基于最小二乘法的稱重壓力傳感器的非線性擬合

，，

(石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

在輪式裝載機(jī)動(dòng)態(tài)稱重裝置中，物體的質(zhì)量是通過壓力傳感器測得的壓力值來間接表示的，通常壓力傳感器的輸入與輸出值是非線性的關(guān)系[1-2]。 動(dòng)態(tài)稱重所選用的壓力傳感器，輸出特性明顯呈曲線，如果用直線代替數(shù)據(jù)的輸出，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。 定義線性度的方法有很多，常用的有以下3種：

1)理論線性度，它是把原點(diǎn)與采集數(shù)據(jù)的最大值的點(diǎn)相連而成的直線；2)端基線性度，它是把數(shù)據(jù)的平均首末端相連作為參考的直線；3)最小二乘擬合[3]。

前2種方法由于忽略了中間數(shù)據(jù)量的影響，因此只取首尾作為參考。當(dāng)數(shù)據(jù)在中間數(shù)據(jù)量波動(dòng)較大時(shí)勢必會(huì)對線性度產(chǎn)生較大的影響，造成誤差增大，而最小二乘法是一種有效的擬合方法。最小二乘法擬合效果的好壞取決于線性函數(shù)所得的殘差平方和的大小，殘差平方和越小，擬合效果越好。

本文中選用非線性擬合方法，即最小二乘法來實(shí)現(xiàn)稱重壓力傳感器的非線性擬合,介紹了2種計(jì)算最小二乘參數(shù)的方法,并分析其不確定度。

1 稱重壓力傳感器的輸出特性及擬合曲線

壓力傳感器屬于高精度的傳感器[4]，它的輸出特性呈非線性。如果所得曲線越逼近壓力傳感器所采集到的實(shí)際數(shù)據(jù)，非線性誤差就越小,這時(shí)就要進(jìn)行曲線擬合。曲線擬合大致可以分為以下3個(gè)步驟：第1步，建立坐標(biāo)軸，將所采集到的數(shù)據(jù)標(biāo)注在坐標(biāo)軸上，根據(jù)標(biāo)注的點(diǎn)的圖形來選擇合適的數(shù)學(xué)模型；第2步，選擇合適的數(shù)學(xué)模型中的待定參數(shù)；第3步，根據(jù)確定出的參數(shù)求出所選的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際求出的模型參數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)會(huì)存在誤差，這時(shí)需要判斷誤差的大小及原因，誤差越小說明該擬合曲線越接近實(shí)際測量值，這個(gè)誤差的大小通常是用最小二乘法當(dāng)中的殘差平方和來表示。

對于壓力傳感器得到的液壓數(shù)據(jù)，最小二乘法是實(shí)現(xiàn)該數(shù)據(jù)擬合的一種方法。通過某一個(gè)變量代換求解線性擬合直線來代替求解非線性擬合曲線，通過變量代換以后，所求解非線性曲線可以化為一元線性方程。

1.1 非線性曲線模型的確立

理論上載荷力與壓力呈線性關(guān)系，實(shí)際測量的壓力傳感器的壓力值與載荷力呈現(xiàn)如圖1所示的實(shí)測曲線。可以看出，該曲線接近指數(shù)函數(shù)，將該曲線看作指數(shù)函數(shù)并作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行線性關(guān)系的擬合。假設(shè)曲線模型為

y=aebx,

(1)

式中：a為常數(shù)；b為自變量的系數(shù)；e為指數(shù)函數(shù)；x為自變量；y為因變量。

將式(1)等式兩邊同時(shí)取對數(shù)得

圖1 載荷力與壓力的函數(shù)關(guān)系圖

lny=lna+bx,

(2)

式中：lna為常數(shù)；b為自變量系數(shù)；x為自變量；lny為因變量。

通過上述公式變換以后，指數(shù)函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)自變量為X、因變量為Y的一元線性方程，

Y=A+BX，

(3)

式中：A為常數(shù)；B為自變量系數(shù)。

1.2 線性方程的擬合

壓力的采集選用高溫型壓力傳感器NY316T，4～20 mA恒流輸出，量程0～12 MPa。將電流作為輸出可以減少傳輸過程中信號(hào)的損耗。進(jìn)行交流/直流轉(zhuǎn)換之前需要串聯(lián)一個(gè)電阻來實(shí)現(xiàn)電流到電壓的轉(zhuǎn)換，考慮到環(huán)境溫度與油溫會(huì)對阻值產(chǎn)生一定的影響，這里選用了高精度低溫漂電阻RX70，阻值為500 Ω。

Y與X作為變量代換值，以標(biāo)準(zhǔn)砝碼2 500 kg進(jìn)行測試，并選擇了20組數(shù)據(jù)，如表1所示。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出一元線性方程中的參數(shù)A與B，求解A與B最常用也很有效的方法是最小二乘法。

(4)

(5)

式中：LXY表示先對X求偏導(dǎo)再對Y求偏導(dǎo)；LXX表示X求偏導(dǎo)后再對X求偏導(dǎo)。

把表1數(shù)據(jù)代入公式(4)、(5)，得A=0.078 6,B=0.017 3。

故該直線擬合方程可以表示為

Y=0.078 6+0.017 3X。

(6)

表1 壓力傳感器輸出特性值與變量代換值

通過可視化數(shù)據(jù)分析軟件origin將這20組數(shù)據(jù)導(dǎo)入并列出線性回歸方程[5]，繪制出如圖2所示的擬合曲線。圖中黑色點(diǎn)為采集數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)，可以看出壓力傳感器的輸入與輸出特性呈現(xiàn)非線性關(guān)系，如果直接用直線方程擬合，得出來的結(jié)果誤差較大，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，進(jìn)而減小誤差，提高稱重精度。

圖2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性擬合直線

1.3 非線性方程的擬合

由于前面假設(shè)式(1)作為非線性模型，因此根據(jù)代換關(guān)系A(chǔ)=lna可得

a=eA，

(7)

式中：a為因變量；A為自變量。

代入A的值，a=eA=1.081 7，b=B=0.017 3。

將a與b的值代入式(1)，可得壓力傳感器的非線性擬合方程為

y=1.081 7 e0.017 3x。

(8)

在MATLAB中對該指數(shù)函數(shù)作圖，如圖3所示。該冪指數(shù)函數(shù)擬合后的非線性曲線更加接近稱重壓力傳感器的實(shí)際輸出。

圖3 最小二乘法的非線性擬合曲線

2 最小二乘法參數(shù)的求解

這里介紹2種求解最小二乘參數(shù)的方法，通過MATLAB編程求解[6-7]。

2.1 求最值

假設(shè)采集到的數(shù)據(jù)的模型為線性方程y=kx+b，而實(shí)際所采集到的數(shù)據(jù)會(huì)在這條直線方程上下波動(dòng)。當(dāng)自變量x不變時(shí)，因變量y由直線方程計(jì)算所得，所得結(jié)果有一定殘差，這個(gè)殘差可以表示為

(9)

式中：P為殘差；n為一元線性方程個(gè)數(shù)；yi為因變量；xi為自變量；k為自變量系數(shù)；b為常數(shù)。

最小二乘法就是求得使P為最小值時(shí)的k與b的值，把P看作是k與b的函數(shù)，即為高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)求最值問題[8-9]，分別對式(9)中的k與b求導(dǎo)，可得

(10)

整理得

(11)

得到k與b的值為

(12)

該計(jì)算過程可在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行，通過polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)[10-11]，具體過程如下：

x=[9.56,9.57,9.58,9.59,9.60,9.61,9.62,9.63,

9.64,9.65,9.66,9.67,9.68,9.69,9.70,9.71,

9.72,9.73,9.74,9.75]，

y=[0.242 950, 0.243 797, 0.244 177, 0.244 200,

0.244 202, 0.244 591, 0.244 693, 0.244 709,

0.245 038, 0.245 218, 0.245 265, 0.245 562,

0.245 687, 0.245 695, 0.245 922, 0.246 000,

0.246 156, 0.246 516, 0.246 703, 0.246 863]，

p=polyfit(x,y,1)，

x=0.017，y=0.078 6。

由于假設(shè)的擬合模型為線性的，因此該問題也可看作線性規(guī)劃問題，通過將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入作圖軟件origin，繪制出圖2的擬合直線，計(jì)算所得結(jié)果也為k=0.017 3，b=0.078 6。

2.2 矩陣形式

矩陣形式是另一種方法，可在MATLAB環(huán)境下運(yùn)行，具體推算過程為

yi=a1xi+b1，i=1,2,…,n，

(13)

式中：a1代表一元線性方程自變量系數(shù)；b1為常數(shù)。

將式(13)改寫成矩陣形式，

(14)

式中：

令X的轉(zhuǎn)置矩陣與矩陣Y相乘可得

(15)

式中：XT代表矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣；a、b代表矩陣的列向量。

(16)

3 不確定度分析

不確定度指的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值波動(dòng)范圍。受環(huán)境溫度的影響，壓力傳感器的測量值會(huì)存在一定的誤差，為了更好地反映非線性擬合曲線的精確度的高低以及可靠性，對該曲線進(jìn)行不確定度分析。

3.1 變量Y的殘余標(biāo)準(zhǔn)差

(17)

式中Q表示變量Yi到擬合直線的殘余誤差的平方和。

此時(shí)Y的殘余標(biāo)準(zhǔn)差S為

(18)

式中N為數(shù)值的個(gè)數(shù)。

3.2 非線性擬合曲線預(yù)測值的不確定度

在不確定度中通過殘差平方和以及殘余標(biāo)準(zhǔn)差來表示非線性擬合程度的好壞。殘差指的是真實(shí)值和估計(jì)值之間的差值，殘余標(biāo)準(zhǔn)差為殘余平方和的開方，殘余標(biāo)準(zhǔn)差越小則非線性擬合程度越好。

非線性擬合中，影響擬合曲線精確度的因素有2個(gè)，一是所選的函數(shù)模型，二是函數(shù)模型當(dāng)中的殘余平方和以及殘余標(biāo)準(zhǔn)差的大小。

4 結(jié)論

本文中討論了采用最小二乘法實(shí)現(xiàn)輪式裝載機(jī)壓力傳感器液壓值與稱重貨物之間非線性擬合的問題，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，結(jié)果表明非線性擬合后的曲線更加接近壓力傳感器的實(shí)際輸出。給出2種最小二乘參數(shù)的計(jì)算方法，同時(shí)對非線性曲線的不確定度進(jìn)行了分析，找到了影響擬合曲線精度高低的因素。