認知理論視野下數(shù)學“準概念”的教學處理

程冬梅

摘 要：“準概念”是學生對數(shù)學概念的“非標準化理解”“非正規(guī)化表達”?！皽矢拍睢笔菍W生數(shù)學概念學習過程的一種表征?！皽矢拍睢本哂薪?jīng)驗性、形象性與接近性。基于“認知理論”，教學中教師要尊重學生“童化表征”，助推學生“緩沖理解”，引導學生“漸進認知”，將學生的“準概念”發(fā)展、提升為科學的數(shù)學概念。

關鍵詞：認知理論；準概念；教學處理

數(shù)學概念是數(shù)學教學的基石。學生由于年齡和心理特征的影響，在數(shù)學學習中對概念經(jīng)常會產(chǎn)生“非標準化理解”，這種“非標準化理解”的數(shù)學概念就是數(shù)學的“準概念”?！皽矢拍睢钡男纬蛇^程正是學生對科學的數(shù)學概念逐步逼近、漸進的過程。教學中，教師如何把握學生的“準概念”理解？學生的“準概念”理解在數(shù)學教學中到底發(fā)揮著怎樣的作用？如何提升學生的數(shù)學“準概念”？筆者在教學實踐中展開了積極的探索。

一、“認知理論”視野下數(shù)學“準概念”內(nèi)涵及其特征

“認知理論”認為，學生對數(shù)學概念的認知有兩種方式——“同化”與“順應”。所謂“同化”，是指學生將新知納入自己原有認知結構之中，進而實現(xiàn)認知結構數(shù)量的擴展；所謂“順應”，是指學生的認知結構因新知介入而發(fā)生改變，是學生認知結構性質的改變。學生的認知發(fā)展是從“平衡”到“不平衡”再到“平衡”的過程，其間伴隨著學生的認知符合、認知沖突、認知失衡、認知失調(diào)等。其間，學生常常依據(jù)自己的知識基礎、學習經(jīng)驗和生活經(jīng)歷對數(shù)學概念進行解釋，這樣的“非正規(guī)表達”就是學生的“準概念”表達?！皽矢拍睢北磉_是學生數(shù)學學習的過程性表達，有些還夾雜著學生的創(chuàng)造性理解。學生數(shù)學“準概念”具有如下特質：

1. 經(jīng)驗性。經(jīng)驗性是學生數(shù)學“準概念”的顯性特質。在數(shù)學學習中，許多學生對數(shù)學概念的描述就是根據(jù)的經(jīng)驗。例如，學生在表述“進一法”“去尾法”時，就是根據(jù)的解決問題的經(jīng)驗。學生認為，所謂“進一法”，就是“寧可多，不可少”；所謂“去尾法”，就是“寧可少，不能多”。這樣的表述，盡管不是嚴格的數(shù)學意義上的表述，但卻直切了概念的內(nèi)涵。當然，依靠經(jīng)驗表述概念，也會出現(xiàn)一些模糊性、錯誤性的認識。比如，對于“高”的理解，垂直是其本質內(nèi)涵，但學生卻將其表述為“豎直”。對于這種背離概念本質內(nèi)涵的“準概念”表述，教學中教師要積極引導學生辨析。

2. 形象性。學生的思維方式是豐富的，有的善于抽象思維，有的善于形象思維，還有的善于直觀動作思維。在數(shù)學教學中，對于不同思維方式、認知傾向的學生，教師要尊重、理解和包容，允許學生對概念的多元描述。有時，正是在感性的描述中，學生能夠觸碰到概念的本質內(nèi)核。例如學生在描述“面積”的概念時，沒有用“物體表面或平面圖形的大小”，而是用手掌搖晃表示，顯然這樣的動作表示是切入概念的本質內(nèi)涵的；有學生畫出一個圖形，然后涂色，這樣的形象的表示方法也是生動的。換言之，在數(shù)學教學中，學生借助動作、圖形表征概念，能夠促進學生對概念的意義理解。

3. 接近性。通常情況下，學生的“準概念”理解與表達接近數(shù)學的概念的本質內(nèi)涵。但是，這些“準概念”的描述卻不能登“大雅之堂”，如考試試卷上、作業(yè)填空題中等。對于學生的“準概念”，教師要因勢利導，努力讓學生的“準概念”表述逼近、上升為“概念”的科學描述。例如對于“素數(shù)”的概念，有學生這樣表述：“素數(shù)”就是只能分解成一道乘法算式的數(shù)，如2=1×2，3=1×3，5=1×5，…對于學生的描述，教師可以順水推舟，這些數(shù)的因數(shù)有哪些？如此，素數(shù)的概念——“只有1和它本身兩個因數(shù)”就能在學生的心中牢固建立。

“準概念”是學生在概念學習中必然產(chǎn)生的一種數(shù)學表達。教學中，教師要揣摩學生的“準概念”表達、理解學生的“準概念”表達、包容學生的“準概念”表達。只有對學生的“準概念”表達持續(xù)關注、積極引導，才能改變、發(fā)展和重建科學化的數(shù)學概念，讓學生逐步逼近概念本質，理解概念內(nèi)涵，把握概念外延。

二、“認知理論”視野下提升“準概念”教學路徑探尋

“準概念”是學生數(shù)學學習中客觀存在的現(xiàn)象。教學中，對于學生概念的個性化表述，教師要積極引導。對于學生數(shù)學“準概念”的童化表征、緩沖理解和漸進認知，教師要積極啟發(fā)，引導學生逐步觸摸、逼近、抵達概念的本質。只有學生親歷了概念的發(fā)生、發(fā)展與形成全過程，深入剖析、提煉了概念的本質屬性，才能形成對概念的本質理解。

1. 童化表征：引導學生觸摸概念的內(nèi)核

學生對概念的表征是童化的、非正規(guī)的。它可能是源于學生的數(shù)學直覺、數(shù)學想象，抑或只是學生的奇思妙想、異想天開。對于學生的童化表征，教師要積極引導、適度矯正，讓學生逐步觸摸到概念的內(nèi)核。

教學蘇教版四年級下冊的《平行四邊形的認識》，筆者將它與《梯形的認識》進行整合，其意圖在于讓學生能夠掌握四邊形家族中的這兩個特殊的成員的概念本質。首先出示各式各樣的四邊形，然后引導學生嘗試自主分類。學生很快將之分成了三類：第一類是兩組對邊都不互相平行，第二類是兩組對邊分別平行，第三類是只有一組對邊平行。對于平行四邊形，學生的概念表述基本上是到位的，但對于梯形，一些學生認為，“有一組對邊平行的四邊形”是梯形；還有一些學生認為，“只有一組對邊平行的四邊形”是梯形。筆者適時追問，這里要不要加上“只”字？有學生認為不需要加，還有一些學生認為一定要加。學生用自己的話語表述：“我有姐姐”和“我只有姐姐”是不同的，“我有姐姐”除了表示我有姐姐外，還表示我可以有哥哥；“我只有姐姐”表示我除了有姐姐外不能有哥哥。在這樣的童化表征中，學生理解了“只”的深刻內(nèi)涵，顯然，這里的“只”字表示“唯一性”。這種與正式的數(shù)學概念相似的童化表述，教師只要稍加點撥，就能觸碰到概念的本質內(nèi)核。如筆者是這樣點撥的：“有一組對邊平行可能是幾組對邊平行呢？”“只有一組對邊平行就是幾組對邊平行呢？”在不斷地辨析中，學生理解了梯形的本質內(nèi)涵。

對于學生“準概念”的教學，其實就是進行科學、合理的概念轉變、提升的教學過程。借助學生的“準概念”，教師適時彰顯概念的本真意蘊現(xiàn)象，幫助學生鋪設通達概念本質的寬暢道路。如此，學生就能跨越從形象到抽象的思維障礙，讓抽象化的數(shù)學概念在“理性”中“定格”。

2. 緩沖理解：引導學生逼近概念的本質

學生對數(shù)學概念的認知與把握不是一次性到位的，其間可能要經(jīng)過一個漫長的、曲折的過程。教學中，教師不能要求教學的一帆風順，不能企望教學的一蹴而就，而應允許學生的緩沖理解。學生的這種緩沖理解可能只是學生的一種體驗、一種意會，也可能只是學生的一種懵懂的表達，但其中卻閃現(xiàn)著數(shù)學本質的光輝，蘊含著數(shù)學知識的本質種子。

例如教學《分數(shù)的認識》，其教學重點是讓學生理解分數(shù)的意義，其關鍵在于認識單位“1”以及建立整體與部分之間的關系。為了突出教學重點，筆者預設了系列教學層次，讓學生按照一個物體、一個計量單位和許多物體組成的整體的順序展開活動。通過分層建構，讓學生的數(shù)學理解緩慢地生長。學生首先將一個圓片平均分成四份，涂色表示其中的一份；其次將一分米長的線段平均分成四份，表示其中的一份；再次將一堆小棒平均分成四份，表示其中的一份。通過分層建構，學生認識到：一個物體可以看成單位“1”，一個計量單位可以看成單位“1”，許多物體組成的整體也可以看成單位“1”。至此，學生的“準概念”步步升溫，他們深刻理解了單位“1”的本真內(nèi)涵。原來單位“1”是一個整體，“分數(shù)就表示將單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的大小的數(shù)，叫分數(shù)”（張奠宙語）。

在數(shù)學教學中，學生的數(shù)學理解有時不是一步到位的，正如分數(shù)概念的建立。但是，學生數(shù)學理解、數(shù)學認識的不嚴密，恰恰為教師的豐富性教學提供了可能。正是這樣的分層建構，才讓學生真正感受、體驗到數(shù)學的嚴謹、嚴密，體驗到數(shù)學概念高度的抽象性、普適性。

3. 漸進認知：引導學生抵達概念的本質

如上所述，學生對數(shù)學概念的理解是緩慢的，同樣，學生對數(shù)學概念的認知建構也是漸進的。某種意義上，“準概念”充滿了兒童的靈氣，教學中教師要尊重它、呵護它。但允許學生的“準概念”的漸進性的認知建構并不是對數(shù)學概念精確性要求的放棄，更不是放逐，相反地，它是在追求學生真正意義上的理解，是一種“模糊性的精確”，因而是一種真精確、真理解。

例如對于“三角形的高”這一概念，蘇教版教材是安排在《三角形的認識》第一課時中的。這一課時的內(nèi)容有三個板塊：一是“三角形的特征”，二是“三角形的底和高”，三是“三角形的穩(wěn)定性”。許多教師在教學中都是“行色匆匆”，知識點都有所涉獵，但都是蜻蜓點水、浮光掠影。對于“三角形的高”，筆者在教學中讓學生“漸進認知”，首先出示銳角三角形，讓學生從上面的頂點往底邊作垂直線段，學生很輕松地作出了高，這一步旨在讓學生初步建立“垂直”概念；然后將這個銳角三角形旋轉，高也隨著銳角三角形的旋轉而發(fā)生了位置變化，這一步旨在讓學生區(qū)分“豎直”與“垂直”的區(qū)別，進一步明晰“垂直”的本質內(nèi)涵；接著在第二課時中出示直角三角形、鈍角三角形，要求學生過三個頂點作三條高，學生發(fā)現(xiàn)，三角形的高不僅可以在三角形的內(nèi)部，而且也可以在三角形的邊上，還可以在三角形的外面。這樣的漸進認知，不斷讓學生逼近數(shù)學本質，最后抵達數(shù)學概念的本質深處。

漸進化的認知要求教師在教學的“下一個路口等孩子”，要求教師在教學中不能急功近利，不能急躁、浮躁，而應從學生的學習心理特征出發(fā)，充分預設學生學習中可能會遭遇的障礙，可能會發(fā)生的錯誤。只有這樣，教師才能給予學生的數(shù)學學習以有力的支持、支撐，助推學生形成科學化的數(shù)學概念。

學生的概念學習是一個過程，在這個過程中，學生自然且必定要經(jīng)過“準概念”的學習狀態(tài)。教學中，教師要正視學生的數(shù)學“準概念”理解，運用學生的數(shù)學“準概念”，消除學生的思維定式，矯正學生的迷思概念，提升學生的童化表達。理解和把握學生的數(shù)學“準概念”，讓學生從對數(shù)學的模糊認知走向對數(shù)學的精準把握，這是數(shù)學教師的永恒追求。