借助TI圖形計(jì)算器對(duì)函數(shù)遞增快慢的探討

鄭志柏

根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)函數(shù)一節(jié)的教學(xué)要求，在高中數(shù)學(xué)二期課改教材高一年級(jí)第一學(xué)期第四章增加了“借助計(jì)算器觀察函數(shù)遞增的快慢”這一節(jié)內(nèi)容，這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容屬于拓展型課。估計(jì)有的學(xué)校對(duì)這部分的內(nèi)容就刪去不講了。但這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)中應(yīng)給予充分的關(guān)注和利用，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)是很有益處的。這里結(jié)合借助TI圖形計(jì)算器觀察函數(shù)遞增的快慢這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容要求，以研究新技術(shù)設(shè)備引入課堂后教學(xué)效果的差異。

一、創(chuàng)智課堂的教學(xué)研究

隨著教育改革的不斷深入和創(chuàng)新，教育教學(xué)手段也隨著不斷跟進(jìn)，特別是在“創(chuàng)智課堂建設(shè)”實(shí)踐與思考過程中，現(xiàn)代化教育教學(xué)內(nèi)容和手段層出不窮。 在函數(shù)教學(xué)課堂上，應(yīng)用日漸廣泛。在數(shù)學(xué)二期課改教材高一年級(jí)第一學(xué)期第四章中增加了“借助計(jì)算器觀察函數(shù)遞增的快慢”這一節(jié)內(nèi)容。筆者這次選擇幾道數(shù)學(xué)題目的解決都是利用了TI圖形計(jì)算器的函數(shù)圖像和列表的功能，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示、跟蹤軌跡，對(duì)于給定的區(qū)間上的函數(shù)只要輸入它的解析式，就能很快得到函數(shù)的圖像，并能求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，使學(xué)生能迅速觀察到函數(shù)遞增的快慢。而且學(xué)生還經(jīng)歷了用它們建立函數(shù)模型、解決實(shí)際問題的過程，初步學(xué)會(huì)了用函數(shù)觀點(diǎn)去觀察、解釋和分析一些自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣和激情，提高對(duì)函數(shù)探索學(xué)習(xí)部分的興趣和參與度。函數(shù)教學(xué)傳統(tǒng)使用列表描點(diǎn)得到函數(shù)圖像，這樣既耗費(fèi)課堂時(shí)間，又容易因?qū)W生繪圖不精確而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論，往往致使課堂氣氛沉悶，效率十分低下。筆者結(jié)合新增加的“借助計(jì)算器觀察函數(shù)遞增的快慢”這一節(jié)拓展型課內(nèi)容，決定進(jìn)行大膽嘗試和創(chuàng)新創(chuàng)智課堂，以完成高中數(shù)學(xué)二期課改教材關(guān)于對(duì)借助TI圖形計(jì)算器觀察函數(shù)遞增的快慢的觀察研究。受到教育專家和老師的高度關(guān)注。

二、觀察研究情況

在這一節(jié)課堂教學(xué)中，選擇了三道不同類型的試題進(jìn)行教與學(xué)的跟蹤演示，已達(dá)到觀察研究函數(shù)遞增快慢的目的。

問題一：甲乙兩兔賽跑，且它們同時(shí)從同一起點(diǎn)出發(fā)。甲兔以0.25米/秒的速度前進(jìn)。若時(shí)間用 秒來表示，乙兔跑的路程（米）關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為 。何時(shí)甲乙兩兔在途中相遇？甲乙兩兔誰(shuí)跑得快？

解：（1）甲兔跑的路程（米）關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)為：

乙兔跑的路程（米）關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)為：

則得交點(diǎn)為： 或 （舍） .

所以，在 （秒）時(shí)甲乙兩兔在途中相遇。

（2）甲兔平均速度 米/秒，

乙兔每一秒的平均速度 米/秒

所以，在前4秒乙兔快于甲兔，在4秒以后，甲兔快于乙兔。

[說明]從圖及表格中我們看出了什么？

（1）甲兔雖然開始時(shí)速度較慢，但持之以恒，勻速前進(jìn)，而乙圖后勁不足，終于慢于甲兔。

（2）甲兔、乙兔同時(shí)同地出發(fā)后，乙兔的速度快于甲兔，跑到甲兔的前面，且超前距離越來越大。

（3）經(jīng)過一段時(shí)間后，乙兔的速度漸漸地減慢，乙兔的超前距離在漸漸減小。

（4）乙兔的速度慢于甲兔，最終被甲兔追上了。

（5）乙兔的速度還在減慢，它落后于甲兔的距離越來越大。

說明：平均變化率是刻畫函數(shù)變化快慢的，本例中是時(shí)間長(zhǎng)為1秒的平均速度。

問題二：張先生向銀行貸款10萬(wàn)元。已知該項(xiàng)貸款有兩種計(jì)息辦法：

（1）按貸款額的5.2‰的月利率計(jì)單利；

（2）按貸款額的5‰的月利率計(jì)復(fù)利；

規(guī)定貸款的最長(zhǎng)期限為3年，還款時(shí)本息一次付清。張先生選擇哪種計(jì)息辦法更有利些？

解：設(shè)張先生貸款期限為 個(gè)月，則

按第1種計(jì)息辦法還款時(shí)的本利和：

按第2種計(jì)息辦法還款時(shí)的本利和：

當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；

所以，若張先生貸款期限不超過16個(gè)月時(shí)，選擇第2種計(jì)息辦法更有利些；超過16個(gè)月時(shí)，選擇第1種計(jì)息辦法更有利些。

說明：雖然線性函數(shù) 和指數(shù)型函數(shù) 在 上都是單調(diào)遞增函數(shù)，但當(dāng) 適當(dāng)大時(shí)，指數(shù)型函數(shù)比線性函數(shù)遞增快得多。

問題三：已知函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像在 處相交，試用數(shù)值比較兩個(gè)函數(shù)在 時(shí)遞增的快慢，并說明在函數(shù)圖像上的表現(xiàn)。

解：記 ，

由此可見 的遞增快于 的遞增。

從函數(shù)圖像中可見，說明 時(shí)， 的圖像比 圖像走勢(shì)陡峭。

說明：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)遞增快慢的比較：當(dāng) 適當(dāng)大以后，指數(shù)函數(shù) 的遞增總是快于冪函數(shù) 的遞增。

三、觀察結(jié)果分析

1、從教學(xué)效果看，借用TI圖形計(jì)算器教學(xué)對(duì)學(xué)生掌握函數(shù)的圖像和性質(zhì)有一定的積極作用，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣（更容易關(guān)注圖形變化、吸引注意力），使學(xué)生得到了直觀形象的認(rèn)識(shí)和刺激，感受能力得到提升，進(jìn)而比較容易認(rèn)清不同圖像間的區(qū)別，使得課外拓展更有抓手，在既有的教學(xué)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主解決實(shí)際問題，突出、突破了函數(shù)的圖像、性質(zhì)的理解和綜合應(yīng)用的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。

2、從教學(xué)模式看，借用TI圖形計(jì)算器進(jìn)入函數(shù)課堂教學(xué)一定程度上提高了學(xué)生課堂參與度，從而實(shí)現(xiàn)了單一的教（灌輸）到雙（多）向互動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生創(chuàng)新求知能力和參與實(shí)踐的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手能力。

3、從函數(shù)教學(xué)看，借用TI圖形計(jì)算器教學(xué)在提高學(xué)生理解函數(shù)圖像、性質(zhì)的能力方面有一定輔助效果，突出了函數(shù)的圖像和彼此區(qū)別，改變了傳統(tǒng)教學(xué)模式，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)、學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)能力和效果都有積極影響，還提高了單位時(shí)間的教學(xué)容量，使教學(xué)更有效率。