利用多普勒的運動單站直接定位算法

李春奇 吳 迪 趙擁軍

(信息工程大學數(shù)據(jù)與目標工程學院，河南鄭州 450001)

1 引言

運動單站定位通過單個運動觀測站來對目標輻射源進行截獲、測量并獲得目標的位置信息。運動單站定位系統(tǒng)與多站定位系統(tǒng)相比，不需要大量的通信數(shù)據(jù)傳輸，具有結構簡單、設備靈活等優(yōu)點，因此對航海和航空、衛(wèi)星定位預警、引導反輻射武器、電子偵察等許多民用、軍用領域都有著廣闊的應用前景[1]。

傳統(tǒng)的運動單站定位一般采用兩步定位體制，即使單站觀測器與輻射源之間發(fā)生相對幾何位置的變化，在位置變化的過程中通過多次測量獲得目標的信息數(shù)據(jù)[2]，然后進行參數(shù)估計，最后得出目標的位置估計，其中的參數(shù)估計有多種方法，如對波達方向(Direction of Arrival，DOA)[3]、 到達時間(Time of Arrival, TOA)[4]、 到達時間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[5]、到達頻差(Frequency Difference of Arrival)[6]、多普勒頻差(Differential of Doppler, DD)[7]的估計及聯(lián)合估計[8-9]等。然而，兩步定位體制也存在著一些問題。由信息論的角度來講，從接收到的原始數(shù)據(jù)到獲得最后結果，每增加一步處理流程，會難以避免造成一定的信息損失，導致定位精度受到影響，難以得到最優(yōu)的估計結果。近些年來，隨著數(shù)據(jù)傳輸速度及計算機性能的提高，以Weiss和Amar為代表的一些國內外學者提出了一種新的無源定位方法，即單步定位算法，又稱直接定位算法(Direct Position Determination, DPD)[10]。該類定位方法的基本理念是從接收到的數(shù)據(jù)中直接得到目標輻射源的位置，而不需要進行參數(shù)估計。Weiss在文獻[10]中提出了基于陣列信號處理的靜止多站DPD算法。而后部分學者又將DPD算法應用到運動多站方向，提出了基于多普勒與時延的運動多站DPD方法[11]，以及基于多普勒的運動多站DPD方法[12-13]。Oispuu又利用單個運動天線陣列提出了針對多目標的DPD算法[14]。通過大量實驗可以驗證，在低信噪比條件下，DPD方法比傳統(tǒng)兩步定位方法具有更高的定位精度。

然而，對于運動單站定位問題，DPD算法目前的研究仍然有很大的拓展空間。本文借鑒DPD算法的基本理念，提出了一種基于多普勒的運動單站直接定位算法。該算法去除參數(shù)估計步驟，從接收數(shù)據(jù)中直接提取目標位置信息，并通過二維格網(wǎng)型空間索引以獲取目標的位置估計。此外，本文還分析推導了算法的CRLB、理論誤差及運算量。仿真結果表明，與兩步定位算法相比，DPD算法能夠有效抑制噪聲影響，目標位置估計定位精度大幅提高，算法估計性能更加逼近CRLB。

2 問題描述與定位模型

如圖1所示，假設存在一個靜止目標輻射源，位置向量為p0，發(fā)射信號s(t)帶寬為W，載頻為fc。某運動觀測站在K個觀測間隙內對輻射源的數(shù)據(jù)進行采樣，每個觀測間隙的觀測時間為T，用pk和vk(k=1,...,K)表示觀測站在第k個觀測間隙內的位置與速度。

圖1 目標直接定位示意圖Fig.1 Sketch map of direct localization for target

則觀測站在t時刻接收到的數(shù)據(jù)模型為

rk(t)=bksk(t)ej2πft+nk(t)

(1)

式中：

(1)bk表示信號在第k個觀測間隙到達觀測站的傳播系數(shù)；

(2)nk(t)表示均值為0，方差為σ2的高斯噪聲；

(3)f表示觀測站在第k個觀測間隙接收到的信號頻率，可以表示為

f=fc·(1+μk(p))

(2)

式中，μk(p)表示目輻射源與觀測站相對運動而產(chǎn)生的多普勒效應，可表示為

(3)

式中c表示電磁波的傳播速度。

由于fc為已知量，則通過數(shù)字下變頻處理后得到的信號頻率為

(4)

則式(1)可表示為

rk(t)=bksk(t)ej2πfkt+nk(t)

(5)

假設觀測站在第k個觀測間隙內采樣時間間隔為Ts，采樣快拍次數(shù)為Ns，將式(5)用向量形式表示

rk=bkFksk+nk

(6)

式中

(7)

3 算法推導

通常對目標位置的估計可以視為利用接收數(shù)據(jù)rk估計出輻射源位置坐標p0。對式(6)可以將對輻射源定位的問題轉化為通過構造代價函數(shù)求解，則目標位置的最小均方誤差估計為下列代價函數(shù)的最小值

(8)

使上式最小的bk的估計可以由下式得到

bk=[(Fksk)H(Fksk)]-1×(Fksk)Hrk=(Fksk)Hrk

(9)

不失一般性，對任意的k，假設

‖s‖2=1

(10)

將式(9)與式(10)代入式(8)，可以得到

(11)

(12)

式中

(13)

3.1 未知信號

當傳輸信號是未知時，則式(12)的最大值轉化為選擇與sk對應的Vk的最大特征值，結果為

(14)

式中，Vk的維度是Ns×Ns，當采樣率增大時，進行特征值分解求取特征值所需的計算量也將快速增大。

一般地，對于一個矩陣A，其表達式AAH與AHA的非零特征值是等價的，因此，對于式(13)，可令

(15)

最后，通過進行二維格網(wǎng)型空間索引，求出式(14)的最大值，其所對應的坐標值即為輻射源的位置坐標，即有

(16)

3.2 已知信號

假設傳輸信號是已知的，則式(12)可以表示為

(17)

其中

Sk=diag{sk}

(18)

則式(17)可被簡化為

(19)

同理，目標位置p0的估計值可以通過二維格網(wǎng)型空間索引得到，表達式如下

(20)

4 算法分析

4.1 克拉美羅界(CRLB)推導

對于參數(shù)估計問題，CRLB為任何無偏估計量的方差的下限，由此，可以估計算法的理論性能標準。本文中，設J為系統(tǒng)的Fisher信息矩陣(Fisher Information Matrix, FIM)，則由文獻[15]可得

(21)

式中ψi表示第i個未知參數(shù)向量的元素，在本文中，參數(shù)向量為輻射源的二維位置向量，則ψi=ψ1=x，ψj=ψ2=y。另外

mkbkFksk

(22)

對于式(21)，運用鏈式求導法則可得

(23)

式中

(24)

(25)

則

(26)

同理

(27)

式中，φ表示觀測站運動速度方向與目標連線的夾角，θ表示x方向與目標連線的夾角，dk表示觀測平臺與目標的距離。

綜上，F(xiàn)IM信息矩陣可由式(28)給出

(28)

4.2 誤差分析

由于DPD算法不需要參數(shù)估計這一步驟，因此可以避免參數(shù)誤差帶來的定位失真。到目前為止，本文以上所做分析都建立在假設接收到理想的多普勒頻率的基礎上。然而，在實際觀測過程中，多普勒可能無法準確測量，導致按照理想模型進行推導所得到的輻射源位置可能會不準確。

加入誤差分析時，將式(1)修改為帶誤差的數(shù)據(jù)模型

(29)

定義Δfk為多普勒的真實值與測量值之差

(30)

假設Δτ與為Δf零均值高斯分布，則其協(xié)方差可表示為

E[Δf(Δf)T]=Qf

(31)

(32)

4.3 計算量分析

5 仿真實驗

首先，定義均方根誤差為：

(33)

仿真參數(shù)設置：假設存在一個靜態(tài)發(fā)射源，發(fā)射載頻fc=0.5 GHz，帶寬為300 kHz的高斯信號，其傳播速度c為光速。觀測站與目標位置分布如圖2所示，輻射源位置為(2500 m, 2500 m)，觀測站沿y=500 m向x軸正方向移動，其速度為300 m/s，觀測間隔為3.33 s，且觀測次數(shù)設定為10次。

圖2 目標輻射源與觀測站間的地理位置關系示意圖Fig.2 Sketch of the relationship between the radiation source and the observation station

5.1 算法的估計精度性能對比

為考察不同算法位置估計精度，本文采用本文提出的運動單站DPD算法與文獻[7]提出的迭代頻差兩步定位算法(DD)進行仿真對比。

(1)將每個觀測間隙內的樣本點數(shù)設為100，載波頻率fc=0.5 GHz，如圖3(a)所示為不同算法在不同信號條件下目標位置估計均方根誤差隨信噪比的變化曲線；

(2)將信噪比設為0 dB，載波頻率fc=0.5 GHz，圖3(b)所示為不同算法在不同信號條件下目標位置估計均方根誤差隨每個觀測間隙內樣本點數(shù)的變化曲線；

(3)將信噪比設為0 dB，每個觀測間隙內的樣本點數(shù)設為100，圖3(c)所示為不同算法在不同信號條件下目標位置估計均方根誤差隨載波頻率的變化曲線。

圖3 定位均方根誤差隨信噪比、樣本點數(shù)和載波頻率的變化曲線Fig.3 Localization error changing with SNR, snapshot number and carrier frequency

從圖中可以得出以下結論：

(1)DPD算法的定位性能要明顯優(yōu)于兩步定位算法，能夠較好地逼近CRLB，這是由于DPD算法能夠充分利用接收數(shù)據(jù)提供的信息，從而使位置估計精度整體提升；

(2)隨著信噪比、樣本數(shù)據(jù)量與載波頻率的提高，不同算法的RMSE均有所降低，并且與CRLB的下降趨勢一致。相比于兩步定位算法，在低信噪比、低樣本數(shù)據(jù)量與相對低頻條件下，本文DPD算法具有更高的定位精度；

(3)與未知信號相比，已知信號能夠增加數(shù)據(jù)信息量，在利用更多信息的情況下，各算法的估計性能有所提高，但就整體而言，兩種DPD算法性能差異并不大。

5.2 多普勒測量誤差對估計性能的影響

圖4表示在給定信噪比為20 dB、樣本點數(shù)為50和載波頻率fc=0.5 GHz的情況下，多普勒測量誤差對不同算法定位性能的影響。從圖中可以看出，多普勒測量誤差對于DPD算法定位性能的影響程度與4.2節(jié)理論值差距不大，并遠小于兩步定位算法。這是由于在兩步定位過程中，誤差經(jīng)過參數(shù)估計可能會被放大，然后定位解算步驟又會進一步引入誤差，最終導致的估計偏差較大。而DPD算法不需要參數(shù)估計這一步驟，因此避免了參數(shù)誤差帶來的定位失真。

圖4 多普勒測量誤差對估計性能的影響Fig.4 The effect of Doppler measurement error on estimation performance

6 結論

針對利用傳統(tǒng)運動單站算法對目標定位性能不夠理想的問題，筆者提出了一種利用多普勒的運動單站直接定位算法，將直接定位算法引入到運動單站定位系統(tǒng)中，并分析推導了新算法的CRLB、理論誤差與計算量。仿真實驗表明：較之傳統(tǒng)的運動單站定位算法，本文DPD算法能夠較好地抑制噪聲的影響，提高定位精度，尤其在低信噪比、低樣本數(shù)據(jù)量以及相對低頻條件下仍能逼近CRLB；在已知信號條件下，算法定位精度有所提高；多普勒測量誤差對DPD算法定位性能的影響遠小于兩步定位算法。

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