對小學(xué)數(shù)學(xué)方程教學(xué)的理解

鄧富剛

摘要：方程是人類科學(xué)家一代接著一代歷經(jīng)漫長而艱辛的探索研究而完成的偉大成就，是人類文化寶庫中的瑰寶。方程是解決數(shù)學(xué)問題的基本的、常用的工具，又是最簡潔、最有效的工具，同時方程思想也是學(xué)生必須掌握基本數(shù)學(xué)思想。含有未知數(shù)的等式就是方程。讓學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，準(zhǔn)確理解方程的意義，逐步培養(yǎng)學(xué)生的方程思想。根據(jù)等式的性質(zhì)解方程是解方程的基本方法，用“四則運算各部分間的關(guān)系”解方程有異曲同工之妙。分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列方程。既是教學(xué)的重點，也是難點，同時又是列方程解決實際問題的關(guān)鍵點。

關(guān)鍵詞：方程；等式性質(zhì)；解方程；解決問題

人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》五年級上冊第五單元“簡易方程”。在用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上，安排了四個內(nèi)容：方程的意義、等式的性質(zhì)、解方程、實際問題與方程。

一、方程的發(fā)展

教科書在“方程的意義”后面這樣描述：“早在三千六百多年前，埃及人就會用方程解決數(shù)學(xué)問題了。在我國古代，大約兩千年前成書的《九章算術(shù)》中，就記載了用一組方程解決實際問題的史料。一直到三百多年前，法國的數(shù)學(xué)家笛卡爾兒第一個提倡用x、y、z等字母代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。”

這樣描述我總覺得似乎還差點什么。借助網(wǎng)絡(luò)平臺獲知：古代的中國是世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國家，算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角各方而都十分發(fā)達(dá)。公元前一世紀(jì)已有多元方程組、一元二次方程、不定方程。比希臘丟番圖方程要早三百多年。三次方程，唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載，十一世紀(jì)的賈憲發(fā)明數(shù)字方程解法，十三世紀(jì)秦九韶在這方面也有偉大的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)史上對方程的原始記載有著不同的形式，中國天元術(shù)簡潔明了，四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物。“周髀算經(jīng)”、“九章算術(shù)”都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)。元代朱世杰的級數(shù)計算，歐洲在十八、九世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄。方程的英語equation就是“等式”的意思。清朝初年中國的數(shù)學(xué)家把equation譯成“相等式”，到清朝咸豐九年才譯成“方程”。從這時候起，“方程”就表示含有未知數(shù)的等式，劉徽在《九章算術(shù)》中說的“方程”其實“方程組”。

縱觀人類對方程漫長而艱辛的探索研究歷程。它是古埃及人、巴比倫人、阿拉伯人、中國人、印度人、西歐人的科學(xué)家們，一代接著一代完成的偉大成就，讓我們對“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”有更深的感悟。

二、方程教學(xué)的意義

《課標(biāo)》說：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具?！倍鴳?yīng)用方程解決數(shù)學(xué)問題，可以免去逆向思維的不容易，直接正向思維地列出包含欲求解的量的等式，從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題目的。所以方程是解決數(shù)學(xué)問題的基本的、常用的工具，又是最簡潔、最有效的工具，同時方程思想也是學(xué)生必須掌握基本數(shù)學(xué)思想。

三、方程教學(xué)之我見

（一）方程的意義

1、在“方程的意義”的教學(xué)中。教科書給出的定義是“像100+x=250，3x=2.4……這樣，含有未知數(shù)的等式就是方程。” 讓學(xué)生記住這句話并不難，但讓學(xué)生真正建立方程思想又確實不容易，這需要一個體驗、理解、感悟的過程。然而這又正是我們的教學(xué)重點和必須達(dá)成的目標(biāo)。在這里要注意突破兩個關(guān)鍵點，一個是等式（表示等號兩邊相等關(guān)系的式子，即等量關(guān)系），另一個是未知數(shù)（要經(jīng)過運算才能確定的數(shù)，簡言之還沒知道的數(shù)字）。

2、回顧我們的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，其實，對方程的體驗、理解、感悟已有四年的歷程，只是沒有明確提出“方程”這個詞而已。從一年級開始我們就在做：數(shù)的分與合、7+□=16、15-□﹦5、□+8=12、□-6=4、5+8=6+7=□+□=□+□、6+□×5=40、男生人數(shù)+20=50、20+□=100、Δ=9 Δ-6=☆ □+☆=10……這些類型的題目，它們不就是方程嗎？其中：7、16、15、、8、、20、50、100……像這些都知道的數(shù)，數(shù)學(xué)上給它們一個名稱：已知數(shù)；□、Δ、☆、（）、男生人數(shù)等等不知道的數(shù)，數(shù)學(xué)上也給它們一個名稱：未知數(shù)。

由此可見：一年級我們就開始學(xué)習(xí)方程了。同時，也說明未知數(shù)不等價于字母，并不是只有x、y、z這些字母是未知數(shù)，x、y、z這些字母也不一定就是未知數(shù)，它們也可以表示已知數(shù)。我們用字母表示數(shù)、表示未知數(shù)，目的是為了使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡明，更具有普遍意義，使思維過程簡約化。

（二）等式的性質(zhì)

經(jīng)歷了“方程意義”的建模學(xué)習(xí)后，來學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)就容易多了，在這里采用課件天平進(jìn)行教學(xué)容易掌控、方便快捷，通過天平平衡原理的演示就可以那把等式基本性質(zhì)直觀地表現(xiàn)出來。

教科書64～65頁的四組情境圖設(shè)計得好，但需要我們把它蘊藏的等式含義充分挖掘出來。仔細(xì)觀察演示過程：第一組圖中的第一圖，天平左邊放了一把壺，右邊放了兩個杯子，天平保持平衡，這說明：一把壺的質(zhì)量和兩個杯子的質(zhì)量相等，即一把壺的質(zhì)量=兩個杯子的質(zhì)量；第一組圖中的第二圖，天平左邊放了一把壺和一個杯子，右邊放了三個杯子，也就是在第一圖的基礎(chǔ)上，天平的兩邊同時再放上一個杯子，天平仍然保持平衡，這說明：一把壺的質(zhì)量加上一個杯子的質(zhì)量和三個杯子的質(zhì)量相等，即一把壺的質(zhì)量+一個杯子的質(zhì)量=三個杯子的質(zhì)量。

回顧演示過程并比較：從“一把壺的質(zhì)量=兩個杯子的質(zhì)量”到“一把壺的質(zhì)量+一個杯子的質(zhì)量=三個杯子的質(zhì)量”的演示過程，就是在“一把壺的質(zhì)量=兩個杯子的質(zhì)量”這個等式的兩邊同時加上“一個杯子的質(zhì)量”，仍然是等式“一把壺的質(zhì)量+一個杯子的質(zhì)量=三個杯子的質(zhì)量”。把這個過程用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來就是：若用x表示壺的質(zhì)量、y表示杯子的質(zhì)量，我們得到等式“x=2y”，在“x=2y”這個等式的兩邊同時加上“y”，即x+y=2y+y，得到的仍然是等式“x+y=3y”，也就是等式的兩邊同時加上同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。

依據(jù)第一組圖的演示過程和思想方法，略加調(diào)整進(jìn)行后面三組的學(xué)習(xí)。

從第二組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時減去同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。即在“x+y=4y”這個等式的兩邊同時減去“y”，即x+y-y=4y-y，得到的仍然是等式“x=3y”。

從第三組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時乘同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。即在“x=y”這個等式的兩邊同時乘“2”，即x×2=y×2，得到的仍然是等式“2x=2y”。

從第四組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時除以同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。即在“2x=6y”這個等式的兩邊同時除以“2”，即2x÷2=6y÷2，得到的仍然是等式“x=3y”。

引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)出：等式的性質(zhì)1和等式的性質(zhì)2。在這里要提醒學(xué)生注意兩點：一是等式的性質(zhì)2中的“不為0”，因為任何數(shù)乘0都為0，而除以0則無意義；二是“左右兩邊仍然相等”，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來就是“左邊=右邊”，那么“右邊=左邊”也就順理成章了，這其實就是等式的性質(zhì)3--等式的對稱性。

（三）解方程

解方程的教學(xué)關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生探索解方程的方法和步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷解方程的完整過程，體會解方程背后所蘊含的化歸思想?；瘹w都依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行，首先把方程化歸成“x±b=c”或“ax=b”的形式，再化歸成“x=a”的形式，使方程得解。在“ax±b=c”形式的方程中，聯(lián)系“ax”在題中的實際含義，把“ax”看作一個整體，將方程“ax±b=c”看成“□±8=12”的形式。

例題講解要精準(zhǔn)簡潔，提醒學(xué)生注意兩點：書寫格式規(guī)范和養(yǎng)成檢驗的好習(xí)慣，檢驗過程可以不寫出來，但一定要檢驗。下面簡要說一說我對例題講解：

例1 x+3=9

解： x=9-3

x=6

講解：x+3=9求x，根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時減去3，結(jié)果仍是等式。即x+3-3=9-3，x=6。檢驗：左邊=6+3=9右邊，所以x=6是原方程的解。

例2 3x=18 （講解：根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時除以3。即3x÷3=18÷3，x=6。檢驗：左邊=3×6=18右邊，所以x=6是原方程的解。）

例3 20-x=9 （講解：首先根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時加上x，結(jié)果仍是等式。即20-x+x=9+x，20=9+x；再根據(jù)等式的對稱性得：9+x=20；第三步根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時減去9。即9+x-9=20-9，x=11。檢驗：左邊=20-11=9=右邊，所以x=11是原方程的解。其實，“a-x=b”和“a÷x=b”形式的方程我們還可以用“四則運算各部分間的關(guān)系”來解讀，減數(shù)=被減數(shù)-差，也就是x=20-9。這給我們一個啟示：兩種方法有異曲同工之妙，我們的思維方式和解題方法要靈活，也應(yīng)該靈活。）

例4 3x+4=40 （講解：首先，把“3x” 看作一個整體，根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時減去4，即3x+4-4=40-4，3x=36；再根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時除以3。即3x÷3=36÷3，x=12。檢驗：左邊=3×12+4=36+4=40=右邊，所以x=12是原方程的解。）

例5 2（x-16）=8（講解：方法一：首先，把“（x-16）” 看作一個整體，根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時除以2，即2（x-16）÷2=8÷2，x-16=4；再根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時加上16。即x-16+16=4+16，x=20。方法二：首先根據(jù)乘法分配律去括號，2x-32=8；再根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時加上32。即2x-32+32=8+32，2x=40。第三步根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時除以2。即2x÷2=40÷2，x=20。檢驗：左邊=2×（20-16）=2×4=8=右邊，所以x=20是原方程的解。）

（四）實際問題與方程

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，又應(yīng)用于現(xiàn)實生活?！皩嶋H問題與方程”的教學(xué)，就是把我們學(xué)會的方程和解方程的知識，應(yīng)用于解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題。教科書在例1和例2的學(xué)習(xí)之后，歸納了三點：“1、找出未知數(shù)，用字母x表示；2、分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列方程；3、解方程并作答?！睔w納得非常精準(zhǔn)。要學(xué)生記住這三點不是難事，然而，讓學(xué)生把這一解題的方法步驟用于實際問題的解決，又確實不容易。下面談?wù)勎覍@三個解題步驟的理解。

1、找出未知數(shù)，用字母x表示。在解題時，嚴(yán)格遵循“求什么就設(shè)什么，并用字母x表示出來”的解題規(guī)律，當(dāng)我們用字母x表示未知數(shù)后，就把x同已知數(shù)一樣看待，讓未知數(shù)參與進(jìn)已知數(shù)中進(jìn)行思考問題，應(yīng)用到具體問題的數(shù)量關(guān)系中去。

2、分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列方程。

這一環(huán)節(jié)，既是教學(xué)的重點，也是難點，同時又是列方程解決實際問題的關(guān)鍵點。數(shù)學(xué)問題的解決過程實質(zhì)是一個探索和創(chuàng)新的過程。對于學(xué)生來說要解決的每一個數(shù)學(xué)問題，都是新的問題，要達(dá)到解決問題的目的，我們要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的問題情景，對自已掌握的知識和方法重新組合形成新的策略和方法，去探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和途徑。這一過程不僅能讓學(xué)生獲得初步的創(chuàng)新能力，同時還能培養(yǎng)學(xué)生從小養(yǎng)成創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的習(xí)慣，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。那么，怎樣“分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系”呢？

首先，讀題，正確理解題意，找出題中體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的“關(guān)鍵句”。課本中的例1、小明破紀(jì)錄啦！成績?yōu)?.21m，超過原紀(jì)錄0.06m，學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是多少米？其中“成績?yōu)?.21m，超過原紀(jì)錄0.06m”就是關(guān)鍵句。

其次，把“關(guān)鍵句”抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)。即“原紀(jì)錄+超出部分=小明的成績”、“小明的成績=原紀(jì)錄+超出部分”、直接表達(dá)為“成績4.21m=原紀(jì)錄+0.06m”也未嘗不可。

第三，用數(shù)學(xué)符號列出方程?！霸O(shè)學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是x米?！眲t有方程：x+0.06=4.21、4.21=x+0.06，這兩個方程實質(zhì)是同一個方程，只是表現(xiàn)形式不同而已。

比如：故宮的面積是72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場面積的面積是多少萬平方米？關(guān)鍵句是：“72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米”；等量關(guān)系是：“天安門廣場面積×2-16=故宮的面積”，或者“72=天安門廣場面積×2-16”；方程是：2x-16=72、或者72=2x-16。

又比如：蘋果每千克5元，媽媽用20元錢能買蘋果多少千克？關(guān)鍵句是：買蘋果。等量關(guān)系是：單價×數(shù)量=總價。方程是：5x=20。常用的數(shù)量關(guān)系式就是我們列方程的等量關(guān)系式。

再比如：學(xué)?；@球場的周長是90米，長是30米，寬是多少米？關(guān)鍵句是：籃球場的周長。等量關(guān)系是：2（長+寬）=周長。方程是：2（30+x）=90。常用的公式也是我們列方程的等量關(guān)系式。

另外，在“分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列方程”這個環(huán)節(jié)，我們也經(jīng)常用畫線段圖的方法來分析數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出方程。把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力的工具。

在教學(xué)實踐活動中，這些解決問題方法我們既要教給學(xué)生，同時還必須教會學(xué)生。直接根據(jù)“關(guān)鍵句”來分析問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，而根據(jù)線段圖來分析問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。不同的思維方式和思維習(xí)慣，沒有優(yōu)劣之分，目的不是為了一題多解，而是為了發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，同時也使學(xué)生深刻體會“等量關(guān)系”的本質(zhì)特征。

3、解方程并作答。有了前面的知識和能力儲備，學(xué)生都能順利完成，但要格式規(guī)范，過程簡潔，結(jié)果正確。

總之，在教學(xué)實踐活動中，不斷改進(jìn)與完善自己的教學(xué)方法，圍繞學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律展開相應(yīng)的教學(xué)活動。以學(xué)生的生活實際為學(xué)習(xí)背景，學(xué)生更容易理解新知識，讓學(xué)生體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件輕松愉快的事，以便學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，掌握列方程、解方程的知識技能，逐步培養(yǎng)學(xué)生的方程思想，豐富學(xué)生解決實際問題的策略，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn).

[2]解讀《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2016年版） 黃秀華.