 只需計算輸出層的權(quán)重因子[13]。因此網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程所需時間非常短, 適用于迭代計算。針對輸出層權(quán)重因子的優(yōu)化, 筆者采用線性最小二乘回歸計算所得輸出權(quán)重因子矩陣為

W=TAT(AAT)-1

(13)

其中W為輸出層權(quán)重因子矩陣；T為目標(biāo)輸出向量；A為隱含層的輸出矩陣。

3) CLMCS-RBF求解概率潮流計算步驟。

Step1 輸入線路參數(shù)、 概率密度函數(shù)以及相關(guān)系數(shù)生成樣本矩陣S, 將樣本矩陣S中采樣點構(gòu)成Xi的隨機向量。向量Xi包括配電網(wǎng)中網(wǎng)絡(luò)參數(shù)、 DG和PEV中隨機變量。

Step2 通過非線性方程組f, 計算向量Yi。

Step3 以向量Yi作為輸入,Xi作為輸出, 訓(xùn)練RBF(在已經(jīng)訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)中, 當(dāng)輸入向量Y*時在輸出處產(chǎn)生向量X*)。

Step4 在Step3中訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)中, 輸入向量Y*產(chǎn)生向量X0。

Step5 將X0代入非線性方程組f求得Y0,Y0與Y*進行比較。如果‖Y0=Y*‖2滿足預(yù)定的公差, 則算法停止, 向量X0將被選擇為最優(yōu)解。否則, 進行下一步。

Step6 如果上一步產(chǎn)生的Y0比其他Yi更接近Y*, 則(Yi,Xi)中的一個將被替換為(Y0,X0)。然后, 轉(zhuǎn)到Step3。如果約束條件不滿足, 則用約束條件中的最大值或最小值替換當(dāng)前參數(shù), 并且算法轉(zhuǎn)到步驟Step4。

3 仿真分析

為研究CLMCS-RBF方法的性能, 在Matlab平臺中使用了改進的IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)和改進的IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)[8]。將CLMCS-RBF方法獲得的結(jié)果與MCS、 CLMCS和QMCS進行比較, 其中WG、PV、PEV和負載之間的相關(guān)系數(shù)參考文獻[14]。假設(shè)負載的正態(tài)分布的平均值等于文獻[15]中提到的量, 標(biāo)準(zhǔn)差為均值的5%。為驗證筆者所提算法的準(zhǔn)確性, 引入誤差指數(shù)表示輸出隨機變量的概率信息

其中μi和σi分別表示不同算法得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,εμ和εσ分別表示不同算法求得的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與6 000次蒙特卡洛模擬所求得均值μMCS和標(biāo)準(zhǔn)差σMCS的誤差指數(shù)。

在本文中, 改進的IEEE14節(jié)點系統(tǒng)在節(jié)點3和節(jié)點4分別安裝一個WG； 在改進的IEEE118節(jié)點系統(tǒng)進一步驗證筆者所提算法性能, 在節(jié)點28接入PV, 節(jié)點78、 79接入WG, 節(jié)點54接入PEV, 其中PV、 WG以及PEV詳細參數(shù)見文獻[16], 共有216個隨機變量用于概率潮流計算問題。在改進IEEE14節(jié)點系統(tǒng)中包括八個相關(guān)變量, 組成的相關(guān)系數(shù)矩陣為

仿真結(jié)果如表1、 表2所示, 分別列出基于四種不同概率潮流計算方法求得的IEEE-14節(jié)點系統(tǒng)中節(jié)點5、 IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中節(jié)點47的電壓幅值均值、 標(biāo)準(zhǔn)差以及相應(yīng)誤差指數(shù)； IEEE14節(jié)點系統(tǒng)中線路1-2、 IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中線路47-49有功功率均值、 標(biāo)準(zhǔn)差以及相應(yīng)誤差指數(shù)。

表1 4種方法求得電壓幅值及其誤差指數(shù)

表2 4種方法求得線路有功功率及其誤差指數(shù)

表3給出了3種算法的運行時間, 仿真結(jié)果表明, 對于IEEE14節(jié)點系統(tǒng)QMCS與CLMCS-RBF在電壓均值方面所得結(jié)果相同, 均值誤差指數(shù)均在0.01%, 但QMCS標(biāo)準(zhǔn)差誤差指數(shù)高達4.46%, 這是因為QMCS一次性生成所需采樣序列, 數(shù)值穩(wěn)定性較低。在面對高維問題時, QMCS由于采用低差異序列, 在高維度上覆蓋率降低, 所以在IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中所求誤差指數(shù)以及計算時間均高于CLMCS和CLMCS-RBF。CLMCS在IEEE14節(jié)點系統(tǒng)中所得電壓均值誤差指數(shù)略高于QMCS, 計算時間比QMCS慢1.268 s, 在IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中表現(xiàn)結(jié)果較QMCS有很大提高, 主要是因為CLMCS采用拉丁超立方采樣, 在低維問題上優(yōu)勢不明顯, 所需計算時間較QMCS略長, 但在高維問題上由于采樣值能夠覆蓋整個分布區(qū)域, 且無需大規(guī)模采樣, 在準(zhǔn)確性和時效性上都有了很大的提高。CLMCS-RBF仿真結(jié)果均優(yōu)于MCS、QMCS以及CLMCS,CLMCS-RBF在CLMCS的基礎(chǔ)上結(jié)合RBF避免了計算雅可比矩陣與偏導(dǎo), 在IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中優(yōu)勢尤為明顯, 計算時間較MCS、QMCS、CLMCS分別降低了99.9%、73.6%、66%, 并且保留了CLMCS算法的準(zhǔn)確性, 滿足工程需要。

表3 計算時間對比結(jié)果

為了進一步說明所提算法的有效性, IEEE14節(jié)點系統(tǒng)中節(jié)點5電壓的概率密度函數(shù)如圖1所示, IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中線路47-49有功功率概率密度函數(shù)如圖2所示。由圖2可見, CLMCS-RBF與MCS方法擬合度最高, 進一步驗證了所提算法的準(zhǔn)確性, 也為電壓水平分析及電網(wǎng)規(guī)劃提供有效的依據(jù)。

圖1 IEEE14節(jié)點系統(tǒng)節(jié)點5電壓 圖2 IEEE118節(jié)點系統(tǒng)線路47-49有功功率 Fig.1 Node 5 voltage of IEEE14 node system Fig.2 Line 47-49 active power of IEEE118 node system

4 結(jié) 語

筆者所提出的CLMCS-RBF分別在改進的IEEE14節(jié)點系統(tǒng)和IEEE118節(jié)點系統(tǒng)中與CLMCS、 QMCS、 MCS進行對比。通過比較分析, CLMCS-RBF保留了CLMCS低采樣規(guī)模、 高采樣覆蓋、 高精度的優(yōu)勢, 同時結(jié)合RBF對潮流計算進行求解, 能在保證高精度的同時, 極大地減少算法運行時間。在改進的IEEE14節(jié)點中CLMCS-RBF與CLMCS相比沒有明顯優(yōu)勢； 在改進的118節(jié)點系統(tǒng)中, 對比MCS、QMCS、CLMCS算法運行時間分別降低了99.9%、73.6%、66%, 滿足實際工程需要。改進的概率潮流計算方法, 具有高精度、 高時效性的特點, 特別適用于大節(jié)點網(wǎng)絡(luò), 對電力系統(tǒng)安全運行具有重要意義, 同時為分布式電源和電動汽車并網(wǎng)提供了可靠的理論依據(jù)。