高中數(shù)學(xué)教學(xué)中突破數(shù)學(xué)思維障礙的實(shí)踐與思考

摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué);在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以問(wèn)題的解決為途徑，突破數(shù)學(xué)思維障礙，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞：思維;高中數(shù)學(xué)教學(xué);問(wèn)題解決

引言：《2016版高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué);在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的差異代表了不同的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)形式，從數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的角度分析，數(shù)學(xué)思維總是指向問(wèn)題的分析、問(wèn)題的變換和問(wèn)題的最后解決[1].在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都遇到過(guò)這些困惑：有些題目一聽(tīng)老師講解或一看答案，就明白了，但自己做題時(shí)卻怎么也想不出來(lái);還有很多學(xué)生在考試中，曾做過(guò)的原題，能正確解答，題目稍作改變，就不知如何下手了;更有甚者，對(duì)曾做過(guò)、老師也講過(guò)并且當(dāng)時(shí)也聽(tīng)明白了的題目，隔段時(shí)間再遇到還是不會(huì).這說(shuō)明，學(xué)生雖然學(xué)會(huì)了題目的不少具體解法，但并沒(méi)有真正提升數(shù)學(xué)思維，在問(wèn)題的解決過(guò)程中還是遇到了數(shù)學(xué)思維障礙.因此，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以問(wèn)題的解決為途徑，突破數(shù)學(xué)思維障礙，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的思維能力;既是新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也是改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀、促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的需要.

一、追本溯源，打好思維發(fā)展的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)解題能力的根本所在[2]筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，凡是游離在主題概念之外“規(guī)定”的地方，往往是學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，想不到和考慮不全的地方.例如，子集的概念中，規(guī)定了空集是任何集合的子集，在解決子集的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就往往漏掉集合是空集的討論.共線向量的概念中規(guī)定了零向量與任何向量是共線的，在解決向量共線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就往往漏掉向量為零向量的討論.此外，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和定理時(shí)，只重結(jié)論，輕視條件，導(dǎo)致應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.如，在研究直線與圓錐曲線關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，直線與圓錐曲線方程聯(lián)立、消元后，往往會(huì)想不到二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論.再如在已知數(shù)列前 項(xiàng)和 求通項(xiàng) 時(shí)，想不到 的條件，忽略了 時(shí)的情況;在等比數(shù)列求和時(shí)忘記 時(shí)的特殊情況.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，要特別重視概念和定理教學(xué)時(shí)的“第一次”，第一次就要讓學(xué)生通過(guò)探究、試誤等對(duì)概念和定理有一個(gè)正確的、完整的認(rèn)知，并在應(yīng)用中不斷強(qiáng)化和反思.

二、一題多解，突破慣性思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和思維的靈活性

一題多解是突破學(xué)生慣性思維，培養(yǎng)發(fā)散思維的好方法，在教學(xué)中，教師要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度審視問(wèn)題，不斷合作探究出更多更好的解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生在有限的時(shí)間里，從不同角度思考問(wèn)題，活躍思維，開(kāi)闊視野，從而突破慣性思維，提升學(xué)生的思維能力和運(yùn)用知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力.

例1、設(shè) ，若 恒成立，求正實(shí)數(shù) 的取值范圍.

解析：原命題等價(jià)于 恒成立，求正實(shí)數(shù) 的取值范圍.

角度1：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，這個(gè)角度學(xué)生容易想到，但需要分類討論.

令 ，通過(guò) 研究函數(shù) 的最小值分兩類求解.

角度2：能否避開(kāi)分類討論？注意到條件 ，可以變量分離，通過(guò)研究 的圖象與 的關(guān)系解決問(wèn)題.

三、一題多變，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性

一題多變，可以變?cè)O(shè)問(wèn)也可以變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)探究可以引導(dǎo)學(xué)生深度挖掘在同一條件下所涉及的各方面問(wèn)題，通過(guò)多角度的問(wèn)題解決，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性;在數(shù)學(xué)問(wèn)題中一個(gè)條件的細(xì)小變化就可能引起結(jié)果和解決過(guò)程的很大差異，變換條件探究可以引導(dǎo)學(xué)深度思考，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例2、已知 的三個(gè)內(nèi)角 對(duì)應(yīng)的邊分別是 且 ，

求 周長(zhǎng)的取值范圍.

解析：利用正弦定理把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為角 的函數(shù) ，其中 ，可求得 .

這個(gè)問(wèn)題解決后，可以通過(guò)條件的等價(jià)變，加強(qiáng)變，以及條件不變的情況下，多個(gè)出題方向的探尋，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考、進(jìn)一步探究.

變條件

（1） 條件改為等價(jià)條件角 成等差數(shù)列，

（2） 條件改為等價(jià)條件

（3） 條件改為等價(jià)條件

（4） 條件改為等價(jià)條件

（5） 此條件加強(qiáng)為條件 ，且 為銳角三角形.求解時(shí)在原題的基礎(chǔ)上角 的范圍變成了 ，同理可求的 .

變?cè)O(shè)問(wèn)

（1）求 面積的取值范圍.可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 來(lái)求解.

（2）求 的取值范圍. 可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 來(lái)求解.

（3）求 型表達(dá)式的取值范圍. 可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 型函數(shù)來(lái)求解.

（4）求 邊上的高的取值范圍. 可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 來(lái)求解.

（5）若 ， 的面積為 求 的最小值.可由三角形面積公式和余弦定理來(lái)求解.

四、角色轉(zhuǎn)換，提高學(xué)生思維的獨(dú)立性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，把由老師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的錯(cuò)誤點(diǎn)，轉(zhuǎn)換為由學(xué)生找錯(cuò)在哪里？并點(diǎn)評(píng)，由老師講轉(zhuǎn)換為學(xué)生講，可以激發(fā)學(xué)生思考的原動(dòng)力，提高學(xué)生思維的獨(dú)立性與嚴(yán)密性，進(jìn)而也培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維.

例3、已知函數(shù) ，若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 的取值范圍.

教學(xué)中教師可先展示一個(gè)解析過(guò)程：原命題等價(jià)于 有兩個(gè)解，令 ，等價(jià)于 與 有兩個(gè)交點(diǎn). ，令 ，當(dāng) 時(shí) ，且 在定義域上單調(diào)遞減，可得 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，得到 的最大值為 ，故 .

然后由學(xué)生思考、討論、評(píng)判以上解析是否正確，若不正確，指出錯(cuò)在哪里？由學(xué)生合作探究出錯(cuò)誤的原因在于忽視了該函數(shù)圖像的“漸近線”，誤認(rèn)為當(dāng) 時(shí)， 而實(shí)際上應(yīng)該是 . 的圖象應(yīng)該如圖所示：

正確答案是：當(dāng) 時(shí)， 有2個(gè)零點(diǎn).

五、注重?cái)?shù)形結(jié)合和直觀想象，利用形象思維突破抽象思維障礙

數(shù)學(xué)的概念、命題本來(lái)是抽象的，學(xué)習(xí)理解時(shí)就會(huì)有一定的障礙，而形象思維恰恰可以打破這種障礙[1].例如，利用韋恩圖、數(shù)軸等來(lái)研究集合之間的關(guān)系問(wèn)題，就可以具體形象的突破抽象思維的障礙.再如，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法原理時(shí)，很多學(xué)生理解上會(huì)遇到困難，在教學(xué)中可利用多米諾骨牌來(lái)形象的幫助學(xué)生理解該原理.另外，在習(xí)題教學(xué)中注重?cái)?shù)形結(jié)合和直觀想象，也能起到事半功倍的效果.

例4、（2018屆濰坊高三期末考試）在如圖所示的平面四邊形ABCD中， 為等腰直角三角形，且 ，則 長(zhǎng)的最大值為 .

問(wèn)題分析：常規(guī)思路是構(gòu)造BD的函數(shù)，用函數(shù)的最值來(lái)解決，設(shè) ，建立函數(shù)模型 ，從而得到答案;但如果引導(dǎo)學(xué)生抓住三角形ACD為等腰直角三角形，且AC=CD，就可以過(guò)點(diǎn)C作OC垂直于BC，并使OC=BC，得到 ，可得 ， 點(diǎn)在以 點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 點(diǎn)到圓 上點(diǎn)的最大距離問(wèn)題了，當(dāng) 點(diǎn)在 處時(shí)有最大值，可得 的最大值為 .這樣問(wèn)題的解決就簡(jiǎn)單多了.

六、注重語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，突破因語(yǔ)言障礙引發(fā)的思維障礙

數(shù)學(xué)是思維的體操，語(yǔ)言是思維的載體，思維需要用語(yǔ)言或文字來(lái)表達(dá)，語(yǔ)言障礙會(huì)具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，既與語(yǔ)言理解有關(guān)，也涉及到數(shù)學(xué)思維障礙[2].因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言以及不同表述間的轉(zhuǎn)換，形成數(shù)學(xué)概念和定理的整體認(rèn)識(shí)和融會(huì)貫通，在靈活的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和問(wèn)題解決中，鍛煉學(xué)生思維的敏捷性.例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念時(shí)，在教學(xué)中可利用多媒體展示學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等圖像，圖象呈現(xiàn)上升或下降趨勢(shì)（圖形語(yǔ)言），對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換到y(tǒng)隨x的增大而增大或減小（文字語(yǔ)言），理解起來(lái)并不困難，關(guān)鍵是如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？可組織學(xué)生充分合作探究，數(shù)學(xué)中的增大或減小，如何體現(xiàn)？（通過(guò)兩者大小比較），在某一區(qū)間上全部滿足又該如何表述？（突出取點(diǎn)的任意性），進(jìn)而由學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述函數(shù)單調(diào)性概念，老師點(diǎn)評(píng)完善.再如，在立體幾何的定理學(xué)習(xí)時(shí)，要注重文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)語(yǔ)言）、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的呈現(xiàn)，可通過(guò)師生、生生之間相互提問(wèn)、“翻譯”的方式加以強(qiáng)化.另外，也要重視實(shí)質(zhì)相同的不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述之間的轉(zhuǎn)換，例如，方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)之間的表述轉(zhuǎn)換，正余弦函數(shù)的極值點(diǎn)與對(duì)稱軸的表述轉(zhuǎn)換，點(diǎn)、向量與復(fù)數(shù)之間的表述轉(zhuǎn)換等.

總之，數(shù)學(xué)思維障礙的成因有很多方面，也很復(fù)雜，還需要在教學(xué)實(shí)踐中，不斷思考、研究，結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教育對(duì)象，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以問(wèn)題的解決為途徑，突破數(shù)學(xué)思維障礙，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]王憲昌.數(shù)學(xué)思維方法.北京：人民教育出版社，2010.

[2]童嘉森.中學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng).北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2013.

作者簡(jiǎn)介：

韓秀波，男，44歲，高級(jí)教師，全國(guó)優(yōu)秀教師，全國(guó)優(yōu)秀班主任，首屆山東省十大教育科研名師，萊蕪市有突出貢獻(xiàn)的中青年專家，山東師范大學(xué)教育碩士合作導(dǎo)師。